ПОСОБИЕ
по проектированию
предварительно напряженных
железобетонных конструкций
из тяжелых и легких бетонов

(к СНиП 2.03.01-84)

ЧАСТЬ II

Утверждено
приказом ЦНИИпромзданий
Госстроя СССР
от 30 ноября 1984 г. № 106а

Москва
Центральный институт типового проектирования
1988

Рекомендовано к изданию решением секции несущих конструкций научно-технического совета ЦНИИпромзданий Госстроя СССР.

Пособие состоит из двух частей, издаваемых отдельными книгами.

Часть I. Разд. 1. Общие указания.

Разд. 2. Материалы для железобетонных конструкций.

Разд. 3. Расчет элементов железобетонных конструкций по предельным состояниям первой группы.

Часть II. Разд. 4. Расчет элементов железобетонных конструкций по предельным состоянием второй группы.

Разд. 5. Конструктивные требования.

Содержит требования СНиП 2.03.01-84, относящиеся к проектированию указанных конструкций, положения, детализирующие эти требования, приближенные способы расчета, дополнительные указания, необходимые для проектирования, а также примеры расчета.

Для инженерно-технических работников проектных организаций, а также студентов строительных вузов.

При пользовании Пособием следует учитывать утвержденные изменения строительных норм и правил и государственных стандартов, публикуемые в журнале «Бюллетень строительной техники», «Сборнике изменений к строительным нормам и правилам» Госстроя СССР и информационном указателе «Государственные стандарты СССР» Госстандарта.

4. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ ВТОРОЙ ГРУППЫ

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТРЕЩИН

4.1 (4.1). Железобетонные элементы рассчитываются по образованию трещин:

нормальных к продольной оси элемента;

наклонных к продольной оси элемента.

Расчет по образованию трещин производится:

а) с целью избежать их появления:

в элементах, к трещиностойкости которых предъявляются требования 1-й категории;

в элементах, к трещиностойкости которых предъявляются требования 2-й категории, если по расчету не обеспечивается надежное закрытие этих трещин;

на концевых участках элемента в пределах длины зоны передачи напряжений арматуры без анкеров l_р (см. п. 2.26);

б) для определения необходимости проверки по раскрытию трещин (2-я и 3-я категории трещиностойкости) и по закрытию трещин (2-я категория трещиностойкости);

в) для выяснения случая расчета по деформациям.

Нагрузки, коэффициенты надежности по нагрузке g_f и коэффициенты точности натяжения g_sp, применяемые при расчете по образованию трещин, приведены в табл. 2.

Для участков элемента в пределах зоны передачи напряжений следует учитывать снижение предварительного напряжения s_sp (s¢_sp) согласно п. 1.20.

Примечание. При расчете элементов по предельным состояниям первой группы также может потребоваться расчет по образованию трещин в случаях, указанных в пп. 1.13, 3.30, 3.58 и 3.59.

Расчет по образованию трещин, нормальных к продольной оси элемента

4.2 (4.5, 4.7). Расчет железобетонных элементов по образованию нормальных трещин производится из условия

M_r £ M_crc,                                                           (163)

где M_r - момент внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси, параллельной нулевой линии и проходящей через ядровую точку, наиболее удаленную от растянутой зоны, трещинообразование которой проверяется;

M_crc - момент, воспринимаемый нормальным сечением при образовании трещин и определяемый по формуле

M_crc = R_bt,ser W_pl ± M_rp,                                                (164)

здесь M_rp - момент усилия Р относительно той же оси, что и для определения M_r, равный:

M_rp = P (e_0p ± r).                                                        (165)

В формулах (164) и (165) знак «плюс» принимается, когда направления действия моментов M_r и M_rp противоположны (т.е. усилие Р сжимает растянутую зону (черт. 38), «минус» - когда эти направления совпадают (см. черт. 40).

Значение М_r определяется по формулам:

для изгибаемых элементов (черт. 38, а)

M_r = M;

для внецентренно сжатых элементов (черт. 38, б)

M_r = N (e₀ - r);                                                    (166)

для внецентренно растянутых элементов (черт. 38, в)

M_r = N (e₀ + r).                                                     (167)

В формулах (165) - (167):

r - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от растянутой зоны, трещинообразование которой проверяется.

Значение r определяется для элементов:

внецентренно сжатых и изгибаемых, а также для внецентренно растянутых при N £ Р по формуле

,                                                                  (168)

где j = 1,6 - s_b/R_b,ser, но не менее 0,7 и не более единицы [s_b - максимальное напряжение в сжатом бетоне от внешней нагрузки и усилия предварительного напряжения, вычисляемое как для упругого тела по приведенному сечению (см. п. 1.21)];

W_red - момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна, определяемый как для упругого тела по формуле

W_red = I_red /y₀,                                                           (169)

у₀ - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до растянутой грани;

внецентренно растянутых при N > P по формуле

,                                         (170)

где W_pl - момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна с учетом неупругих деформаций растянутого бетона, определяемый в предположении отсутствия продольной силы N и усилия предварительного обжатия Р согласно п. 4.3.

Черт. 38. Схема усилий и эпюра напряжений в поперечном сечении элемента при расчете его по образованию трещин, нормальных к продольной оси элемента, в зоне сечения, сжатой от действия усилия предварительного обжатия

а - при изгибе; б - при внецентренном сжатии; в - при внецентренном растяжении; 1 - ядровая точка; 2 - центр тяжести приведенного сечения

Для стыковых сечений составных и блочных конструкций, выполняемых без применения клея в швах, при расчете их по образованию трещин (началу раскрытия швов) значение R_bt,ser в формуле (164) принимается равным нулю.

Для центрально-обжатых элементов при центральном растяжении их силой N (т.е. при е₀ = е_0р = 0) условие (163) принимает вид

N £ R_bt,ser (A + 2aA_sp,tot + 2aA_s,tot) + P,                                   (171)

где A_sp,tot, A_s,tot - соответственно площадь всей напрягаемой и ненапрягаемой арматуры.

4.3. (4.7). Значение W_pl определяется по формуле

,                                         (172)

где I_b0, I_s0, I¢_s0 - моменты инерции соответственно площадей сечения сжатой зоны бетона, арматуры S и S¢ относительно нулевой линии;

S_b0 - статический момент площади сечения растянутой зоны бетона относительно нулевой линии.

Положение нулевой линии в общем случае определяется из условия

,                                         (173)

где S¢_b0, S_s0, S¢_s0 - статические моменты соответственно площадей сечения сжатой зоны бетона, арматуры S и S¢ относительно нулевой линии;

A_bt - площадь сечения растянутой зоны бетона.

Для прямоугольных, тавровых и двутавровых сечений условие (173) принимает вид

,                                                             (174)

где  - статический момент площади приведенного сечения, вычисленной без учета площади сечения растянутых свесов, относительно растянутой грани;

 - площадь приведенного сечения, вычисленная без учета половины площади сечения растянутых свесов.

Формулой (174) не следует пользоваться, если нулевая линия пересекает сжатые или растянутые свесы.

Допускается значение W_pl определять по формуле

W_pl = g W_red,                                                          (175)

где W_red - см. п. 4.2;

g - см. табл. 38.

Таблица 38

Примечание. Обозначения b_f и h_f соответствуют размерам полки, которая при расчете по образованию трещин является растянутой, а b¢_f и h¢_f - размерам полки, которая для этого случая является сжатой; W_pl = g W_red.

4.4. При расчете по образованию трещин в стадиях транспортирования, возведения и эксплуатации значение M_crc определяется по формулам:

а) если сила Р₂ сжимает растянутую зону

;                                      (176)

б) если сила Р₂ растягивает эту зону (например, вблизи опор неразрезанных балок)

.                                    (177)

В формулах (176) и (177):

 - значения W_pl, определенные согласно п. 4.3 для стороны сечения, соответственно сжатой (нижней) и растянутой (верхней) от усилия Р₂;

r_sup, r_inf - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровых точек, наиболее удаленных соответственно от стороны, сжатой усилием Р₂, и стороны, растянутой этим усилием, определенные согласно п. 4.2 (черт. 39).

Если вычисленное по формуле (177) значение M_crc отрицательно, то это означает, что трещине образованы до приложения внешней нагрузки.

При расчете по подпункту «а» на участках элемента с начальными трещинами в сжатой зоне (см. п. 4.5) значение M_crc необходимо снижать согласно указаниям п. 4.6.

Черт. 39. Определение величин r_sup и r_inf

а - при расчете по образованию трещин в зоне сечения, сжатой от действия усилия предварительного обжатия; б - то же, в зоне сечения, растянутой от действия усилия предварительного обжатия; 1 - ядровая точка; 2 - центр тяжести приведенного сечения; 3 - точка приложения усилия предварительного обжатия

Для вычисления M_r в формулах (166) и (167) принимаются значения r, равные r_sup и r_inf, т.е. такие же, как и при определении M_crc.

4.5. Расчет по образованию начальных трещин в зоне сечения, растянутой от действия усилия предварительного обжатия (черт. 40) в стадии изготовления, производится из условия

,                                            (178)

где M_r - момент внешних сил, действующих на элемент в стадии изготовления (например, от собственного веса), принимаемый согласно п. 4.2; знак «плюс» принимается, когда направления этого момента и момента усилия Р₁ совпадают, знак «минус» - когда направления противоположны;

 - то же, что и в п. 4.4б; их значения допускается определять при тех же значениях a = E_s /E_b, что и в стадии эксплуатации;

 - значение R_bt,ser при классе бетона, численно равном передаточной прочности R_bp.

Черт. 40. Схема усилий и эпюра напряжений в поперечном сечении элемента при расчете его по образованию трещин, нормальных к продольной оси элемента, в зоне сечения, растянутой от действия усилия предварительного обжатия

1 - центр тяжести приведенного сечения; 2 - ядровая точка

4.6. (4.6). При расчете по образованию трещин на участках элемента с начальными трещинами в сжатой зоне [т.е. там, где не выполняется условие (178)] значение M_crc для зоны, растянутой от внешней нагрузки, определенное по формуле (176), необходимо снижать путем умножения на коэффициент q, равный:

                                               (179)

и принимаемый не более единицы.

В формуле (179):

, но не менее 0,45,                             (180)

где , , M_r - то же, что и в п. 4.5;

, но не более 1,4,                          (181)

где у₀ - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до крайнего волокна бетона, растянутого внешней нагрузкой.

Усилие Р₁ в формуле (180) определяется при том же коэффициенте g_sp, что и усилие Р₂, вводимое в расчет по п. 4.4а.

Для конструкций, армированных проволочной арматурой и стержневой арматурой класса А-VI, значение d, полученное по формуле (181) (без учета ограничения), снижается на 15 %.

4.7 (4.8). В конструкциях, армированных предварительно напряженными элементами (например, брусками), при определении усилий, воспринимаемых сечениями при образовании трещин в предварительно напряженных элементах, площадь сечения растянутой зоны бетона, не подвергаемая предварительному напряжению, в расчете не учитывается.

4.8 (4.10). Расчет по образованию трещин при действии многократно повторяющейся нагрузки производится из условия

s_bt £ R_bt,ser,                                                            (182)

где s_bt - максимальное нормальное растягивающее напряжение в бетоне, определяемое в соответствии с указаниями пп. 1.21 и 3.58.

Расчетное сопротивление бетона растяжению R_bt,ser в формуле (182) вводится с коэффициентом условий работы g_b1 по табл. 35.

Расчет по образованию трещин, наклонных к продольной оси элемента

4.9 (4.11). Расчет по образованию трещин, наклонных к продольной оси элемента, должен производится из условия

s_mt £ g_b4 R_bt,ser,                                                               (183)

где g_b4 - коэффициент условий работы бетона, определяемый по формуле

, но не более 1,0,                                       (184)

здесь a_b - коэффициент, принимаемый равным для бетона:

тяжелого                                                                         0,01

мелкозернистого и легкого                                         0,02

В - класс бетона по прочности на сжатие, МПа;

значение a_b В следует принимать не менее 0,3.

Для тяжелого бетона при s_mc < 0,5R_b,ser и В £ 30 МПа можно, не пользуясь формулой (184), принимать g_b4 = 1,0.

Значения главных растягивающих и главных сжимающих напряжений в бетоне s_mt и s_mc определяется по формуле

,                                      (185)

где s_х - нормальное напряжение в бетоне на площадке, перпендикулярной продольной оси элемента, от внешней нагрузки и усилия предварительного обжатия Р, определенное по п. 1.21; при этом s_х принимается равным напряжению в бетоне s_b;

s_у - нормальное напряжение в бетоне на площадке, параллельной продольной оси элемента, от местного действия опорных реакций, сосредоточенных сил и распределенной нагрузки (см. п. 4.10), а также от усилия обжатия вследствие предварительного напряжения хомутов и отогнутых стержней (см. п. 4.11);

t_ху - касательное напряжение в бетоне от внешней нагрузки и усилия обжатия вследствие предварительного напряжения отогнутых стержней (см. п. 4.12).

Проверка условия (183) производится в центре тяжести приведенного сечения, а при требованиях к трещиностойкости 1-й и 2-й категорий также и в местах примыкания сжатых полок к стенке элемента таврового и двутаврового сечений.

При расчете элементов с предварительно напряженной арматурой без анкеров должно учитываться снижение предварительного напряжения s_sp и s¢_sp на длине зоны передачи напряжения l_p (см. п. 2.26) путем умножения на коэффициент g_s5 согласно поз. 3 табл. 23.

Примечание. В случае необходимости напряжения s_х и t_ху от внешней нагрузки и предварительного обжатия алгебраически суммируются с напряжениями s_х,loc и t_loc от местного действия опорных реакций и сосредоточенных сил, равных:

 ,

где j_x, j_xy - определяются по табл. 39;

F - см. п. 4.10.

Таблица 39

Примечания: 1. Положительные значения j_x и j_y соответствуют сжимающим напряжениям s_x и s_y, отрицательные значения - растягивающим напряжениям; при положительных значениях j_xy напряжение t_loc имеет то же направление, что и t_xy, определенное по п. 4.12, при отрицательных - противоположное.

2. a и b - см. п. 4.10.

;

;

.

4.10. Значение s_y, подставляемое в формулу (185), принимается равным сумме напряжений от местного действия опорных реакций и сосредоточенных сил s_y,loc и напряжений от усилия обжатия вследствие предварительного напряжения хомутов и отогнутых стержней s_yp, определяемых согласно п. 4.11.

Напряжения s_y,loc определяется как для упругого тела по формуле

,                                 (186)

где F - величина сосредоточенной силы или опорной реакции;

 - относительные координаты точки, для которой определяется напряжение s_y; при этом принято, что начало координат располагается в точке приложения силы F, ось x направлена параллельно продольной оси элемента, а ось y - нормально к ней.

Допускается s_y,loc определять по формуле

,                                                        (187)

где j_y - см. табл. 39.

Положительные значения s_y,loc, вычисленные по формулам (186) и (187), соответствуют сжимающим напряжениям, а отрицательные значения - растягивающим напряжениям.

При a > 0,7 напряжения s_y,loc (а также s_x,loc и t_loc) принимаются равными нулю.

4.11. Значения сжимающих напряжений от усилия обжатия вследствие предварительного напряжения хомутов и отгибов s_yp определяются по формуле

,                                         (188)

где A_spw - площадь сечения напрягаемых хомутов, расположенных в одной плоскости, нормальной к оси элемента;

A_sp,inc - площадь сечения напрягаемой отогнутой арматуры, заканчивающейся на участке s_inc длиной, равной h/2, расположенном симметрично относительно рассматриваемого сечения 0 - 0 (черт. 41);

s_spw, s_sp,inc - предварительное напряжение соответственно в хомутах и в отогнутой арматуре;

s_w - шаг напрягаемых хомутов.

Черт. 41. Криволинейная отогнутая напрягаемая арматура, учитываемая при определении предварительных напряжений в бетоне: нормальных s_yp и касательных t_xy

1 - арматура, учитываемая при определении напряжений t_xy в сечении 0 - 0; 2 - то же, напряжений s_yp на участке s_inc

4.12. Касательные напряжения в бетоне t_xy следует определять по формуле

,                                                            (189)

где Q - поперечная сила от внешней нагрузки в рассматриваемом сечении; при этом следует учитывать возможность отсутствия временной нагрузки на участке от опоры до рассматриваемого сечения;

S_red - приведенный статический момент части сечения, расположенной выше рассматриваемого волокна, относительно оси, проходящей через центр тяжести приведенного сечения;

b - ширина сечения элемента на уровне рассматриваемого волокна.

В элементах с напрягаемой отогнутой арматурой значение Q, подставляемое в формулу (189), уменьшается на величину

Q_p = s_sp A_sp,inc1 sin q,                                                  (190)

где A_sp,inc1 - площадь сечения напрягаемой отогнутой арматуры, заканчивающейся на опоре или на участке между опорой и сечением, расположенным на расстоянии h/4 от рассматриваемого сечения 0 - 0 (см. черт. 41);

q - угол между осью арматуры и продольной осью элемента в рассматриваемом сечении.

При переменной высоте балки значение поперечной силы для вычисления касательных напряжений определяется по формуле

,                                                     (191)

где b - угол между сжатой и растянутой гранями балки;

Q₁, М₁ - поперечная сила и изгибающий момент (без учета предварительного напряжения) в рассматриваемом поперечном сечении.

В формуле (191) знак «минус» принимается, если высота балки возрастает с увеличением абсолютного значения изгибающего момента, и знак «плюс» - если высота убывает с увеличением этого значения.

Для элементов, подвергающихся совместному действию изгиба и кручения, значение t_xy принимается равным сумме касательных напряжений от изгиба, определяемых по формуле (189), и от кручения t_t.

Значение t_t определяют по формулам пластического кручения, т.е. принимая, что к моменту образования трещин эти напряжения имеют одинаковые значения по всему сечению элемента:

,                                                                (192)

где W_t - момент сопротивления сечения при пластическом кручении, равный W_t = 2V [здесь V - объем тела, ограниченного поверхностью равного ската с углом наклона 45° к плоскости сечения, построенного на рассматриваемом сечении (черт. 42)].

Для элементов прямоугольного сечения (черт.42, а) значение t_t равно:

,                                                          (193)

где h, b - соответственно больший и меньший размеры сечения.

Черт. 42. Схема определения момента сопротивления при пластическом кручении для сечений

а - прямоугольного; б - таврового

4.13 (4.12). При действии многократно повторяющейся нагрузки расчет по образованию трещин должен производиться согласно указаниям пп. 4.9 - 4.12; при этом расчетные сопротивления бетона R_bt,ser и R_b,ser вводятся в расчет с коэффициентом условий работы g_b1, принимаемым по табл. 35.

Примеры расчета

Пример 28. Дано: элемент нижнего пояса фермы с размерами поперечного сечения 250 ´ 280 мм; бетон тяжелый класса В35 (R_bt,ser = 1,95 Мпа, E_b = 3,1 × 10⁴ МПа); продольная арматура: напрягаемая класса К-7 (E_s = 18 × 10⁴ МПа), площадью сечения A_sp = 1275 мм² (25 Æ 9), ненапрягаемая класса А-III (E_s = 2 × 10⁵ МПа), площадью сечения A_s,tot = 314 мм² (4 Æ 10); предварительное напряжение с учетом всех потерь s_sp = 922 МПа; суммарные потери напряжения от усадки и ползучести бетона s_s = 201 МПа; усилие предварительного обжатия приложено центрально; способ натяжения арматуры - механический; продольная осевая растягивающая сила от всех нагрузок (при g_f > 1,0) N = 1100 кН; требования к трещиностойкости 2-й категории.

Требуется проверить элемент по образованию трещин.

Расчет производим из условия (171).

Так как к трещиностойкости элемента предъявляется требование 2-й категории, учитываем коэффициент точности натяжения g_sp < 1. Согласно п. 1.18, при механическом натяжении g_sp = 1 - Dg_sp = 1 - 0,1 = 0,9, т.е. s_sp = 0,9 × 922 = 830 МПа.

Определяем усилие Р согласно п. 1.19. Для центрально-обжатого элемента формула (8) приобретает вид

P = s_sp A_sp,tot - s_s A_s,tot = 830 × 1275 - 201 × 314 = 995000 Н.

Для напрягаемой и ненапрягаемой арматуры значения  соответственно равны:

;

 = 1,95 (250 × 280 + 2 × 5,8 × 1275 +

+ 2 × 6,45 × 314) + 995 × 10³ = 1158 × 10³ Н > N = 1100 кН,

т.е. от действия всех нагрузок трещины не образуются и, следовательно, расчета по закрытию трещин не требуется.

Пример 29. Дано: элемент нижнего пояса фермы с размерами поперечного сечения 250 ´ 280 мм; бетон тяжелый класса В35 (R_bt,ser = 1,95 МПа, E_b = 3,1 × 10⁴ МПа); напрягаемая симметричная арматура класса A-IV, площадью сечения A_sp = A¢_sp = 1232 мм² (2 Æ 28) (E_s = 1,9 × 10⁴ МПа), момент инерции приведенного сечения I_red = 608,3 × 10⁶ мм⁴; расстояние от центра тяжести сечения до нижней грани y₀ = 140 мм; усилие предварительного обжатия с учетом всех потерь и коэффициента точности натяжения g_sp = 1,0 (требования к трещиностойкости 3-й категории) Р = 650 кН; его эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения е_0р = 0; продольная осевая растягивающая сила от всех нагрузок N = 850 кН; изгибающий момент от всех нагрузок М = 45 кН · м.

Требуется проверить сечение по образованию трещин.

Расчет. Эксцентриситет внешней продольной силы относительно центра тяжести приведенного сечения равен:

 мм.

Для проверки условия (163) определяем момент сопротивления W_pl с помощью коэффициента g по табл. 38. Для этого вычисляем момент сопротивления W_red:

 мм³.

По табл. 38 находим g = 1,75 (так как элемент прямоугольного сечения), и, следовательно,

W_pl = g W_red = 1,75 × 4,35 × 10⁶ = 7,61 × 10⁶ мм³.

Так как Р = 650 кН < N = 850 кН, значение r определяем по формуле (169), принимая :

 мм.

Момент усилия предварительного обжатия относительно оси, проходящей через ядровую точку, определяем по формуле (165):

M_rp = P (e_0p + r) = 650 × 10³ × 76 = 49,4 × 10⁶ Н · мм = 49,4 кН · м.

Момент внешней продольной силы относительно той же оси, согласно формуле (167), равен:

M_r = N (e₀ + r) = 850 × 10³ (52,9 + 76) = 109,6 × 10⁶ Н · мм.

Проверяем условие трещинообразования (163):

M_crc = R_bt,ser W_pl + M_rp =

= 1,95 × 7,61 × 10⁶ + 49,4 × 10⁶ = 64,2 × 10⁶ Н · мм < M_r = 109,6 × 10⁶ Н · мм,

т.е. от действия всех нагрузок трещины образуются и требуется проверка их ширины раскрытия.

Пример 30. Дано: многопустотная плита перекрытия - по черт. 43; бетон легкий класса В15 (R_bt,ser = 1,15 МПа, R_b,ser = 11 МПа); передаточная прочность R_bp = 12,5 МПа ; геометрические характеристики приведенного сечения: площадь A_red = 45,1 × 10⁴ мм², расстояние от центра тяжести до растянутой (нижней) грани y₀ = 107 мм, момент инерции I_red = 2734 × 10⁶ мм⁴; момент в середине пролета от всех нагрузок M = 133,7 кН · м; момент от веса плиты в стадии изготовления M_w = 35,6 кН · м; усилие предварительного обжатия при g_sp = 1,0 с учетом первых потерь Р₁ = 765,8 кН, а с учетом всех потерь Р₂ = 636 кН; требования к трещиностойкости 3-й категории.

Требуется проверить плиту по образованию трещин.

Расчет. Определяем моменты сопротивления относительно грани, растянутой от внешней нагрузки  и от предварительного обжатия :

 мм³;

 мм³.

Черт. 43. К примерам расчета 30 и 34

а - фактическое сечение плиты; б - эквивалентное сечение плиты

Находим моменты сопротивления W_pl по формуле (175). Для этого представляем сечение плиты в виде двутаврового сечения, заменив пустоты прямоугольниками, эквивалентными по площади и моменту инерции.

Ширина и высота такого прямоугольника соответственно равны:

А = 0,907D = 0,907 × 159 = 144,2 мм;  В = 0,866D = 0,866 × 159 = 138 мм.

Тогда из черт. 43 имеем:

b_f = b¢_f = 3580 мм;    b = 3580 - 18 × 144,2 = 984 мм;

 мм.

Из табл. 38 для двутаврового симметричного сечения при  находим g = 1,5.

Отсюда

 = 1,5 × 25,5 × 10⁶ = 38,25 × 10⁶ мм³;

 = 1,5 × 24,2 × 10⁶ = 36,3 × 10⁶ мм³.

Поскольку в плите располагается в основном только напрягаемая арматура, точка приложения усилия обжатия во всех стадиях совпадает с центром тяжести арматуры, т.е. e_0p = y₀ - a = 107 - 30 = 77 мм. Определяем ядровые расстояния r_sup и r_inf по формуле (168). При действии внешней нагрузки в стадии эксплуатации максимальное напряжение в сжатом бетоне (т.е. по верхней грани) равно:

Тогда j = 1,6 -  = 1,15 > 1. Принимаем j = 1 и  мм.

При действии усилия обжатия Р₁ в стадии изготовления максимальное напряжение в сжатом бетоне (т.е. по нижней грани) равно:

 =

= 1,7 + 0,95 = 2,65 МПа.

При этом можно видеть, что минимальное напряжение бетона в этой стадии, равное , будет больше нуля (1,7 > 0,95), т.е. будет сжимающим. Следовательно, верхние начальные трещины заведомо не образуются и образование нижних трещин проверяем без учета коэффициента q.

Согласно п. 4.2, принимаем:

M_r = M = 133,7 кН · м;

M_rp = P₂ (e_0p + r_sup) = 636 × 10³ (77 + 56,5) = 84,9 кН · м;

M_crc = R_bt,ser W_pl + M_rp = 1,15 × 38,25 × 10⁶ + 84,9 × 10⁶ =

= 128,9 × 10⁶ Н · мм = 128,9 кН · м < М_r = 133,7 кН · м,

т.е. нижние трещины образуются и, следовательно, расчет по раскрытию трещин необходим.

Пример 31. Дано: плита перекрытия по черт. 44; бетон тяжелый класса В25 (R_bt,ser = 1,6 МПа, R_bt,ser = 18,5 МПа, E_b = 2,7 × 10⁴ МПа); передаточная прочность R_bp = 20 МПа ( = 1,4 МПа,  = 15 МПа); напрягаемая арматура класса А-IV, площадью сечения A_sp = 491 мм² (1 Æ 25); ненапрягаемая арматура, растянутая и сжатая, класса A-III, площадью сечения соответственно A_s = 78,5 мм² (1 Æ 10) и A¢_s = 50,3 мм² (1 Æ 8); геометрические характеристики приведенного сечения: площадь A_red = 5,55 × 10⁴ мм², расстояние от центра тяжести до растянутой (нижней) грани y₀ = 220 мм, момент инерции I_red = 718 × 10⁶ мм⁴; максимальный момент при g_f = 1,0 для половины сечения плиты М = 66 кН · м; момент от собственного веса плиты в стадии изготовления М_w = 5,3 кН · м; усилие предварительного обжатия (с учетом первых потерь и g_sp = 1,0) Р₁ = 230 кН; его эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения e_0p = 167 мм; усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и g_sp = 1,0) Р₂ = 150 кН; его эксцентриситет e_0p = 165 мм; требование к трещиностойкости 3-й категории.

Требуется определить момент трещинообразования M_crc.

Расчет. Предварительно определяем моменты сопротивления и ядровые расстояния относительно грани, растянутой от внешней нагрузки  и от предварительного обжатия  (см. черт. 39):

 мм³;

 мм³.

Ядровые расстояния r_sup и r_inf определяем по формуле (168).

При действии внешней нагрузки в стадии эксплуатации максимальное напряжение в сжатом бетоне равно:

 МПа.

Тогда j = 1,6 -  = 1,6 -  = 1,05 > 1,0. Принимаем j = 1,0 и  мм.

При действии усилия обжатия Р₁ в стадии изготовления максимальное напряжение в сжатом бетоне равно:

 МПа.

Тогда j = 1,6 -  = 1,6 -  = 0,647 < 0,7. Принимаем j = 0,7 и  мм.

Находим моменты сопротивления  и по упрощенной формуле (175):

 = 1,75 × 3,26 × 10⁶ = 5,7 × 10⁶ мм³;

 = 1,5 × 55,2 × 10⁶ = 8,28 × 10⁶ мм³

(g_inf = 1,75 и g_sup = 1,5 согласно табл. 38).

Проверим образование верхних начальных трещин согласно п. 4.5:

Р₁ (e_0p - r_inf) - M_w = 230 × 10³ (167 - 69,6) - 5,3 × 10⁶ =

= 17,1 × 10⁶ Н · мм >  = 1,4 × 8,28 × 10⁶ = 11,59 × 10⁶ Н · мм,

т.е. верхние трещины образуются и, следовательно, значение М_crc определяем с учетом коэффициента q, вычисляемого согласно п. 4.6:

 = 0,678 > 0,45;

 = 1,55 > 1,4.

Принимаем d = 1,4; тогда

.

Определяем момент трещинообразования M_crc согласно п. 4.4а:

 =

= 1,6 × 5,7 × 10⁶ + 150 × 10³ (165 + 58,7) = 42,7 × 10⁶ Н · мм = 42,7 кН · м,

а с учетом коэффициента q

M_crc = 0,724 × 42,7 = 31 кН · м.

Пример 32. Дано: плита перекрытия по черт. 44; бетон тяжелый класса В25 (R_b,ser = 18,5 МПа, R_bt,ser = 1,6 МПа, E_b = 2,7 × 10⁴ МПа); передаточная прочность бетона R_bp = 20 МПа; геометрические характеристики приведенного сечения: площадь A_red = 5,55 × 10⁴ мм², расстояние от центра тяжести сечения до растянутой грани y₀ = 220 мм, момент инерции I_red = 718 × 10⁶ мм⁴, расстояние от центра тяжести всей растянутой арматуры до растянутой грани а = 50 мм; напрягаемая арматура класса A-IV без анкеров (E_s = 1,9 × 10⁵ МПа), диаметром 25 мм; площадь сечения сжатой арматуры A¢_s = 50,3 мм² (1 Æ 8); усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и g_sp = 1,0) Р₂ = 150 кН; его эксцентриситет e_0p = 165 мм; предварительное напряжение (с учетом потерь по поз. 1 - 5 табл. 4) s_sp1 = 475 МПа; поперечная сила от внешней нагрузки в опорном сечении (при g_f = 1,0) Q_max = 50 кН; требования к трещиностойкости 3-й категории.

Требуется проверить, образуются ли наклонные трещины в пределах длины зоны передачи напряжений, и установить необходимость расчета по раскрытию наклонных трещин.

Черт. 44. Предварительно напряженная плита перекрытия

а - приопорный участок; б - поперечное сечение

Расчет. Рассмотрим сечения у грани опоры (сечение I - I) и на расстоянии l_p от торца плиты (сечение II - II) - в обоих случаях проверку производим в центре тяжести сечения (y₀ = 220 мм).

Определяем значение Р₂ в рассматриваемых сечениях. Для этого по формуле (19) вычисляем длину зоны передачи напряжений l_p, имея в виду, что s_tp = s_spI = 475 МПа;

 мм

(w_p = 0,25 и l_p = 10 - из табл. 24).

Для сечения I - I l_x = 200 мм; в этом сечении, согласно п. 1.19,

 кН.

Для сечения II - II l_x = l_p, следовательно,  кН.

Определяем нормальные напряжения s_x на уровне центра тяжести сечения по формуле (10) при y = 0 и Р = Р₂:

 МПа;

 МПа.

Определяем касательные напряжения t_xy по формуле (189). Для этого вычисляем статический момент приведенной площади части сечения, расположенной выше центра тяжести сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения:

.

В сечении I - I принимаем Q₁ = Q_max = 50 кН. Сечение II - II отстоит от точки приложения опорной реакции на расстоянии x = l_p - 135 = 398 - 135 = 263 мм (см. черт. 44), следовательно, согласно п. 3.22, для этого сечения

Q_II = Q_max - q₁ x = 50 - 10,5 × 0,263 = 47,2 кН,

где q₁ = g + v/2 = 3,5 + 14/2 = 10,5 кН/м;

g = 3,5 кН/м - постоянная нагрузка;

v = 14 кН/м - временная нагрузка.

Тогда

 МПа;

 МПа.

Поскольку напрягаемая поперечная арматура отсутствует, s_yp = 0. Напряжения s_y,loc от местного действия опорной реакции Q_max = F = 50 кН определяем по формуле (187).

Для сечения I - I: x_I = 200 - 135 = 65 мм (см. черт. 44); y_I = y₀ = 220 мм; a_I = x_I /h = 65/350 = 0,186 < 0,7; b_I = y_I /h = 220/350 = 0,63.

Из табл. 39 имеем j_y = 0,45.

Тогда

 МПа.

Для сечения II - II: x_II = 263 мм; a_II = 263/350 = 0,75 > 0,7, следовательно, принимаем .

По формуле (185) определяем главные растягивающие и главные сжимающие напряжения, принимая s_y = s_y,loc:

Для сечения I - I:

 МПа;

 

Для сечения II - II:

 МПа;

 МПа;  МПа.

Так как для обоих сечений s_mc < 0,5R_b,ser = 0,5 × 18,5 = 9,25 МПа и В < 30 МПа, принимаем g_b4 = 1,0, т.е. g_b4 R_bt,ser = 1,6 МПа. Проверяем условие (183). Так как для обоих сечений s_mt < g_b4 R_bt,ser = 1,6 МПа, наклонные трещины в пределах длины зоны передачи напряжений на уровне не выше уровня центра тяжести сечения не образуются, следовательно, требование п. 1.11 выполнено.

Поскольку в более удаленных от опоры сечениях значение Q, а следовательно, t_xy и s_mt будут меньшими, чем в сечении II - II, то наклонные трещины на уровне центра тяжести сечения нигде не образуются и, следовательно, расчет по раскрытию наклонных трещин не производится.

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО РАСКРЫТИЮ ТРЕЩИН

4.14 (4.13). Железобетонные элементы рассчитываются по раскрытию трещин:

нормальных к продольной оси элемента;

наклонных к продольной оси элемента.

Проверки ширины раскрытия трещин не требуется, если, согласно расчету по пп. 4.1 - 4.13, в рассматриваемом сечении трещины не образуются от действия нагрузок, указанных в табл. 2.

Для элементов, к трещиностойкости которых предъявляются требования 3-й категории, расчет по раскрытию трещин в общем случае производится два раза: на продолжительное и непродолжительное раскрытие трещин (см. п. 1.10). Для изгибаемых элементов при предельно допустимой ширине раскрытия трещин a_crc1 = 0,4 мм и a_crc2 = 0,3 мм (см. табл. 1б) расчет по раскрытию нормальных трещин можно производить только один раз:

при  проверяется только продолжительное раскрытие трещин от действия момента M_l;

при  проверяется только непродолжительное раскрытие трещин от действия момента M_tot,

где M_rp - см. п. 4.2; при этом используется то же значение Р, что и при расчете по раскрытию трещин.

Расчет по раскрытию трещин, нормальных к продольной оси элемента

4.15 (4.14). Ширину раскрытия трещин, нормальных к продольной оси элемента, a_crc, мм, следует определять по формуле

,                                       (194)

где d - коэффициент, принимаемый равным для элементов: изгибаемых, внецентренно сжатых и внецентренно растянутых при P ³ N - 1,0; центрально и внецентренно растянутых при P < N - 1,2;

j_l - коэффициент, принимаемый равным при учете:

кратковременных нагрузок и непродолжительного действия постоянных и длительных нагрузок - 1,0;

многократно повторяющейся нагрузки, а также продолжительного действия постоянных и длительных нагрузок для конструкций из бетона:

тяжелого:

естественной влажности.......................................................... j_l = 1,6 - 15, но не менее 1,3

в водонасыщенном состоянии.......................................................... 1,2

при попеременном водонасыщении

и высушивании..................................................................................... 1,75

мелкозернистого, групп:

А............................................................................................................. 1,75

Б............................................................................................................. 2,0

В............................................................................................................. 1,5

легкого........................................................................................................ 1,5

значения j_l для мелкозернистого и легкого бетонов в водонасыщенном состоянии умножают на 0,8, а при попеременном водонасыщении и высушивании - на 1,2;

h - коэффициент, принимаемый равным для арматуры классов: А-III, A-IV, A-V, A-VI - 1,0; Bp-II, K-7, K-19 - 1,2; B-II - 1,4;

s_s - приращение напряжений в стержнях крайнего ряда арматуры от действия внешней нагрузки, определяемое согласно указаниям п. 4.17;

 - коэффициент армирования сечения, принимаемый равным отношению площади сечения арматуры S к площади сечения бетона при рабочей высоте h₀ и без учета сжатых свесов полок, но не более 0,02; для прямоугольных, тавровых и двутавровых сечений

;                                       (195)

h_f - a - принимается не менее нуля;

если во внецентренно растянутых элементах растягивающая сила N_tot = N - P расположена между центрами тяжести арматуры S и S¢, то при определении  рабочая высота h₀ принимается от точки приложения силы N_tot до менее растянутой грани; при центральном растяжении , где A_sp,tot + A_s,tot - площадь всей продольной арматуры в сечении;

d - диаметр растянутой арматуры, мм; при различных диаметрах стержней значение d принимается равным:

,                                                    (196)

d₁, ..., d_k - диаметры стержней растянутой арматуры;

n₁, ..., n_k - число стержней с диаметром соответственно d₁, ..., d_k.

В случае применения попарно расположенных стержней при назначении диаметра d следует учитывать указания п. 5.22. Кроме того, следует учитывать указания п. 4.16.

4.16 (4.14). Ширина раскрытия трещин, определенная согласно п. 4.15, корректируется в следующих случаях:

а) если центр тяжести сечения стержней крайнего ряда арматуры S изгибаемых, внецентренно сжатых и внецентренно растянутых при e_0,tot ³ 0,8h₀ элементов отстоит от наиболее растянутого волокна на расстоянии а₂ > 0,2h, значение a_crc должно быть увеличено путем умножения на коэффициент d_а, равный:

                                                                                                (197)

и принимаемый не более 3.

Для элементов, армированных стержневой арматурой периодического профиля, диаметр которого не менее 10 мм, при толщине бокового защитного слоя бетона 15 мм и менее значение a_crc, определенное по формуле (194), уменьшается на 20 %;

б) для изгибаемых и внецентренно сжатых элементов из тяжелого и легкого бетонов при  £ 0,008 величину a_crc, вычисленную по формуле (194), при необходимости допускается уменьшать путем умножения на коэффициент j_b, учитывающий работу растянутого бетона над трещиной, определяемый по формуле

j_b = j_f j_l1                                                              (198)

и принимаемый не более единицы,

где j_f - коэффициент, учитывающий уровень нагружения и равный:

;                                             (199)

j_l1 - коэффициент, учитывающий длительность действия нагрузки и принимаемый равным при учете:

кратковременных нагрузок и непродолжительного действия постоянных и длительных нагрузок - 1,0;

продолжительного действия постоянных и длительных нагрузок

,                                                            (200)

но не менее единицы;

М₀ - момент, при котором растянутый бетон над трещинами практически выключается из работы, равный:

М₀ = М_crc + ybh² R_bt,ser,                                                  (201)

, но не более 0,6.

Если M_r > M₀, коэффициент j_b не вычисляется.

В формулах (199) - (201):

M_r - момент, определяемый согласно п. 4.2, от полной нагрузки, включающей постоянную, длительную и кратковременную нагрузки;

M_crc, M_rp - см. п. 4.2;

, h - см. п. 4.15;

в) для элементов статически неопределимых конструкций, а также для свободно опертых балок при l/h £ 7 и m £ 0,02 вблизи мест приложения сосредоточенных сил и опорных реакций ширину раскрытия трещин a_crc, вычисленную по формуле (194), допускается уменьшать путем умножения на коэффициент j_loc, учитывающий местные особенности напряженного состояния в железобетонных изгибаемых конструкциях и определяемый по формуле

,                                         (202)

но не менее 0,8 и не более 1,0.

В формуле (202):

F - сосредоточенная сила или опорная реакция;

М - изгибающий момент в нормальном сечении, проходящем через точку приложения силы F;

а - расстояние от точки приложения силы F до рассматриваемого сечения, принимаемое в соответствии с черт. 45, но не более 0,3h;

h, h₀ - расстояние от грани элемента, к которой приложена сила, соответственно до растянутой грани и до растянутой арматуры;

г) для элементов из легкого бетона класса В7,5 значение a_crc должно быть увеличено на 20 %.

Черт. 45. Расположение расчетных сечений вблизи опорных реакций в жестких узлах и сосредоточенных сил при расчете по раскрытию трещин

I - I - расчетные сечения; а - г - расчетные сечения у жестких узлов; д - расчетные сечения у сосредоточенной силы, приложенной к сжатой грани; е - то же, приложенной к уширениям (полкам) элемента

4.17 (4.15). Приращение напряжений в растянутой арматуре s_s от действия внешней нагрузки в стадии эксплуатации (включая стадии транспортирования и возведения) определяется из условия равенства нулю суммы моментов внешних и внутренних усилий относительно оси, проходящей через точку приложения равнодействующих усилий в сжатой или менее растянутой зоне сечения. Значения s_s вычисляются по формулам для элементов:

изгибаемых (черт. 46, а)

;                                                  (203)

внецентренно сжатых (черт. 46, б)

;                                               (204)

внецентренно растянутых (черт. 46, в)

если e_0,tot = ;                                          (205)

или если N < P₂,

;                                               (206)

для внецентренно растянутых элементов при 0 £ e_0,tot £ 0,8h₀ (черт. 46, г)

,                                           (207)

где z_s = h₀ - а¢ - расстояние между центрами тяжести арматуры S и S¢.

В формулах (206) и (207) знак «плюс» принимается при расположении силы N за пределами расстояния между арматурой S и S¢, знак «минус» - при расположении силы N между центрами тяжести арматуры S и S¢.

Для центрально-растянутых элементов, т.е. при e_0,tot = 0; формула (207) приобретает вид

,                                               (207а)

где A_sp,tot, A_s,tot - площади сечения всей напрягаемой и ненапрягаемой арматуры.

Черт. 46. Схема усилий и эпюры напряжений в поперечном сечении элемента при расчете его по ширине раскрытия трещин, нормальных к продольной оси, в зоне сечения, сжатой от действия усилия предварительного обжатия

а - при изгибе; б - при внецентренном сжатии; в - при внецентреном растяжении и e_0,tot ³ 0,8h₀; г - то же, при e_0,tot < 0,8h₀; 1 - точка приложения равнодействующей усилий в сжатой или менее растянутой зоне; 2 - центр тяжести площади арматуры S; 3 - центр тяжести площади приведенного сечения

В формулах (203) - (206):

z - расстояние от центра тяжести площади сечения арматуры S до точки приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне сечения над трещиной, определяемое согласно указаниям п. 4.31:

при этом коэффициент v принимается как при непродолжительном действии нагрузки, т.е. v = 0,45; допускается z принимать таким же, как и при расчете по деформациям на те же нагрузки, если (A¢_sp + A¢_s) / (bh₀) < 0,01.

В случае, когда M_r < M_crc (см. п. 4.2), значение s_s находится по формуле

,                                                 (208)

где s_crc - приращение напряжений в арматуре при действии нагрузки, соответствующей моменту образования трещин, определяемое по формулам (203) - (207) и (209) с заменой M на M_crc и N на N_crc = N (M_crc /M_r);

M_rp - см. п. 4.2.

В случаях, когда M_r > M_crc и Р₂ ³ 350 (A_sp + A_s) (где 350 - в МПа), значение s_s для изгибаемых и внецентренно сжатых элементов допускается определять по формуле

,                                                 (209)

где M_s = M + Pe_sp - для изгибаемых элементов;

M_s = Ne_s + Pe_sp - для внецентренно сжатых элементов;

j_crc - определяется по табл. 40.

При расположении растянутой арматуры в несколько рядов по высоте сечения в изгибаемых, внецентренно сжатых, а также внецентренно растянутых при e_0,tot ³ 0,8h₀ элементах напряжения s_s, подсчитанные по формулам настоящего пункта, должны умножаться на коэффициент d_n, равный:

,                                                    (210)

где x = xh₀; значение x определяется по формуле (232); при этом коэффициент ν принимается всегда как при непродолжительном действии нагрузки, т.е. ν = 0,45; для изгибаемых элементов допускается принимать x = 0,5h₀;

а₁, а₂ - расстояние от центра тяжести сечения арматуры S соответственно всей и крайнего ряда стержней до наиболее растянутого волокна бетона.

Таблица 40

; ; .

Для внецентрено растянутых элементов при e_0,tot < 0,8h₀ и при расположении арматуры в несколько рядов по высоте сечения напряжение s_s допускается принимать равным a¢s_bs, где s_bs - напряжение на уровне наиболее растянутого ряда арматуры от действия внешних сил и усилия обжатия Р, определенное как для упругого тела по приведенному сечению, включающему в себя площадь сечения сжатой зоны бетона, а также площадь сечения всей продольной арматуры, умноженной на коэффициент приведения a¢ = E_s / (0,9E_b); высоту сжатой зоны можно определять согласно п. 3.58, используя указанный коэффициент a. В этом случае при определении коэффициента  в формуле (194) используется вся растянутая арматура, а значение h₀ отсчитывается от наиболее растянутого ряда арматуры.

Чтобы избежать неконтролируемого раскрытия трещин и обеспечить отсутствие заметных неупругих деформаций арматуры, значения напряжений s_s + s_sp для напрягаемой арматуры и s_s - s_sb для ненапрягаемой арматуры не должны превышать соответствующие значения R_s,ser. При этом для многорядной арматуры напряжение s_s определяется с учетом коэффициента d_п, принимая крайний ряд стержней рассматриваемой арматуры (напрягаемой или ненапрягаемой). Здесь s_sb - сумма потерь предварительного напряжения от усадки и ползучести бетона (см. поз. 6, 8 и 9 табл. 4).

На участках элементов, имеющих начальные трещины в сжатой зоне (см. п. 4.5), величину усилия предварительного обжатия Р₂, а также напряжение s_sp следует снижать путем умножения на коэффициент q (см. п. 4.6).

Примечания: 1. Для статически определимых элементов при однорядном расположении напрягаемой арматуры и при A_s < A_sp /4 значение s_s + s_sp заведомо меньше R_s,ser.

2. Если разность расчетных сопротивлений напрягаемой и ненапрягаемой арматуры не превышает предварительного напряжения s_sp, определенного без учета потерь от усадки и ползучести бетона, то значение s_s - s_sb заведомо меньше R_s,ser.

4.18 (4.16). Ширину раскрытия начальных трещин в зоне сечения, растянутой от действия усилия предварительного обжатия в стадии изготовления, определяют по формуле (194), принимая  и d для арматуры, расположенной в указанной зоне (черт. 47, а); при этом напряжение в данной арматуре или (при наличии предварительного напряжения) приращение напряжений s_s определяется по формуле

,                                                    (211)

где М - момент от собственного веса и других нагрузок, действующих на элемент в стадии изготовления; в формуле (211) за положительный момент принимается момент, растягивающий зону с начальными трещинами;

z - определяется согласно п. 4.31 для стадии изготовления.

Черт. 47. Определение ширины раскрытия трещин, нормальных к продольной оси элемента, в стадии изготовления

а - схема усилий и эпюры напряжений; б - расположение расчетного сечения (I - I) при а > l_p; в - расположение расчетного сечения (I - I) при а < l_p; 1 - центр тяжести арматуры S; 2 - точка приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне; 3 - монтажная петля

При этом рассматриваются сечения с наиболее неблагоприятным совместным действием усилий Р₁ и М: в месте установки монтажной петли или в конце зоны передачи напряжений l_p (черт. 47, б, в). Если момент от собственного веса М растягивает верхнюю грань (сечение I - I), его следует учитывать с коэффициентом динамичности 1,4 (см. п. 1.9), в противном случае (сечение II - II) - без коэффициента динамичности. В рассматриваемой стадии усилие Р₁ и момент М рассматриваются как действующие непродолжительно.

Глубина начальных трещин h_crc в сжатой зоне должна быть не более 0,5h₀. Значение h_crc определяется по формуле

h_crc = h - (1,2 + j_m) x h₀.                                                 (212)

Значение j_m определяется согласно п. 4.6. Значение x определяется по формуле (232), рассматривая стадию изготовления.

4.19 (4.14). Для элементов, к трещиностойкости которых предъявляются требования 2-й категории, ширина раскрытия трещин определяется от суммарного непродолжительного действия постоянных, длительных и кратковременных нагрузок при коэффициенте j_l = j_l1 = 1,0.

Для элементов, к трещиностойкости которых предъявляются требования 3-й категории, ширина продолжительного раскрытия трещин определяется от действия постоянных и длительных нагрузок при коэффициенте j_l > 1,0. Ширина непродолжительного раскрытия трещин определяется как сумма ширины продолжительного раскрытия от постоянных и длительных нагрузок и приращения ширины раскрытия трещин от действия кратковременных нагрузок при коэффициенте j_l = 1,0, т.е. по формуле

,                                            (213)

где a_crc,l - ширина продолжительного раскрытия трещин от действия постоянных и длительных нагрузок;

j_l > 1,0 - см. п. 4.15; если величина a_crc,l определена с учетом формулы (198), то коэффициент j_l в формуле (213) заменяется произведением j_l j_l1 (j_l1 - см. п. 4.16б);

s_sl, s_s - определяются согласно п. 4.17 соответственно от постоянных и длительных нагрузок и от всех нагрузок.

Расчет по раскрытию трещин, наклонных к продольной оси элемента

4.20 (4.17). Ширина раскрытия трещин, наклонных к продольной оси элементов, при армировании хомутами, нормальными к продольной оси, должна определяться по формуле

,                                      (214)

где j_l - коэффициент, принимаемый равным при учете:

кратковременных нагрузок и непродолжительного действия постоянных и длительных нагрузок - 1,00; многократно повторяющейся нагрузки, а также продолжительного действия постоянных и длительных нагрузок для конструкций из бетонов:

тяжелого:

естественной влажности.............................................................. 1,50

в водонасыщенном состоянии.................................................... 1,20

при попеременном водонасыщении и

высушивании.................................................................................. 1,75

мелкозернистого и легкого.......................................... то же, что и в формуле (194);

h - коэффициент, принимаемый равным для поперечной арматуры классов: А-I - 1,3; А-II и А-III - 1,0; Вр-I - 1,2;

m_w - коэффициент насыщения элемента хомутами, равный:

;                                                          (215)

d_w - диаметр хомутов;

s_sw - напряжение в хомутах, определяемое по формуле

                                                                                        (216)

(значение напряжения s_sw не должно превышать R_s,ser).

Здесь Q_b1 - правая часть условия (93); при этом коэффициент j_b4 умножается на 0,8, а значения R_bt и R_b заменяются на R_bt,ser и R_b,ser; значение R_bt,ser принимается не более значения, соответствующего бетону класса В30;

Q - поперечная сила от внешней нагрузки, расположенной по одну сторону от рассматриваемого наклонного сечения, определяемая согласно п. 3.22.

Расчет производится для наиболее опасных наклонных сечений, определяемых согласно п. 3.30б.

При определении ширины непродолжительного и продолжительного раскрытия наклонных трещин должны учитываться указания п. 4.19; при этом в формуле (213) коэффициент j_l назначается согласно настоящему пункту, а отношение s_sl/s_s заменяется отношением напряжений s_swl/s_sw, определяемых по формуле (216) соответственно от постоянных и длительных нагрузок и от всех нагрузок.

Допускается уменьшать величину a_crc в 1,5 раза по сравнению с определенной по формуле (214), если элемент армирован поперечными стержнями, нормальными к оси элемента, и продольными стержнями того же диаметра с расстояниями по высоте сечения, равными шагу поперечных стержней.

Примеры расчета

Пример 33. Дано: элемент нижнего пояса фермы с размерами поперечного сечения: h = 280 мм, b = 250 мм, а = а¢ = 40 мм; бетон тяжелый класса В35 (R_b,ser = 25,5 МПа, E_b = 3,1 × 10⁴ МПа); продольная растягивающая сила от всех нагрузок N = 850 кН; момент от всех нагрузок М = 45 кН · м; продольная сила и момент от постоянных и длительных нагрузок равны: N_l = 820 кН и M_l = 30 кН · м; предварительное напряжение в арматуре с учетом всех потерь s_sp2 = 264 МПа; остальные данные - по примеру 29.

Требуется рассчитать элемент по раскрытию нормальных трещин.

Расчет. Проверяем непродолжительное и продолжительное раскрытие трещин.

h₀ = 280 - 40 = 240 мм.

Определяем эксцентриситеты внешней продольной силы N и равнодействующей N_tot относительно центра тяжести приведенного сечения:

 мм;

 мм;

N_tot = N - P₂ = 850 - 650 = 200 кН > 0;

N_l,tot = 820 - 650 = 170 кН > 0.

Поскольку e_0p = 0,

;

.

Продолжительное раскрытие трещин определяем по формуле (194). Так как e_0l,tot < 0,8h₀, приращение напряжения в арматуре s_s определяем по формуле (207):

e_s = y₀ - а - e_0l = 140 - 40 - 36,6 = 63,4 мм;

e_sp = y₀ - а = 140 - 40 = 100 мм;

z_s = h₀ - а¢ = 240 - 40 = 200 мм;

 МПа.

Ширину раскрытия трещин а_crc находим по формуле (194). Для этого вычисляем коэффициенты:

 (принимаем  = 0,02);

j_l = 1,6 - 1,5 = 1,6 - 1,5 × 0,02 = 1,3;

h = 1,0; d = 1,2 (поскольку N > P₂).

Отсюда

т.е. продолжительное раскрытие трещин меньше предельно допустимого - а_crc,2 = 0,3 мм (см. табл. 1б).

Непродолжительное раскрытие трещин определяем по формуле (213), принимая а_crc,l = 0,136 мм, s_sl = 191 МПа и j_l = 1,3.

Для определения величины s_s находим значение z согласно указаниям п. 4.31:

e_s = y₀ - а - e₀ = 140 - 40 - 52,9 = 47,1 мм;

M_s = P₂ e_sp - Ne_s = 650 × 10³ × 100 - 850 × 10³ × 47,1 мм =

= 25 × 10⁶ Н · мм;

;

 мм;

; ;

ma = 0,021 × 6,5 = 0,137; v = 0,45;

;

;

Так как x = 0,155 < , значение x рассчитываем, принимая A¢_sp = 0, j_f = 0, l = 0:

Так как j_f = 0, формула (238) принимает вид

z = h₀ (1 - 0,5x) = 240 (1 - 0,5 × 0,224) = 213 мм.

Приращение напряжений в арматуре определяем по формуле (206):

 МПа.

Поскольку s_sp2 + s_s = 264 + 257 = 521 МПа < R_s,ser = 590 МПа, отсутствие неупругих деформаций в арматуре обеспечено.

 мм,

что меньше предельного допустимого значения a_crc,1 = 0,4 мм.

Пример 34. Дано: многопустотная плита перекрытия - по черт. 43; бетон легкий класса В15, марки по средней плотности D1600 (E_b = 13900 МПа); продольная арматура класса А-IV, площадью сечения A_sp = 1539 мм² (10 Æ 14); усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и g_sp = 1,0) P = 636 кН; момент от всех нагрузок M_tot = 133,7 кН · м; момент от постоянных и длительных нагрузок M_l = 106,4 кН · м; требования к трещиностойкости 3-й категории; остальные данные из примера 30.

Требуется рассчитать плиту по раскрытию нормальных трещин.

Расчет. h₀ = h - a = 220 - 30 = 190 мм (см. черт. 43).

Из примера 30 имеем M_rp = 84,9 кН · м. Так как  согласно п. 4.14, проверяем только непродолжительное раскрытие трещин по формуле (213). Сначала по формуле (194) определим продолжительное раскрытие трещин при действии момента M_l = 106,4 кН · м.

Поскольку M_r = M_l = 106,4 кН · м < M_crc = 128,7 кН · м, приращение напряжений s_s определяем по формуле (208). Для этого определим значение s_s,crc от действия момента M_crc = 128,7 кН · м. Поскольку 350A_sp = 350 × 1539 = 538650 Н < P₂ = 636 кН, воспользуемся упрощенной формулой (209). Из примера 30 имеем b¢_f = b_f = 3580 мм, b = 984 мм и h = h¢_f = 41 мм. Тогда

.

Поскольку A_s = 0, A¢_s = 0 и A¢_sp = 0, M_s = M = 128,7 кН · м;

;

.

Находим коэффициент j_crc. Для этого по табл. 40 принимаем ближайшие табличные значения j_f = 0,5 и ma = 0,1 и интерполируем только по e_s,tot /h₀: при  = 1,0 j_crc = 0,2; при  = 1,1 j_crc = 0,27; тогда при  = 1,065 j_crc = 0,2 + 0,65 (0,27 - 0,2) = 0,246.

 МПа.

Из формулы (208) имеем

 МПа.

Ширину продолжительного раскрытия трещин определяем по формуле (194) п. 4.15. Из этого пункта имеем:

j_l = 1,5; d = 1,0; h = 1,0; d = 14 мм;

;

Определим ширину непродолжительного раскрытия трещин по формуле (213), принимая a_crc,l = 0,056 мм и s_sl = 52,9 МПа. Напряжение s_s определим по формуле (209), приняв M_s = M_tot = 133,7 кН · м:

.

Из табл. 40 при j_f = 0,5, ma = 0,1 и  находим j_crc = 0,274.

Тогда

 МПа;

 мм,

что меньше предельно допустимого значения a_crc1 = 0,4 мм.

Пример 35. Дано: плита перекрытия по черт. 44; класс тяжелого бетона В25 (E_b = 2,7 × 10⁴ МПа); передаточная прочность R_bp = 20 МПа ; арматура в верхней зоне плиты класса А-III (E_s = 2 × 10⁵ МПа), площадью сечения A_s = 50,3 мм² (1 Æ 8); в нижней зоне плиты арматура площадью A¢_sp + A¢_s = 569 мм² (1 Æ 25 + 1 Æ 10); усилие предварительного обжатия с учетом первых потерь Р₁ = 230 кН; его эксцентриситет относительно центра тяжести приведенного сечения e_0p = 167 мм; нагрузка от собственного веса плиты q_w = 1,3 кН/м (для половины плиты).

Требуется определить ширину раскрытия и глубину нормальных трещин в стадии изготовления.

Расчет. Из примера 31 известно, что в рассматриваемой стадии образуются верхние (начальные) трещины. Рассмотрим сечение в месте закрепления монтажных петель на расстояние l₁ = 1 м от торца плиты. Момент в этом сечении от собственного веса плиты найдем как для консоли с учетом коэффициента динамичности, равного при подъеме 1,4 (см. п. 1.9):

 кН · м.

Находим напряжение в арматуре s_s, необходимое для вычисления ширины раскрытия трещин по формуле (211). Для этой цели вычисляем плечо z согласно указаниям п. 4.31; в связи с этим определяем следующие величины:

h₀ = 350 - 25 = 325 мм;

;

;

;

e_sp = e_0p + (h - y₀ - а) = 167 + (350 - 220 - 25) = 272 мм;

M_s = P₁ e_sp + M_w = 230 × 10³ × 272 + 0,9 × 10⁶ = 63,5 × 10⁶ Н · мм;

 мм;

;

;

;

 мм.

Так как z < 0,97e_s,tot = 0,97 × 276,4 = 268 мм, оставляем z = 267 мм.

Напряжение в растянутой арматуре s_s определяем по формуле (211):

 МПа.

Для определения величины a_crc находим коэффициент  по формуле (195):

;

что меньше предельно допустимого значения a_crc = 0,4 мм.

В этом же сечении определим глубину верхних трещин согласно п. 4.18:

,

здесь  - см. пример 31;

h_crc = h - (1,2 + j_m) x h₀ = 350 - (1,2 + 0,50) 0,375 × 325 = 143 мм,

т.е. меньше 0,5h = 0,5 × 350 = 175 мм.

Пример 36. Дано: плита перекрытия по черт. 44; класс тяжелого бетона В25 (E_b = 2,7 × 10⁴ МПа, R_b,ser = 18,5 МПа); напрягаемая арматура класса A-IV (E_s = 1,9 × 10⁵ МПа), площадью сечения A_sp = 491 мм² (1 Æ 25); ненапрягаемая арматура растянутая и сжатая класса А-III, площадью сечения соответственно A_s = 78,5 мм² (1 Æ 10) и A¢_s = 50,3 мм² (1 Æ 8); усилие предварительного обжатия (с учетом всех потерь и g_sp = 1,0) Р₂ = 150 кН; его эксцентриситет e_0p = 165 мм; предварительное напряжение s_sp2 = 332 МПа; максимальный момент от всех нагрузок при g_f = 1,0 M_tot = 66 кН · м, в том числе момент от постоянных и длительных нагрузок M_l = 60 кН · м; требование к трещиностойкости 3-й категории.

Требуется рассчитать плиту по раскрытию нормальных трещин в стадии эксплуатации.

Расчет. Из примера 31 известно, что в стадии изготовления в верхней зоне плиты образуются начальные трещины; с учетом этих трещин M_crc = 31 кН · м < M_tot = 66 кН · м. Следовательно, расчет по раскрытию нормальных трещин в нижней зоне плиты необходим.

В связи с наличием начальных трещин уточняем значение Р₂. Согласно п. 4.17, усилие Р₂ снижается путем умножения на коэффициент q = 0,724 (см. пример 31):

Р₂ = 150 × 0,724 = 108,6 кН.

Тогда M_rp = P₂ (e_0p + r_sup) = 108,6 × 10³ (165 + 58,7) = 24,3 × 10⁶ Н · мм = 24,3 кН · м (r_sup принято по примеру 31).

Так как  согласно п. 4.14, проверяем только продолжительное раскрытие трещин.

Расчет производим согласно указаниям пп. 4.15 и 4.17. Для определения ширины раскрытия трещин находим значение z согласно указаниям п. 4.31:

M_s = M + P₂ e_sp = 60 × 10⁶ + 108,6 × 10³ × 5 = 60,5 × 10⁶ Н · мм,

где e_sp = y - e_0p - a = 220 - 165 - 50 = 5 мм;