Бесплатная библиотека стандартов и нормативов www.docload.ru

Все документы, размещенные на этом сайте, не являются их официальным изданием и предназначены исключительно для ознакомительных целей.
Электронные копии этих документов могут распространяться без всяких ограничений. Вы можете размещать информацию с этого сайта на любом другом сайте.
Это некоммерческий сайт и здесь не продаются документы. Вы можете скачать их абсолютно бесплатно!
Содержимое сайта не нарушает чьих-либо авторских прав! Человек имеет право на информацию!

 

ГОСТ Р 50779.21-96

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ОРГАНИЗАЦИИ

СТАТИСТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Часть 1. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

ГОССТАНДАРТ РОССИИ

МОСКВА

Предисловие

1 РАЗРАБОТАН И ВНЕСЕН Техническим комитетом по стандартизации «Стандартизация статистических методов управления качеством» ТК 125

АО «Нижегородский научно-исследовательский центр контроля и диагностики технических систем» (АО НИЦ КД)

2 ПРИНЯТ И ВВЕДЕН В ДЕЙСТВИЕ Постановлением Госстандарта России от 14 августа 1996 г. № 513

3 В настоящем стандарте учтены требования международного стандарта ИСО 2854-76 «Статистическое представление данных. Методы оценки и проверки гипотез о средних значениях и дисперсиях»

4 ВВЕДЕН ВПЕРВЫЕ

СОДЕРЖАНИЕ

1 область применения. 2

2 нормативные ссылки. 2

3 определения. 2

4 обозначения и сокращения. 3

5 общие требования. 4

6 точечное и интервальное оценивание математического ожидания генеральной совокупности. 5

7 точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности. 11

8 точечное и интервальное оценивание доли распределения случайной величины в заданном интервале. 14

Приложение а (справочное) Таблица значений функции стандартного нормального закона распределения. 22

Приложение б (справочное) Таблица значений квантилей распределения стьюдента. 24

Приложение в (справочное) Таблица значений квантилей c2-распределения. 25

Приложение г (справочное) Таблицы значений квантилей распределения фишера. 26

Введение

Стандарт устанавливает процедуры и методы решения ряда практических задач статистики в случае, когда наблюдаемые величины являются случайными и распределены по нормальному закону.

В стандарте изложены методы решения следующих задач:

а) точечного оценивания параметров нормального распределения случайной величины;

б) точечного оценивания вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал и вне его;

в) интервального (доверительного) оценивания параметров и величин, указанных в подпунктах а и б;

г) проверки гипотез об этих же величинах.

Все приводимые процедуры используют ограниченный ряд статистических независимых наблюдений, полученных в производстве, в лабораторных условиях, при контроле, измерении, оценке и т. п.

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТАНДАРТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Статистические методы

ПРАВИЛА ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ПО ВЫБОРОЧНЫМ ДАННЫМ

Часть 1. Нормальное распределение

Statistical methods. Determination rules and methods for calculation of statistical characteristics based on sample data. Part 1. Normal distribution

Дата введения 1997-07-01

1 ОБЛАСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ

Стандарт устанавливает методы, применяемые для:

- оценки математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности;

- проверки гипотез относительно значений этих параметров;

- оценки вероятности попадания (доли распределения) случайной величины в заданный интервал.

Примечание - Вероятность попадания случайной величины в интервал равна доле распределения случайном величины в этом интервале. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие «доля распределения случайной величины в интервале», которое далее используют в данном стандарте.

Методы, изложенные в настоящем стандарте, применимы в том случае, если выполнены следующие условия:

- элементы выборки получены путем независимых повторений эксперимента. В случае конечной генеральной совокупности объем должен составлять не более 10 % объема генеральной совокупности;

- наблюдаемые переменные распределены по нормальному закону. Однако, если распределение вероятностей не сильно отличается от нормального, то описанные в стандарте методы остаются применимыми для большинства практических приложений. В этом случае объем выборки должен быть не менее 10, причем достоверность получаемых статистических выводов возрастает при увеличении объемов выборок.

2 НОРМАТИВНЫЕ ССЫЛКИ

В настоящем стандарте использована ссылка на ГОСТ 15895-77 Статистические методы управления качеством продукции. Термины и определения

3 ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В настоящем стандарте применяют термины по ГОСТ 15895, а также приведенные ниже:

Точечное оценивание параметра - получение оценки параметра в виде одного численного значения.

Интервальное (доверительное) оценивание параметра - получение оценки параметра в виде доверительного интервала.

Доверительный интервал - интервал, границы которого являются функциями от выборочных данных и который накрывает истинное значение оцениваемого параметра с вероятностью не менее (1 - a), где (1 - a) - доверительная вероятность.

Примечание - Доверительный интервал может быть двусторонним или односторонним.

Нулевая гипотеза - предположение о распределении генеральной совокупности, которое проверяется по статистическим данным. В частности, в данном стандарте рассматривают предположения о значениях параметров распределения.

4 ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ

m - математическое ожидание нормального закона распределения (среднее значение генеральной совокупности);

Примечание - Далее по тексту - среднее значение.

m0 - известное значение параметра m;

m1, m2 - математические ожидания для двух различных генеральных совокупностей;

 - точечная оценка параметра m;  = .

mв, mн - верхняя и нижняя доверительные границы параметра m;

(m1 - m2)Ù - точечная оценка разности значений параметров m1 и m2;

s - стандартное (среднее квадратическое) отклонение нормально распределенной случайной величины;

D - дисперсия генеральной совокупности, D = s2;

D0 - известное значение дисперсии генеральной совокупности, D0 = s20;

s0 - конкретное численное значение параметра s;

s01, s02 - известные значения параметров s1 и s2 для двух генеральных совокупностей;

 - точечная оценка параметра s,  = S;

sв, sн - верхняя и нижняя доверительные границы параметра s;

 - точечная оценка дисперсии;

х - выборочное значение наблюдаемой случайной величины;

х1 - выборочное значение случайной величины из первой генеральной совокупности;

х2 - то же, из второй генеральной совокупности;

n, n1, n2 - объемы выборок;

 - средние арифметические значения (выборочные средние);

 - выборочное стандартное (среднее квадратическое) отклонение;

S1, S2 - то же, для двух выборок соответственно;

a - риск первого рода (вероятность отвергнуть гипотезу, когда она верна);

(1 - a) - доверительная вероятность, где a, 0 < a < 1, - уровень значимости при проверке гипотез;

v - число степеней свободы;

u1-a, u1-a/2 - квантили стандартного нормального закона распределения уровней 1 - a и 1 - a/2 соответственно;

t1-a(v), t1-a/2(v) - квантили распределения Стьюдента с v степенями свободы уровней 1-a и 1 - a/2 соответственно;

F1-a(v1, v2) - квантиль распределения Фишера уровня 1 - a с v1 и v2 степенями свободы;

c21-a(v), c21-a/2(v), c2a/2(v) - квантили c2-распределения c v степенями свободы уровней 1 - a, 1 - a/2 и a/2 соответственно;

L, М - нижняя и верхняя границы заданного интервала;

р - доля распределения (вероятность попадания) случайной величины в заданном интервале [L, М];

q - доля распределения (вероятность попадания) случайной величины вне интервала [L, М], причем q + р = 1;

 - точечные оценки р и q;

pн, qн - нижние односторонние доверительные границы для р и q;

pв, qв - верхние односторонние доверительные границы для р и q;

С - случайное событие, например: попадание случайной величины в заданный интервал;

Prob {С} - вероятность случайного события С;

Sх - сумма выборочных значений х.

5 ОБЩИЕ ТРЕБОВАНИЯ

5.1 Настоящий стандарт содержит описание типовых статистических задач и процедур, при помощи которых они решаются. Представленные задачи могут быть разбиты на три класса:

- точечное и интервальное оценивание среднего значения генеральной совокупности;

- точечное и интервальное оценивание дисперсии генеральной совокупности;

- точечное и интервальное оценивание доли распределения (вероятности попадания) случайной величины в заданном интервале и вне его.

5.2 Для решения каждой из перечисленных задач по 5.1 приведены процедуры их решения (разделы 6, 7, 8), включающие в себя:

1) исходные и статистические данные;

2) определение стандартных табличных данных, которые необходимы для проведения вычислений (приложения А, Б, В, Г), а также проведения вычислений параметров и коэффициентов по приведенным формулам;

3) результаты, полученные в итоге проведенных вычислений.

5.3 Для задач каждого класса приведены примеры их применения на практике (в производстве, медицине, химии). Спектр возможных применений этих задач не ограничивается приведенными в разделах 6, 7, 8 примерами.

5.4 Во всех приведенных задачах предполагается, что исходные статистические данные подчиняются нормальному закону распределения. В тех случаях, когда изначально в этом нет достаточной уверенности, должны быть проведены предварительные исследования соответствия исходных данных нормальному закону.

5.5 Процедуры решения перечисленных в 5.2 задач представлены в таблицах, соответствующих этим задачам (разделы 6, 7, 8).

Для удобства пользования таблицами разделов 6, 7, 8 задачи соответствующих разделов перечислены в обобщенных таблицах 5.1, 5.2, 5.3, 5.4.

Таблица 5.1 - Номера таблиц для решения задач по оценке среднего значения (раздел 6)

Задача оценки среднего значения

Номер таблицы

D известна

D неизвестна

Оценка

6.1

6.2

Сравнение среднего значения с заданной величиной

6.3

6.4

Сравнение двух средних

6.5

6.6

Оценка разности двух средних

6.7

6.8

Таблица 5.2 - Номера таблиц для решения задач по оценке дисперсии (раздел 7)

Задача оценки дисперсии

Номер таблицы

Оценка дисперсии

7.1

Сравнение дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной

7.2

Сравнение двух дисперсий или двух стандартных отклонений

7.3

Таблица 5.3 - Номера таблиц для решения задач по точечной оценке доли распределения случайной величины в заданном интервале (раздел 8)

Номер таблицы

D известна

D неизвестна

8.2

8.3

Таблица 5.4 - Номера таблиц для решения задач по интервальной оценке доли распределения случайной величины при неизвестной дисперсии в заданном интервале

Заданные границы интервала

Искомая величина

Номер таблицы

L

pн, qв

8.4

М

pн, qв

8.5

L, М

pн, qв

8.6

L

pв, qн

8.7

М

pв, qн

8.8

L, М

pв, qн

8.9

5.6 Процедуры интервального оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале, изложенные в разделе 8 настоящего стандарта, являются простыми для применения, но не самыми эффективными. Более эффективными являются процедуры с использованием таблиц нецентрального распределения Стьюдента или таблиц толерантных множителей, которые не приводятся в настоящем стандарте.

6 ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

6.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при известной дисперсии приведен в таблице 6.1.

Таблица 6.1 - Оценка среднего значения при известной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a):

u1-a =

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2):

u1-a/2 =

3 Известное значение дисперсии:

s20

3 Вычисляем:

4 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

4 Вычисляем:

 

5 Вычисляем:

Результаты:

1 Точечная оценка параметра m:

 =  =

2 Двусторонний симметричный доверительный интервал для m:

 - К2s0 £ m £  + К2s0

3 Односторонние доверительные интервалы для m:

m £  + К1s0 или

m ³  - К1s0

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А

Примеры

1 Определение настроенности станка-автомата при механической обработке (например, токарного, шлифовального). Точность станка, определяемая разбросом получаемых размеров деталей без изменения настройки, считается известной, а центр настройки m требуется определить. Возможны оценки в виде точечного значения  или в виде интервала, который с известной степенью доверия (доверительной вероятностью) включает неизвестное значение m. Интервал может быть:

- двусторонним, если необходима уверенность с заданной доверительной вероятностью в каких пределах может лежать m;

- односторонним с верхней границей, если необходима уверенность, что m не выше какого-то значения:

- односторонним с нижней границей, если необходима уверенность, что m не ниже какого-то значения.

2 Оценка настройки автоматического оборудования для розлива жидкости в тару. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.

3 Многие другие технологические процессы с известной или оцененной заранее точностью (т. е. известным параметром s20), в которых выходной контролируемый параметр имеет равновозможные отклонения в большую и меньшую стороны от центра настройки m. Условие и возможные типы оценок - как в примере 1.

6.2 Алгоритм точечного и интервального оценивания среднего значения при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.2.

Таблица 6.2 - Оценка среднего значения при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) с v степенями свободы:

t1-a(v) =

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) с v степенями свободы:

t1-a/2(v) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

3 Вычисляем:

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

4 Вычисляем:

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

5 Вычисляем:

 

6 Вычисляем:

 

7 Вычисляем:

Результаты: 1 Точечная оценка параметра m:

 =  =

2 Точечная оценка параметра D:

 = S2

3 Двусторонний симметричный доверительный интервал для параметра m:

 - l2S £ m £  + l2S

4 Односторонние доверительные интервалы для параметра m:

m £  + l1S или (1)

m ³  - l1S (2)

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б

Пример - Примеры те же, что и в 6.1, но точность, определяемая разбросом контролируемых значений, заранее неизвестна.

6.3 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением m0 при известной дисперсии приведен в таблице 6.3.

Таблица 6.3 - Сравнение среднего значения с заданным значением m0 при известной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a):

u1-a =

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2):

u1-a/2 =

3 Заданное значение:

m0 =

3 Вычисляем:

4 Известное значение дисперсии генеральной совокупности:

s20 =

или стандартного отклонения:

s0 =

 

5 Выбранный уровень значимости:

a =

 

Результаты:

Сравнение выборочного среднего значения  с заданным значением m0:

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

1 В одностороннем случае:

а) Предположение о том, что выборочное среднее не меньше чем m0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б) Предположение о том, что выборочное среднее не больше чем m0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А.1

Пример - Проверка правильности настройки технологического процесса на середину поля допуска или на заданное оптимальное значение. Точность технологического процесса предполагается известной или заранее оцененной, т. е. значение s20 известно.

Возможные технологические процессы: механическая обработка, расфасовка и другие, где равновозможны отклонения контролируемого параметра в большую и меньшую сторону от центра настройки.

6.4 Алгоритм решения задачи сравнения неизвестного среднего значения с заданным значением m0 при неизвестной дисперсии приведен в таблице 6.4.

Таблица 6.4 - Сравнение среднего значения с заданным значением m0 при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) с v степенями свободы:

t1-a(v) =

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) с v степенями свободы:

t1-a/2(v) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

3 Вычисляем:

4 Заданное значение:

m0 =

4 Вычисляем:

5 Степени свободы:

v = n - 1

5 Вычисляем:

6 Выбранный уровень значимости:

a =

 

Результаты:

Сравнение выборочного среднего значения  с заданным значением m0:

1 В двустороннем случае:

Предположение равенства выборочного среднего и заданного значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

1 В одностороннем случае:

а) Предположение о том, что выборочное среднее не меньше чем m0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б) Предположение о том, что выборочное среднее не больше чем m0 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б

Примеры

1 То же, что и в примере 6.3, но точность технологического процесса заранее неизвестна.

2 Контрольные проверки в розничной торговле и сфере обслуживания.

Например, у пяти человек, купивших по 1 кг сливочного масла, проводят повторное взвешивание товара на контрольных, более точных весах. При этом должен быть получен ответ на вопрос:

являются ли отклонения от точного веса случайными или имеется систематическое обвешивание покупателей.

То же - при отпуске бензина и масел на автозаправочных станциях, то же - при продаже тканей в магазинах и т. п.

6.5 Алгоритм решения задачи сравнения двух неизвестных средних значений при известных дисперсиях приведен в таблице 6.5.

Таблица 6.5 - Сравнение двух средних значений при известных дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

 

Первая выборка

Вторая выборка

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a):

u1-a =

1 Объем выборки:

n1 =

n2 =

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2):

u1-a/2 =

2 Суммы значений наблюдаемых величин:

Sx1 =

Sx2 =

3 Вычисляем:

;

3 Известные значения дисперсий генеральных совокупностей:

s201 =

s202 =

4 Вычисляем:

4 Выбранный уровень значимости:

a =

 

Результаты:

Сравнение средних значений двух совокупностей:

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

2 Односторонний случай:

а) Предположение о том, что первое среднее не меньше второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б) Предположение о том, что первое среднее не больше второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 Приложения А

Примеры

1 Технологический процесс механической обработки проводят параллельно на двух станках, точность каждого из них известна, т. е. известны параметры s01 и s02. Можно ли считать, что оба станка настроены одинаково? Можно ли смешивать детали, произведенные на этих двух станках? Это бывает существенно, если дальнейшие технологические процессы подстраивают под среднее значение - параметр данного технологического процесса.

2 Требуется определить, одинаково ли среднее значение - параметр содержание кофеина в двух партиях таблеток аскофена, выпущенных разными фармацевтическими заводами. При этом заранее известны характеристики разброса этого содержания (т. е. дисперсии) для каждого из двух заводов.

6.6 Алгоритм решения задачи сравнения двух средних значении при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.6.

Таблица 6.6 - Сравнение двух средних значений при неизвестных дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

 

Первая выборка

Вторая выборка

 

1 Объем выборки:

n1 =

n2 =

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) с v степенями свободы:

t1-a(v) =

2 Суммы значений наблюдаемых величин:

Sx1 =

Sx2 =

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) с v степенями свободы:

t1-a/2(v) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx21 =

Sx22 =

3 Вычисляем:

;

4 Степени свободы

v = n1 + n2 - 2 =

4 Вычисляем:

5 Выбранный уровень значимости: a

5 Вычисляем:

Результаты:

Сравнение средних значений двух совокупностей:

1 Двусторонний случай:

а) Предположение о том, что m1 ³ m2 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

1 < 2 - t1-a(v)Sd

2 Односторонний случай:

а) Предположение о том. что m1 £ m2 (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

1 > 2 + t1-a(v)Sd

б) Предположение о том, что первое среднее не больше второго (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

/1 - 2/ > t1-a/2(v)Sd

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б

Примечание - Дисперсии неизвестны, но в предположении могут быть равными.

Примеры

1 Примеры те же, что и для 6.5, но дисперсии неизвестны. Применение этих задач может встречаться чаще, чем задач в 6.5, т. к. в большинстве случаев в двух сравниваемых процессах или совокупностях дисперсии неизвестны.

2 Пример 2 из 6.5 может быть распространен на сравнение содержания различных химических веществ или примесей в двух совокупностях.

6.7 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних при известных дисперсиях приведен в таблице 6.7.

Таблица 6.7 - Оценка разности двух средних значений при известных дисперсиях

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

 

Первая выборка

Вторая выборка

1 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a):

u1-a =

1 Объем выборки:

n1 =

n2 =

2 Квантиль стандартного нормального закона распределения уровня (1 - a/2):

u1-a/2 =

2 Суммы значений наблюдаемых величин:

Sx1 =

Sx2 =

3 Вычисляем:

;

3 Известное значение дисперсий генеральной совокупности:

s201 =

s202 =

4 Вычисляем:

4 Выбранный уровень значимости:

a =

 

 

тогда доверительная вероятность равна 1 - a

 

Результаты:

1 Точечная оценка разности между средними значениями параметров m1 и m2 для двух совокупностей:

(m1 - m2)Ù = 1 - 2

2 Односторонний доверительный интервал для разности (m1 - m2):

(m1 - m2) < (1 - 2) + u1-asd или

(m1 - m2) > (1 - 2) - u1-asd

3 Двусторонний доверительный интервал для разности (m1 - m2):

(1 - 2) - u1-a/2sd < (m1 - m2) < (1 - 2) + u1-a/2sd

4 Предположение равенства средних значений (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

/1 - 2/ > u1-a/2(v)sd

Примечание - Квантили стандартного нормального закона распределения определяют по таблице А.1 приложения А

Пример - Сопоставление однотипных средних значений показателя качества для двух технологических процессов или двух совокупностей изделий. Считается, что дисперсии для обоих технологических процессов или совокупностей известны.

Например, оценка разности средней толщины гальванического покрытия двух партий одинаковых изделий; оценка разности среднего содержания вредных примесей в двух партиях химикатов и т. п.

6.8 Алгоритм точечного и интервального оценивания разности двух средних значений при неизвестных, но равных дисперсиях приведен в таблице 6.8.

Таблица 6.8 - Оценка разности двух средних значений при неизвестных, но равных* дисперсиях

___________

* Гипотезы равенства дисперсий двух генеральных совокупностей могут быть проверены по таблице 7.3 раздела 7.

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

 

Первая выборка

Вторая выборка

 

1 Объем выборки:

n1 =

n2 =

1 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a) с v степенями свободы:

t1-a(v) =

2 Суммы значений наблюдаемых величин:

Sx1 =

Sx2 =

2 Квантиль распределения Стьюдента уровня (1 - a/2) с v степенями свободы:

t1-a/2(v) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx21 =

Sx22 =

3 Вычисляем:

;

4 Степени свободы

v = n1 + n2 - 2 =

4 Вычисляем:

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

5 Вычисляем:

Результаты:

1 Точечная оценка разности между средними значениями параметров m1 и m2 для двух совокупностей:

(m1 - m2)Ù = 1 - 2

2 Двусторонний доверительный интервал для разности :

(1 - 2) - t1-a/2(v)Sd < m1 - m2 < (1 - 2) + t1-a/2(v)Sd

3 Односторонний доверительный интервал для разности (m1 - m2):

m1 - m2 < (1 - 2) + t1-a(v)Sd или

m1 - m2 > (1 - 2) - t1-a(v)Sd

Примечание - Квантили распределения Стьюдента определяют по таблице Б.1 приложения Б

Пример - Пример тот же; что и в 6.7, но дисперсии неизвестны. Применение этих оценок может встречаться чаще, чем оценки в 6.7, т. к. в большинстве случаев в двух сравниваемых совокупностях дисперсии неизвестны.

7 ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ДИСПЕРСИИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СОВОКУПНОСТИ

7.1 Алгоритм точечного и интервального оценивания дисперсии или стандартного отклонения приведен в таблице 7.1.

Таблица 7.1 - Точечная и интервальная оценки дисперсии или стандартного отклонения

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантили c2-распределения с v степенями свободы уровней a, (1 - a), a/2 и (1 - a/2) соответственно

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

c2a(v) =

c21-a(v) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

c2a/2(v) =

c21-a/2(v) =

4 Степени свободы:

v = n - 1

2 Вычисляем:

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

3 Вычисляем:

 =

Результаты:

1 Точечные оценки дисперсии D и стандартного отклонения s генеральной совокупности:

 = S2;

2 Двусторонний доверительный интервал* для дисперсии D:

3 Односторонний доверительный интервал* для дисперсии D:

 или (3)

 (4)

_____________

* Значения границ доверительного интервала стандартного отклонения s являются корнем квадратным из значений границ доверительного интервала дисперсии D.

Примечание - Квантили c2-распределения определяют по таблице В.1 приложения В

Примеры

1 Оценка точности (т. е. средней величины разброса) показателей качества на выходе технологического процесса.

2 Оценка точности поддержания заданного значения параметра в системах автоматического регулирования (например, температуры в печи).

Если необходимо знать просто среднее значение показателя точности, то делается точечная оценка s2 или s, а если необходима уверенность в том, что точность не хуже (разброс не выше) определенного значения, то делается интервальная оценка s2 или s с верхней доверительной границей.

7.2 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной приведен в таблице 7.2.

Таблица 7.2 - Сравнений дисперсии или стандартного отклонения с заданной величиной

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Квантили c2-распределения с v степенями свободы уровней a, (1 - a), a/2 и (1 - a/2) соответственно

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

c2a(v) =

c21-a(v) =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

c2a/2(v) =

c21-a/2(v) =

4 Заданное значение:

s20 = D0 =

2 Вычисляем:

5 Степени свободы:

v = n - 1

3 Вычисляем:

 =

6 Выбранный уровень значимости:

a =

 

Результаты:

Сравнение дисперсии D с заданным значением D0 = s20; или сравнение стандартного отклонения s с заданным s0:

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства дисперсии (стандартного отклонения) и заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

 или

2 Односторонний случай:

а) Предположение о том. что дисперсия (стандартное отклонение) не больше заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б) Предположение о том, что дисперсия (стандартное отклонение) не меньше заданного значения (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примечание - Квантили c2-распределения определяют по таблице В.1 приложения В

Примеры

1 Оценка точности одного оборудования или технологического процесса в сравнении с известной точностью (т. е. известным параметром s0) другого оборудования или технологического процесса.

2 Сравнение степени однородности одной совокупности изделий (т. е. величины разброса показателя качества) с известной заранее степенью однородности, характеризуемой стандартным отклонением s0.

7.3 Алгоритм решения задачи сравнения дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей приведен в таблице 7.3.

Таблица 7.3 - Сравнение дисперсий или стандартных отклонений двух генеральных совокупностей

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

 

Первая выборка

Вторая выборка

1 Вычисляем:

1 Объем выборки:

n1 =

n2 =

;

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx1 =

Sx2 =

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx21 =

Sx22 =

2 Вычисляем:

4 Степени свободы

v1 = n1 - 1 =

v2 = n2 – 1 =

5 Выбранный уровень значимости:

a =

3 Квантили распределения Фишера:

F1-a/2(v1, v2) =

F1-a(v1, v2) =

Результаты:

Сравнение дисперсий двух совокупностей:

1 Двусторонний случай:

Предположение равенства дисперсии или равенства двух стандартных отклонений (нулевая гипотеза) отвергается, если:

 или

2 Односторонний случай:

а) Предположение о том, что D1 £ D2 (s1 £ s2) (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

б) Предположение о том, что D1 ³ D2 (s1 ³ s2) (нулевая гипотеза) отклоняется, если:

Примечание - Квантили распределения Фишера определяют по таблицам Г.1-Г.9 приложения Г

Примеры

1 Сравнение точности двух станков-автоматов по результатам контроля геометрических размеров деталей.

2 Соотношение стабильности двух технологий, например отечественного и зарубежного предприятий, на основе сравнения результатов контроля двух выборок из двух соответствующих совокупностей изделий.

8 ТОЧЕЧНОЕ И ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ДОЛИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ В ЗАДАННОМ ИНТЕРВАЛЕ*

___________

* Доля распределения случайной величины в заданном. интервале равна вероятности попадания случайной величины в этот интервал. В большинстве практических задач физический смысл имеет понятие «доля распределения случайной величины в интервале», используемый в данном стандарте, хотя все приведенные статистические выводы справедливы и для «вероятности попадания случайной величины в интервал».

(Измененная редакция, Изм. № 1).

8.1 Алгоритм вычисления доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известных параметрах нормального распределения приведен в таблице 8.1.

Таблица 8.1 - Вычисление доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известных параметрах нормального распределения (вспомогательный алгоритм)

Исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Среднее значение (математическое ожидание):

m0 =

1 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная нижняя граница интервала:

2 Стандартное отклонение

s0 =

или дисперсия

D0 = s20 =

2 Пересчитанная для стандартного нормального закона эквивалентная верхняя граница интервала:

3 Границы интервала:

нижняя L =

верхняя М =

3 Доля распределения случайной величины, лежащая ниже границы L:

qL = Ф(uL)

Если L не задано, то qL = 0

 

4 Доля распределения случайной величины, лежащая выше границы М:

qM = Ф(-uM)

Если М не задано, то qM = 0

Результаты:

1 Доля распределения случайной величины вне интервала [L, M]:

q = qL + qM

1 Доля распределения случайной величины в интервале [L, M]:

p = 1 - q

Примечание - Величины Ф(uL) и Ф(-uM) представляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице А.1 приложения А

Для решения данной задачи не используют выборочные данные, а значения параметров m и s2 считают известными. Таблица 8.1 содержит вспомогательный алгоритм для решения задач 8.2-8.9.

Пример - Оценка ожидаемого уровня несоответствий показателя качества продукции (уровня несоответствий) при настройке станка на середину поля допуска или номинальное значение и известной точности s20.

8.2 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии приведен в таблице 8.2.

Таблица 8.2 - Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при известном стандартном отклонении или дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Точечная оценка среднего значения:

2 Стандартное отклонение:

s0 =

или дисперсия D0 = s20 =

2 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала:

нижняя:

верхняя:

3 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

3 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L (см. таблицу 8.1)

Если L не задана, то

4 Границы интервала:

нижняя L =

верхняя M =

4 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы М (см. таблицу 8.1)

Если М не задана, то

Результаты:

1 Точечная оценка доли распределения случайной величины вне интервала [L, М]:

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L, М]:

Примечание - Величины  и  представляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице A.1 приложения А

Пример - Оценка уровня несоответствия показателя качества продукции, который следует ожидать при работе станка или технологического процесса при установленном допуске и неизвестном уровне настройки. При этом считают, что точность станка или технологического процесса известна или достаточно точно оценена заранее.

8.3 Алгоритм точечного оценивания доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при неизвестной дисперсии приведен в таблице 8.3.

Таблица 8.3 - Точечная оценка доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его при неизвестной дисперсии

Статистические и исходные данные

Табличные данные и вычисления

1 Объем выборки:

n =

1 Точечная оценка среднего значения:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

2 Вычисляем:

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

3 Точечная оценка стандартного отклонения:

4 Границы интервала:

нижняя L =

верхняя М =

4 Пересчитанные для стандартного нормального закона эквивалентные границы интервала

нижняя:

верхняя:

 

5 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей ниже границы L (см. таблицу 8.1):

Если L не задана, то

 

6 Точечная оценка доли распределения случайной величины, лежащей выше границы М (см. таблицу 8.1):

Если М не задана, то 0

Результаты:

1 Точечная оценки доли распределения случайной величины вне интервала [L, М]:

2 Точечная оценка доли распределения случайной величины в интервале [L, М]:

Примечание - Величины  и  представляют собой значения функции стандартного нормального закона распределения, которые определяют по таблице A.1 приложения А

Пример тот же, что и в 8.2, но точность станка или технологического процесса неизвестна.

8.4 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале выше заданной нижней границы L приведен в таблице 8.4. Таким образом определяют верхнюю доверительную границу qв для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также нижнюю доверительную границу рн для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Примечание - Здесь и далее следует различать заданный изначально односторонний или двусторонний интервал (допуск) с известной границей (границами) для случайной величины Х и доверительный интервал для доли распределения случайной величины в этом допуске и вне его. Границы заданного интервала (допуска) L и М для случайной величины измеряются в тех же единицах физических величин, что и случайная величина, например: в миллиметрах, граммах и т. п. Границы получаемого доверительного интервала являются безразмерными, как и сама вероятность.

Примеры

1 Определение уровня несоответствий для показателя «толщина гальванопокрытия». Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

2 Оценка доли годных и несоответствующих деталей по показателю качества «твердость после термической обработки». Требование (допуск) одностороннее: L = 45 ед. Роквелла. Оценка получается в виде верхней доверительной границы qв на долю несоответствующей продукции с твердостью ниже 45 ед. Кроме того, получается нижняя доверительная граница рн на долю продукции, соответствующей требованию, т. е. на долю деталей с твердостью не ниже 45 ед. Доверительные оценки рн и qв, в отличие от точечных, имеют характеристики достоверности утверждений (с вероятностью 1 - a):

истинная доля годной продукции не менее рн;

истинная доля несоответствующей продукции не более qв.

Таблица 8.4 - Определение верхней qв и нижней рн доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{q £ qв} ³ 1 - a, Prob {p ³ pн} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

 - для m и

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

 - для s, причем

 = 1 - a,

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

где j = 1, 2, 3, тогда

a1m = 1/4a

a2m = 1/2a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

a3m = 3/4a

ajs = /

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

L =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

 

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - am)

(см. формулу (2) таблицы 6.2)

 

2.2 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - as)

(см. формулу (4) таблицы 7.1)

 

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

 

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjв =

 

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1в, q2в, q3в

Результаты:

1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qв = min(q1в, q2в, q3в)

2 Нижняя доверительная граница для р:

рн = 1 - qв

8.5 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале ниже заданной верхней границы М приведен в таблице 8.5. Таким образом определяют верхнюю доверительную границу qв для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М, а также нижнюю доверительную границу рн для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.5 - Определение верхней qв и нижней рн доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{q £ qв} ³ 1 - a, Prob {p ³ pн} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

 - для m и

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

 - для s, причем

 = 1 - a,

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

где j = 1, 2, 3, тогда

a1m = 1/4a

a2m = 1/2a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

a3m = 3/4a

ajs = /

6 Верхняя граница одностороннего интервала:

М =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

 

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - am)

(см. формулу (1) таблицы 6.2)

 

2.2 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - as)

(см. формулу (4) таблицы 7.1)

 

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

 

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjв =

 

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1в, q2в, q3в

Результаты:

1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qв = min(q1в, q2в, q3в)

2 Нижняя доверительная граница для р:

рн = 1 - qв

Пример - Определение уровня несоответствий для показателя «процент примесей» в металлургии или в фармакологии. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного процента.

8.6 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] приведен в таблице 8.6. Таким образом определяют верхнюю доверительную границу qв для доли распределения вне интервала [L, М], а также нижнюю доверительную границу pн для доли распределения случайной величины в данном интервале.

Таблица 8.6 - Определение верхней qв и нижней pн доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{q £ qв} ³ 1 - a, Prob {p ³ pн} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

 - для m и

 - для s, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

 = 1 - a,

где j = 1, 2, 3, тогда

a1m = 1/4a

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

a2m = 1/2a

a3m = 3/4a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

ajs = /

6 Границы интервала:

L =

М =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

 

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - am)

,

(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2)

 

2.2 Наихудшая точка :

 = mн, если mнА £ В - mв

 = mв, если mнА > В - mв

 

2.3 Интервальная оценка параметра s, соответствующая доверительной вероятности (1 - as)

(см. формулу (4) таблицы 7.1)

 

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

 

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjв =

 

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1в, q2в, q3в

Результаты:

1 Верхняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qв = min(q1в, q2в, q3в)

2 Нижняя доверительная граница для р:

рн = 1 - qв

Пример из 8.2, но точность станка заранее неизвестна. Случай, когда необходимо иметь определенную уверенность в том, что уровень несоответствий не превышает установленного предельного значения.

8.7 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале выше заданной нижней границы L приведен в таблице 8.7. Таким образом определяют нижнюю доверительную границу qн для доли распределения вне одностороннего интервала с нижней границей L, а также верхнюю доверительную границу рв для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.7 - Определение нижней qн и верхней рв, доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной нижней границей L (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{q ³ qн} ³ 1 - a, Prob {p £ pв} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

 - для m и

 - для s, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

 = 1 - a,

где j = 1, 2, 3, тогда

a1m = 1/4a

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

a2m = 1/2a

a3m = 3/4a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

6 Нижняя граница одностороннего интервала:

L =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

 

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - am)

(см. формулу (2) таблицы 6.2)

 

2.2 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - as)

(см. формулу (3) таблицы 7.1)

 

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

 

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjн =

 

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1н, q2н, q3н

Результаты:

1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qн = max(q1н, q2н, q3н)

2 Верхняя доверительная граница для р:

рв = 1 – qн

Пример - Доказательство (с заданной вероятностью) того, что уровень несоответствий по данному показателю качества превышает установленное в нормативной документации предельное значение. Случай предъявления рекламаций на серийную или массовую продукцию по определенному показателю качества.

8.8 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в одностороннем интервале ниже заданной верхней границы М приведен в таблице 8.8. Таким образом определяют нижнюю доверительную границу qн для доли распределения вне одностороннего интервала с верхней границей М, а также верхнюю доверительную границу рв для доли распределения случайной величины в указанном интервале.

Таблица 8.8 - Определение нижней qн и верхней рв, доверительных границ для доли распределения случайной величины в одностороннем интервале и вне его с заданной верхней границей М (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{q ³ qн} ³ 1 - a, Prob {p £ pв} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

 - для m и

 - для s, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

 = 1 - a,

где j = 1, 2, 3, тогда

a1m = 1/4a

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

a2m = 1/2a

a3m = 3/4a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

6 Верхняя граница одностороннего интервала:

М =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

 

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - am)

(см. формулу (2) таблицы 6.2)

 

2.2 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - as)

(см. формулу (3) таблицы 7.1)

 

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

 

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjн =

 

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1н, q2н, q3н

Результаты:

1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qн = max(q1н, q2н, q3н)

2 Верхняя доверительная граница для р:

рв = 1 – qн

8.9 Алгоритм интервального оценивания доли распределения случайной величины с неизвестной дисперсией в заданном интервале [L, М] приведен в таблице 8.9. Таким образом определяют нижнюю доверительную границу qн для доли распределения вне интервала [L, М], а также верхнюю доверительную границу рв для доли распределения случайной величины в данном интервале.

Таблица 8.9 - Определение нижней qн и верхней рв, доверительных границ для доли распределения случайной величины в заданном интервале [L, М] и вне его (дисперсия неизвестна)

Необходимые условия: Prob{q ³qв} ³ 1 - a, Prob {p £ pн} ³ 1 - a

Статистические и исходные данные

Промежуточные вычисления и процедуры

1 Объем выборки:

n =

1 Устанавливаем соответственно три пары доверительных вероятностей:

2 Сумма значений наблюдаемых величин:

Sx =

 - для m и

 - для s, причем

3 Сумма квадратов значений наблюдаемых величин:

Sx2 =

 = 1 - a,

где j = 1, 2, 3, тогда

a1m = 1/4a

4 Степени свободы:

v = n – 1 =

a2m = 1/2a

a3m = 3/4a

5 Выбранная доверительная вероятность:

1 - a

ajs = /

6 Границы интервала:

L =

М =

2 Процедура доверительного оценивания среднего значения и стандартного отклонения

 

2.1 Интервальная оценка параметра m с доверительной вероятностью (1 - am)

 или

,

(см. формулы (1), (2) таблицы 6.2)

 

2.2 Наихудшая точка :

 = mв, если  (2.2.1)

 = mн, если  (2.2.2)

, если формулы (2.2.1) и (2.2.2) не выполняются

 

2.3 Интервальная оценка параметра s с доверительной вероятностью (1 - as)

(см. формулу (3) таблицы 7.1)

 

Примечание - Данную процедуру повторяют три раза

 

3 Интервальная оценка величины q при полученных значениях параметров m и s - по таблице 8.1:

qjн =

 

4 После повторения процедуры по пунктам 2 и 3 для j = 1, 2, 3 имеем:

q1н, q2н, q3н

Результаты:

1 Нижняя доверительная граница для q, соответствующая доверительной вероятности (1 - a):

qн = max(q1н, q2н, q3н)

2 Верхняя доверительная граница для р:

рв = 1 – qн

ПРИЛОЖЕНИЕ А
(справочное)

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИИ СТАНДАРТНОГО НОРМАЛЬНОГО ЗАКОНА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

A.1 В таблице A.1 даны значения функции стандартного нормального закона распределения

,

т. е. значения площади под кривой

,

лежащей левее точки и.

А.2 В левой колонке таблицы A.1 приведены значения аргумента и от 0,00 до 0,49, обозначение буквой z. Во второй колонке приведены значения функции Ф для этих значений аргумента. В последующих колонках таблицы даны значения функции Ф для значении аргумента и от 0,50 и выше. При этом значение аргумента и находят как сумму значения z и величин::  0,50; 1,00; 1,50; 2,00; 2,50; 3,00.

Пример - Для и = 1,86 = (1,5 + 0,36) находим: Ф (1,86) = 0,96856.

А.3 Значения функции Ф (и) для отрицательных и рассчитывают по формуле:

Ф () = 1 - Ф (u).

А.4 Значение квантили Ua уровня a находится как значение аргумента U, соответствующего значению функции Ф (и) = а.

Пример - Значению a = 0,99 соответствует ближайшее табличное значение Ф = 0,99010. По таблице A.1 для этого значения функции находят значение аргумента и:

и = 2,0 + 0,33 = 2,33.

Таблица A.1 - Значения функции стандартного нормального закона распределения

z

Ф(z)

Ф(0,5 + z)

Ф(1,0 + z)

Ф(l,5 + z)

Ф(2,0 + z)

Ф(2,5 + z)

Ф(3,0 + z)

0,00

0,50000

0,69146

0,84134

0,93319

0,97725

0,99379

0,99865

0,01

0,50399

0,69497

0,84375

0,93448

0,97778

0,99396

0,99869

0,02

0,50798

0,69847

0,84614

0,93574

0,97831

0,99413

0,99874

0,03

0,51197

0,70194

0,84850

0,93699

0,97882

0,99430

0,99878

0,04

0,51595

0,70540

0,85083

0,93822

0,97932

0,99446

0,99882

0,05

0,51994

0,70884

0,85314

0,93943

0,97982

0,99461

0,99886

0,06

0,52392

0,71226

0,85543

0,94062

0,98030

0,99477

0,99889

0,07

0,52790

0,71566

0,85769

0,94179

0,98077

0,99492

0,99893

0,08

0,53188

0,71904

0,85993

0,94295

0,98124

0,99506

0,99896

0,09

0,53586

0,72240

0,86214

0,94408

0,98169

0,99520

0,99900

0,10

0,53983

0,72575

0,86433

0,94520

0,98214

0,99534

0,99903

0,11

0,54380

0,72907

0,86650

0,94630

0,98257

0,99547

0,99906

0,12

0,54776

0,73237

0,86864

0,94738

0,98300

0,99560

0,99910

0,13

0,55172

0,73565

0,87076

0,94845

0,98341

0,99573

0,99913

0,14

0,55567

0,73891

0,87286

0,94950

0,98382

0,99585

0,99916

0,15

0,55962

0,74215

0,87493

0,95053

0,98422

0,99598

0,99918

0,16

0,56356

0,74537

0,87698

0,95154

0,98461

0,99609

0,99921

0,17

0,56750

0,74857

0,87900

0,95254

0,98500

0,99621

0,99924

0,18

0,57142

0,75175

0,88100

0,95352

0,98537

0,99632

0,99926

0,19

0,57535

0,75490

0,88298

0,95449

0,98574

0,99643

0,99929

0,20

0,57926

0,75804

0,88493

0,95543

0,98610

0,99653

0,99931

0,21

0,58317

0,76115

0,88686

0,95637

0,98645

0,99664

0,99934

0,22

0,58706

0,76424

0,88877

0,95728

0,98679

0,99674

0,99936

0,23

0,59095

0,76731

0,89065

0,95818

0,98713

0,99683

0,99938

0,24

0,59483

0,77035

0,89251

0,95907

0,98745

0,99693

0,99940

0,25

0,59871

0,77337

0,89435

0,95994

0,98778

0,99702

0,99942

0,26

0,60257

0,77637

0,89617

0,96080

0,98809

0,99711

0,99944

0,27

0,60642

0,77935

0,89796

0,96164

0,98840

0,99720

0,99946

0,28

0,61026

0,78230

0,89973

0,96246

0,98870

0,99728

0,99948

0,29

0,61409

0,78524

0,90147

0,96327

0,98899

0,99736

0,99950

0,30

0,61791

0,78814

0,90320

0,96407

0,98928

0,99744

0,99952

0,31

0,62172

0,79103

0,90490

0,96485

0,98956

0,99752

0,99953

0,32

0,62552

0,79389

0,90658

0,96562

0,98983

0,99760

0,99955

0,33

0,62930

0,79673

0,90824

0,96638

0,99010

0,99767

0,99957

0,34

0,63307

0,79955

0,90988

0,96712

0,99036

0,99774

0,99958

0,35

0,63683

0,80234

0,91149

0,96784

0,99061

0,99781

0,99960

0,36

0,64058

0,80511

0,91308

0,96856

0,99086

0,99788

0,99961

0,37

0,64431

0,80785

0,91466

0,96926

0,99111

0,99795

0,99962

0,38

0,64803

0,81057

0,91621

0,96995

0,99134

0,99801

0,99964

0,39

0,65173

0,81327

0,91774

0,97062

0,99158

0,99807

0,99965

0,40

0,65542

0,81594

0,91924

0,97128

0,99180

0,99813

0,99966

0,41

0,65910

0,81859

0,92073

0,97193

0,99202

0,99819

0,99968

0,42

0,66276

0,82121

0,92220

0,97257

0,99224

0,99825

0,99969

0,43

0,66640

0,82381

0,92364

0,97320

0,99245

0,99831

0,99970

0,44

0,67003

0,82639

0,92507

0,97381

0,99266

0,99836

0,99971

0,45

0,67364

0,82894

0,92647

0,97441

0,99286

0,99841

0,99972

0,46

0,67724

0,83147

0,92785

0,97500

0,99305

0,99846

0,99973

0,47

0,68082

0,83398

0,92922

0,97558

0,99324

0,99851

0,99974

0,48

0,68439

0,83646

0,93056

0,97615

0,99343

0,99856

0,99975

0,49

0,68793

0,83891

0,93189

0,97670

0,99361

0,99861

0,99976

Примечание - z - значение аргумента и от 0,00 до 0,49. Значение аргумента и от 0,50 и выше находят как сумму z и величин 0,5; 1,0; 1,5 и т. д. (см. заголовки колонок таблицы)

ПРИЛОЖЕНИЕ Б
(справочное)

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ КВАНТИЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА

Б.1 В таблице Б.1 приведены значения квантилей ta(v) распределения Стьюдента уровня a с v степенями свободы.

Пример - Для v = 9 квантиль уровня a = 0,99 имеет значение 2,821.

Б.2 Квантили уровня a = 0,5 при любом v имеют значение t = 0.

Б.3 Квантили уровня a < 0,5 находятся по формуле

ta(v) = -ta-1(v).

(Измененная редакция, Изм. № 1).

Б.4 Для промежуточных значений а, лежащих между двумя соседними табличными значениями a1 и a2:

a1 < a < a2,

значение квантиля ta(v) может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):

.

(Измененная редакция, Изм. № 1).

Пример - Для v = 9 требуется найти квантиль уровня a = 0,992. Полагаем: a1 = 0,99, a2 = 0,995; находим по таблице t0,99 = 2,821, t0,995 = 3,250 и вычисляем:

,

(Измененная редакция, Изм. № 1).

для v = 9 степеней свободы.

Таблица Б.1 - Значения квантилей распределения Стьюдента

v

Значения квантилей распределения Стьюдента при уровне доверия а

0,55

0,6

0,65

0,7

0,75

0,8

0,85

0,9

0,95

0,975

0,99

0,995

0,9995

1

0,158

0,325

0,510

0,727

1,000

1,376

1,963

3,078

6,314

12,706

31,821

63,657

636,619

2

0,142

0,289

0,445

0,617

0,816

1,061

1,386

1,886

2,920

4,303

6,965

9,925

31,598

3

0,137

0,277

0,424

0,584

0,765

0,978

1,250

1,638

2,353

3,182

4,541

5,841

12,924

4

0,134

0,271

0,414

0,569

0,741

0,941

1,190

1,533

2,132

2,776

3,747

4,604

8,610

5

0,132

0,267

0,408

0,559

0,727

0,920

1,156

1,476

2,015

2.571

3.365

4,032

6,869

6

0,131

0,265

0,404

0,543

0,718

0,906

1,134

1,440

1,943

2,447

3,143

3,707

5,959

7

0,130

0,263

0,402

0,549

0,711

0,896

1,119

1,415

1,895

2,365

2,998

3,499

5.408

S

0,130

0,262

0,399

0,546

0,706

0,889

1,108

1,397

1,860

2,306

2,896

3,355

5,041

9

0,129

0,261

0,398

0,543

0,703

0,883

1,100

1,383

1,833

2,262

2,821

3,250

4,781

10

0,129

0,260

0,397

0,542

0,700

0,879

1,093

1,372

1,812

2,228

2,764

3,169

4,587

11

0,129

0,260

0,396

0,540

0,697

0,876

1,088

1,363

1.796

2,201

2.718

3,106

4,437

12

0,128

0,259

0,395

0,539

0,695

0,873

1,083

1,356

1,782

2,179

2,681

3,055

4,318

13

0,128

0,259

0,394

0,538

0,694

0,870

1,079

1,350

1,771

2,160

2,650

3,012

4,221

14

0,128

0,258

0,393

0,537

0,692

0,868

1,076

1,345

1,761

2,145

2,624

2,977

4,140

13

0,128

0,258

0,393

0,536

0,691

0,866

1,074

1,341

1,753

2,131

2,602

2,947

4,173

16

0,128

0,258

0,392

0,535

0,690

0,865

1,071

1,337

1,746

2,120

2,583

2,921

4,015

17

0,128

0,257

0,392

0,534

0,689

0,863

1,069

1,333

1,740

2,110

2,567

2,898

3,965

18

0,127

0,257

0,392

0,534

0,688

0,862

1,067

1,330

1,734

2,101

2,552

2,878

3,922

19

0,127

0257

0,391

0,533

0,688

0,861

1,066

1,328

1,729

2,093

2,539

2,861

3,883

20

0,127

0,2a7

0,391

0,533

0,687

0,860

1,064

1,325

1,725

2,086

2,528

2,845

3,850

21

0,127

0,257

0,391

0,532

0,686

0,859

1,063

1,323

1,721

2,080

2,518

2,831

3,819

22

0,127

0,256

0,390

0,532

0,686

0,858

1,061

1,321

1,717

2,074

2,508

2,819

3,792

23

0,127

0,256

0,390

0,532

0,685

0,858

1,060

1,319

1,714

2,069

2,500

2,807

3,767

24

0,127

0,256

0,390

0,531

0,685

0,857

1,059

1,318

1,711

2,064

2,492

2,797

3,745

25

0,127

0,256

0,390

0,531

0,684

0,856

1,058

1,316

1,708

2,060

2,485

2,787

3,725

26

0,127

0,256

0,390

0,531

0,684

0,856

1,058

1,315

1,706

2.056

2,479

2,779

3,707

27

0,127

0,256

0,389

0,531

0,684

0,855

1,057

1,314

1,703

2,052

2,473

2,771

3,690

28

0,127

0,256

0,339

0,530

0,683

0,855

1,056

1,313

1,701

2,048

2,467

2,763

3,674

29

0,127

0,256

0,389

0,530

0,683

0,854

1,055

1,311

1,699

2,045

2,462

2,756

3,659

30

0,127

0,256

0,389

0,530

0,683

0,854

1,055

1,310

1,697

2,042

2,457

2,750

3,646

40

0,126

0,255

0,388

0,529

0,681

0,851

0,050

1,303

1,684

2,021

2,423

2,704

3,551

60

0,126

0,254

0,387

0,527

0,679

0,848

0,046

1,296

1,671

2,000

2,390

2,660

3,460

120

0,126

0,254

0,386

0,526

0,677

0,845

0,041

1,289

1,658

1,980

2.358

2,617

3,373

¥

0,126

0,253

0,385

0,524

0,674

0,842

0,036

1,282

1,645

1,960

2,326

2,576

3,291

ПРИЛОЖЕНИЕ В
(справочное)

ТАБЛИЦА ЗНАЧЕНИЙ КВАНТИЛЕЙ c2-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

B.1 В таблице B.1 приведены значения квантилей c2a (v), т. е. квантилей c2-распределения уровня a с v степенями свободы.

Пример - Для v = 9 и a = 0,98 квантиль c20,98 = 19,679.

В.2 Для промежуточных значений a, лежащих между двумя соседними табличными значениями a1 и a2:

a1 < a < a2,

значение квантиля c2a может быть вычислено приближенно по формуле (метод линейной интерполяции):

.

(Измененная редакция, Изм. № 1).

Пример - Для v = 14 требуется найти квантиль уровня 0,988. Полагаем: a1 = 0,98; a2 = 0,99, находим по таблице B.1 c20,98 = 26,873; c20,99 = 29,141 и вычисляем:

для v = 14 степеней свободы.

Таблица В.1 - Значения квантилей c2-распределения

v

Значения квантилей c2-распределения при уровне доверия a

0,01

0,02

0,05

0,1

0,2

0,3

0,5

0,7

0,8

0,9

0,95

0,98

0,99

1

0,0157

0,0628

0,0393

0,0158

0,0642

0,148

0,455

1,074

1,642

2,706

3,841

5,412

6,635

2

0,0201

0,0404

0,103

0,211

0,446

0,713

1,386

2,408

3,219

4,605

5,991

7,824

9,210

3

0,115

0,185

0,352

0,584

1,005

1,424

2,366

3,665

4,642

6,251

7,815

9,837

11,345

4

0,297

0,429

0,711

1,064

1,649

2,195

3,357

4,878

5,989

7,779

9,488

11,668

13,277

5

0,554

0,752

1,145

1,160

2,343

3,000

4,351

6,064

7,289

9,233

11,070

13,388

15,086

6

0,872

1,134

1,635

2,204

3,070

3,828

5,348

7,231

8,558

10,645

12,592

15,033

16,812

7

1,239

1,564

2,167

2,833

3,822

4,671

6,346

8,383

9,803

12,017

14,067

16,622

18,475

8

1,646

2,032

2,733

3,490

4,594

5,527

7,344

9,524

11,030

13,362

15,507

18,168

20,090

9

2,088

2,532

3,325

4,168

5,380

6,393

8,343

10,656

12,242

14,684

16,919

19,679

21,666

10

2,358

3,059

3,940

4,865

6,179

7,267

9,342

11,781

13,442

15,987

18,307

21,161

23,209

11

3,053

3,609

4,575

5,578

6,989

8,148

10,341

12,899

14,631

17,275

19,675

22,618

24,725

12

3,571

4,178

5,226

6,304

7,807

9,034

11,340

14,011

15,821

18,549

21,026

24,054

26,217

13

4,107

4,765

5,892

7,042

8,634

9,926

12,340

15,119

16,985

19,812

22,362

25,472

27,688

14

4,660

5,368

6,571

7,790

9,467

10,821

13,339

16,222

18,151

21,064

23,585

26,873

29,141

15

5,229

5,985

7,261

8,547

10,307

11,721

14,339

17,322

19,311

22,307

24,996

28,259

30,578

16

5,812

6,614

7,962

9,312

11,152

12,624

15,333

18,418

20,465

23,542

26,296

29,633

32,000

17

6,408

7,255

8,672

10,035

12,002

13,531

16,338

19,511

21,615

24,769

27,587

30,995

33,409

18

7,015

7,906

9,390

10,865

12,857

14,440

17,338

20,601

22,760

25,989

28,869

32,346

34,805

19

7,633

8,567

10,117

11,651

13,716

15,352

18,338

21,689

23,900

27,204

30,144

33,687

36,191

20

8,260

9,237

10,851

12,443

14,578

16,266

19,337

22,775

25,038

28,412

31,410

35,020

37,566

21

8,897

9,915

11,591

13,240

15,445

17,182

20,337

23,858

26,171

29,615

32,671

36,343

38,932

22

9,542

10,600

12,338

14,041

16,314

18,101

21,337

24,939

27,301

30,813

33,924

37,659

40,289

23

10,196

11,293

13,091

14,848

17,187

19,021

22,337

26,018

28,429

32,007

35,172

38,968

41,638

24

10,856

11,992

13,848

15,659

18,062

19,943

23,337

27,096

29,553

33,196

36,415

40,270

42,980

25

11,524

12,697

14,611

16,473

18,940

20,867

24,337

28,172

30,675

34,382

37,652

41,566

44,314

26

12,198

13,409

15,379

17,292

19,820

21,792

25,336

29,246

31,795

35,563

38,885

42,856

45,642

27

12,879

14,125

16,151

18,114

20,703

22,719

26,336

30,319

32,912

36,741

40,113

44,140

46,963

28

13,565

14,847

16,928

18,939

21,588

23,647

27,336

31,391

34,027

37,916

41,337

45,419

48,278

29

14,256

15,574

17,708

19,768

22,475

24,577

28,336

32,461

35,139

39,087

42,557

46,693

49,588

30

14,953

16,306

18,493

20,599

23,364

25,508

29,336

33,530

36,250

40,256

43,773

47,962

50,892

ПРИЛОЖЕНИЕ Г
(справочное)

ТАБЛИЦЫ ЗНАЧЕНИЙ КВАНТИЛЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФИШЕРА

Г.1 В таблицах Г.1-Г.9 содержатся значения квантилей Fa (v1, v2) заданных уровней a для различных сочетаний степеней свободы v1 и v2. Каждая таблица соответствует одному уровню a, значение которого указано в заголовке таблицы, и различным значениям v1 и v2.

Г.1.1 Для определения квантилей уровней a меньше 0,5 следует использовать соотношение:

.

Г.1.2 Для промежуточных значений a, лежащих между двумя соседними значениями a1 и a2:

a1 < a < a2,

значение квантиля Fa может быть вычислено приближенно по формуле

.

Г.1.3 Для промежуточных значений v1 и v2, лежащих между двумя соседними табличными значениями v¢1 и v1 или v¢2 и v2, т. е.

v¢1 < v < v1 или v¢2 < v < v2,

значения квантилей Fa(v1), Fa(v2) могут быть приближенно вычислены по формулам

;

.

(Измененная редакция, Изм. № 1).


ТАБЛИЦА Г.1 - КВАНТИЛИ F-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ УРОВНЯ a = 0,5

v2

Квантили F-распределения уровня a = 0,5 для степеней свободы v1

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

12

15

20

24

30