Таблица 12 (прил. 4)

Области применения углеродистых сталей для закладных деталей железобетонных и бетонных конструкций

Характеристика закладных деталей	Класс стали	Расчетная температура эксплуатации конструкций
		до минус 30 °С включительно		ниже минус 30 °С до минус 40 °С включительно
		марка стали по ГОСТ 380-71*	толщина проката, мм	марка стали по ГОСТ 380-71*	толщина проката, мм
1. Закладные детали, рассчитываемые на усилия от статических нагрузок	С38/23	ВСт3кп2	4 - 30	ВСт3пс6	4 - 25
2. Закладные детали, рассчитываемые на усилия от динамических нагрузок	С38/23	ВСт3пс6	4 - 10	ВСт3пс6	4 - 10
		ВСт3Гпс5	11 - 30	ВСт3Гпс5	11 - 30
		ВСт3сп5	11 - 25	ВСт3сп5	11 - 25
3. Закладные детали конструктивные, не рассчитываемые на силовые воздействия	С38/23	БСт3кп2	4 - 10	БСт3пс2	4 - 10
	С38/23	ВСт3кп2	4 - 30	ВСт3кп2	4 - 30
Примечания: 1. Класс стали устанавливается в соответствии с главой СНиП по проектированию стальных конструкций. 2. Расчетная температура принимается согласно п. 1.3. 3. При температуре ниже минус 40 °С выбор марки стали для закладных деталей следует производить как для стальных сварных конструкций в соответствии с требованиями главы СНиП по проектированию стальных конструкций.

Нормативные и расчетные характеристики арматуры

2.19(2.26). За нормативные сопротивления арматуры R^н_а принимаются наименьшие контролируемые значения:

для стержневой арматуры - предела текучести, физического или условного (равного величине напряжений, соответствующих остаточному относительному удлинению 0,2 %);

для проволочной арматуры - временного сопротивления разрыву.

Указанные контролируемые характеристики арматуры принимаются в соответствии с государственными стандартами или техническими условиями на арматурные стали и гарантируются с вероятностью не менее 0,95.

Нормативные сопротивления R^н_а для основных видов ненапрягаемой арматуры приведены в табл. 13(19, 20).

2.20(2.27). Расчетные сопротивления арматуры растяжению и сжатию R_а и R_а.с для предельных состояний первой группы определяются путем деления нормативных сопротивлений на коэффициенты безопасности по арматуре, принимаемые равными:

а) для стержневой арматуры классов: А-I и А-III - k_а = 1,55; А-II - k_а = 1,1;

б) для проволочной арматуры классов: Вр-I - k_а = 1,55; В-I - k_а = 1,75.

Расчетные сопротивления арматуры растяжению для предельных состояний второй группы R_а_II принимаются равными нормативным сопротивлениям.

Расчетные сопротивления арматуры растяжению и сжатию для основных видов ненапрягаемой арматуры при расчете конструкций по предельным состояниям первой группы приведены в табл. 14(22, 23), а при расчете по предельным состояниям второй группы - в табл. 13(19, 20).

Таблица 13(19, 20)

Вид и класс арматуры	Нормативные сопротивления R^н_а и расчетные сопротивления растяжению для предельных состояний второй группы R_а_II, кгс/см²	Вид и класс арматуры	Нормативные сопротивления R^н_а и расчетные сопротивления растяжению для предельных состояний второй группы R_а_II, кгс/см²
Стержневая арматура класса:		Проволочная арматура класса:
А-I	2400	В-I	5500
А-II	3000	Вр-I при диаметре: 3 - 4 мм	5500
А-III	4000	5 »	5250

2.21(2.29). В расчетные сопротивления R_а.х, приведенные в табл. 14(22, 23), включены следующие коэффициенты условий работы m_а.х, учитывающие особенности работы поперечной арматуры (хомутов и отогнутых стержней) на действие поперечной силы:

независимо от вида и класса арматуры - коэффициент m_а.х = 0,8, учитывающий неравномерность распределения напряжений в арматуре по длине наклонного сечения;

при применении стержневой арматуры класса А-III диаметром менее ¹/₃ диаметра продольных стержней и проволочной арматуры классов В-I и Вр-I в сварных каркасах - коэффициент m_а.х = 0,9, учитывающий возможность хрупкого разрушения сварного соединения;

при применении проволочной арматуры класса В-I в вязаных каркасах - коэффициент m_а.х = 0,75, учитывающий ее пониженное сцепление с бетоном.

Таблица 14(22, 23)

Вид и класс арматуры	Расчетные сопротивления арматуры для предельных состояний первой группы, кгс/см²
	Растяжению		сжатию R_а.с
	продольной и поперечной (хомутов и отогнутых стержней) при расчете наклонных сечений на действие изгибающего момента R_а	поперечной (хомутов и отогнутых стержней) при расчете наклонных сечений на действие поперечной силы R_а.х	сжатию R_а.с
Стержневая арматура классов:
А-I	2100	1700	2100
А-II	2700	2150	2700
А-III	3400	2700*	3400
Проволочная арматура класса В-I диаметром 3 - 5 мм	3150	2200 (1900)	3150
То же, Вр-I при диаметре:
3 - 4 мм	3500	2600 (2800)	3500
5 »	3400	2500 (2700)	3400
* В сварных каркасах для хомутов из арматуры класса А-III диаметром менее ¹/₃ диаметра продольной арматуры значение R_а.х принимается равным 2400 кгс/см². Примечание. Значения R_а.х в скобках даны для хомутов вязаных каркасов.

Таблица 15(29)

Класс арматуры	Модуль упругости арматуры E_а, кгс/см²
А-I, А-II	2100000
А-III	2000000
В-I	2000000
Вр-I	1700000

Кроме того, при расположении рассматриваемого сечения в зоне анкеровки арматуры расчетные сопротивления R_а и R_а.с умножаются на коэффициент условий работы m_а3, учитывающий неполную анкеровку арматуры и определяемый согласно п. 3.46.

2.22(2.31). Величины модуля упругости арматуры E_а принимаются по табл. 15(29).

3. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ БЕТОННЫХ И ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ ПЕРВОЙ ГРУППЫ

3.1. С целью учета влияния вероятной длительности действия нагрузок на прочность бетона расчет бетонных и железобетонных элементов по прочности в общем случае производится:

а) на действие постоянных, длительных и кратковременных нагрузок, кроме нагрузок, суммарная длительность действия которых мала (ветровые нагрузки, крановые нагрузки, нагрузки от транспортных средств, нагрузки, возникающие при изготовлении, транспортировании и возведении и т.п.), а также на действие особых нагрузок, вызванных деформациями просадочных, набухающих, вечномерзлых и т.п. грунтов; в этом случае расчетные сопротивления бетона сжатию и растяжению R_пр и R_р принимаются по табл. 7 при m_б1 = 0,85;

б) на действие всех нагрузок, включая нагрузки, суммарная длительность действия которых мала; в этом случае расчетные сопротивления бетона R_пр и R_р принимаются по табл. 7 при m_б1 = 1,1*.

* Если при учете особых нагрузок согласно указаниям соответствующих норм вводится дополнительный коэффициент условий работы (например, при учете сейсмических нагрузок), то принимается m_б1 = 1.

Если конструкция эксплуатируется в условиях, благоприятных для нарастания прочности бетона (твердение под водой, во влажном грунте или при влажности окружающего воздуха выше 75 %, см. п. 1.3), расчет по случаю «а» производится при m_б1 = 1.

Условия прочности должны выполняться при расчете как по случаю «а», так и по случаю «б».

При отсутствии нагрузок с малой суммарной длительностью действия, а также аварийных нагрузок расчет прочности производится только по случаю «а».

При наличии нагрузок с малой суммарной длительностью действия или аварийных нагрузок расчет производятся только по случаю «б», если выполняется условие

P_I ≤ 0,77P_II, (1)

где P_I - усилие (момент M_I или поперечная сила Q_I) от нагрузок, используемых при расчете по случаю «а»; при этом в расчете сечений, нормальных к продольной оси внецентренно-нагруженных элементов, момент M_I принимается относительно оси, проходящей через наиболее растянутый (или менее сжатый) стержень арматуры, а для бетонных элементов - относительно растянутой или наименее сжатой грани;

P_II - то же, от нагрузок, используемых при расчете по случаю «б».

Допускается производить расчет только по случаю «б» и при невыполнении условия (1), умножая расчетные сопротивления бетона R_пр и R_р (при m_б1 = 1) на коэффициент m_б.д = 0,85P_II/P_I ≤ 1,1.

Для внецентренно-сжатых элементов, рассчитываемых по недеформированной схеме, значения P_I и P_II можно определять без учета прогиба элемента.

Для конструкций, эксплуатируемых в условиях, благоприятных для нарастания прочности бетона, условие (1) приобретает вид P_I < 0,9P_II, а коэффициент m_б.д принимают равным m_б.д = P_II/P_I.

РАСЧЕТ БЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО ПРОЧНОСТИ

3.2(3.1). Расчет по прочности элементов бетонных конструкций должен производиться для сечений, нормальных к их продольной оси. В зависимости от условий работы элементов они рассчитываются как без учета, так и с учетом сопротивления бетона растянутой зоны.

Без учета сопротивления бетона растянутой зоны производится расчет внецентренно-сжатых элементов, принимая, что достижение предельного состояния характеризуется разрушением сжатого бетона.

С учетом сопротивления бетона растянутой зоны производится расчет изгибаемых элементов, а также внецентренно-сжатых элементов, в которых не допускаются трещины из условий эксплуатации конструкций (элементы, подвергающиеся давлению воды, карнизы, парапеты и др.). При этом принимается, что достижение предельного состояния характеризуется разрушением бетона растянутой зоны (появлением трещин).

В случаях когда вероятно образование наклонных трещин (например, элементы двутаврового и таврового сечений при наличии поперечных сил), должен производиться расчет бетонных элементов из условия (13) п. 3.10.

Кроме того, должен производиться расчет элементов на местное действие нагрузки (смятие) согласно п. 3.95.

Внецентренно-сжатые элементы

3.3(3.2, 1.22). При расчете внецентренно-сжатых бетонных элементов должен приниматься во внимание случайный эксцентрицитет продольного усилия e₀^сл, обусловленный неучтенными в расчете факторами, в том числе неоднородностью свойств бетона по сечению.

Эксцентрицитет e₀^сл в любом случае принимается не менее следующих значений:

¹/₄₀₀ всей длины элемента или длины его части (между точками закрепления элемента), учитываемой в расчете;

¹/₃₀ высоты сечения элемента;

1 см.

Для элементов статически неопределимых конструкций (например, защемленные по концам стены или столбы) величина эксцентрицитета продольной силы относительно центра тяжести сечения e₀ принимается равной эксцентрицитету, полученному из статического расчета конструкции, но не менее e₀^сл.

В элементах статически определимых конструкций эксцентрицитет e₀ находится как сумма эксцентрицитетов - определяемого из статического расчета конструкции и случайного.

3.4(3.3). При гибкости элементов l₀/r > 14 (для прямоугольных сечений при l₀/h > 4) необходимо учитывать влияние на их несущую способность прогибов как в плоскости эксцентрицитета продольного усилия, так и в нормальной к ней плоскости путем умножения значений e₀ на коэффициент η (см. п. 3.7); в случае расчета из плоскости эксцентрицитета продольного усилия значение e₀ принимается равным величине случайного эксцентрицитета.

Применение внецентренно-сжатых бетонных элементов не допускается при эксцентрицитетах приложения продольной силы с учетом прогибов, e₀η, превышающих:

при основном сочетании нагрузок - 0,9y;

при особом сочетании нагрузок - 0,95y,

но в любом случае (y - 1) см, где y - расстояние от центра тяжести сечения до наиболее сжатого волокна бетона.

3.5(3.4). Во внецентренно-сжатых бетонных элементах в случаях, указанных в п. 5.126, необходимо предусматривать конструктивную арматуру.

3.6(3.5). Расчет внецентренно-сжатых бетонных элементов должен производиться из условия

N ≤ R_прF_б, (2)

где F_б - определяется из условия, что ее центр тяжести совпадает с точкой приложения равнодействующей внешних сил (рис. 1).

Для элементов прямоугольного сечения F_б определяется по формуле

(3)

При марках бетона М 400 и выше не следует пользоваться условием (2).

Внецентренно-сжатые бетонные элементы, в которых не допускается появление трещин (см. п. 3.2), независимо от расчета из условия (2) должны быть проверены с учетом сопротивления бетона растянутой зоны из условия

(4)

Рис. 1. Схема расположения усилий и эпюра напряжений в поперечном сечении внецентренно-сжатого бетонного элемента без учета сопротивления бетона растянутой зоны

1 - центр тяжести площади сжатой зоны; 2 - центр тяжести площади сечения

Рис. 2. К определению W_т

1 - нулевая линия

Для элементов прямоугольного сечения условие (4) имеет вид

(5)

В формулах (3) - (5):

η - коэффициент, определяемый по формуле (8);

r_у - расстояние от центра тяжести сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от растянутой зоны, определяемое по формуле

(6)

W_т - момент сопротивления сечения для крайнего растянутого волокна, определяемый с учетом неупругих деформаций растянутого бетона в предположении отсутствия продольной силы по формуле

(7)

где I_б.0 - момент инерции сжатой зоны бетона относительно нулевой линии;

S_б.р - статический момент растянутой зоны бетона относительно нулевой линии;

h - x - расстояние от нулевой линии до растянутой грани, равное

здесь F_и - площадь сжатой зоны бетона, дополненная в растянутой зоне прямоугольником шириной b, равной ширине сечения по нулевой линии, и высотой h - x (рис. 2);

S_и - статический момент площади F_и относительно растянутой грани.

Допускается значение W_т определять по формуле

W_т = γW₀,

где γ - cм. табл. 27 п. 4.4.

3.7(3.6). Значение коэффициента η, учитывающего влияние прогиба на величину эксцентрицитета продольного усилия e₀, следует определять по формуле

(8)

где N_кр - условная критическая сила, определяемая по формуле

(9)

(I - момент инерции бетонного сечения относительно центра тяжести сечения).

Для элементов прямоугольного сечения формула (9) имеет вид

(9а)

В формулах (9) и (9а):

k_дл - коэффициент, учитывающий влияние длительного действия нагрузки на прогиб элемента в предельном состоянии, равный

(10)

здесь M₁ - момент относительно растянутой или наименее сжатой грани сечения от действия полной нагрузки;

M₁^дл - то же, от действия постоянных и длительных нагрузок;

l₀ - определяется по табл. 16(31);

t - коэффициент, принимаемый равным e₀/h, но не менее величины

t_мин = 0,5 - 0,01(l₀/h) - 0,001R_пр.

Здесь R_пр - в кгс/см².

Примечание. При расчете сечения как по случаю «а», так и по случаю «б» (см. п. 3.1) допускается значение t_мин определять один раз, принимая значение m_б1 = 1.

Таблица 16(31)

Характер опирания элементов	Расчетная длина l₀ внецентренно-сжатых бетонных элементов	Характер опирания элементов	Расчетная длина l₀ внецентренно-сжатых бетонных элементов
1. Для стен и столбов с опорами вверху и внизу:		б) при защемлении одного из концов и возможном смещении опор для зданий:
а) при шарнирах на двух концах независимо от величины смещения опор	H
		многопролетных	1,25H
		однопролетных	1,5H
		2. Для свободно стоящих стен и столбов	2H
Примечание. H - высота столба или стены в пределах этажа за вычетом толщины плиты перекрытия, либо высота свободно стоящей конструкции.

3.8. Расчет внецентренно-сжатых бетонных элементов прямоугольного сечения с учетом прогиба при марке бетона не выше М 250 допускается производить при помощи графика на рис. 3.

При этом должно выполняться условие:

N ≤ n₁R_прbh,

где n₁ - определяется по графику рис. 3 в зависимости от значений e₀/h и λ = l₀/h.

3.9(3.7). Расчет элементов бетонных конструкций на местное сжатие (смятие) должен производиться согласно указаниям пп. 3.95 и 3.96.

Рис. 3. График несущей способности внецентренно-сжатых бетонных элементов

(сплошная линия - при M₁^дл/M₁ = 1, пунктирная - при M₁^дл/M₁ = 0,5)

Изгибаемые элементы

3.10(3.8). Расчет изгибаемых бетонных элементов должен производиться из условия

M ≤ R_рW_т, (11)

где W_т - определяется по формуле (7); для элементов прямоугольного сечения значение W_т принимается равным

(12)

Кроме того, для элементов таврового и двутаврового сечений должно выполняться условие

τ ≤ R_р, (13)

где τ - касательные напряжения, определяемые как для упругого материала на уровне центра тяжести сечения.

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО ПРОЧНОСТИ

3.11(3.9). Расчет по прочности элементов железобетонных конструкций должен производиться для сечений, нормальных к их продольной оси, а также для наклонных к ней сечений наиболее опасного направления; при наличии крутящих моментов следует проверить прочность пространственных сечений, ограниченных в растянутой зоне спиральной трещиной, наиболее опасного из возможных направлений. Кроме того, должен производиться расчет элементов на местное действие нагрузки (смятие, продавливание, отрыв).

Изгибаемые элементы

Расчет сечений, нормальных к продольной оси элемента

Общие указания

3.12(3.11). Расчет сечений, нормальных к продольной оси элемента, когда изгибающий момент действует в плоскости оси симметрии сечения и арматура сосредоточена у перпендикулярных к указанной плоскости граней элемента, должен производиться в зависимости от соотношения между величиной относительной высоты сжатой зоны бетона ξ = x/h₀, определяемой из соответствующих условий равновесия, и граничным значением относительной высоты сжатой зоны бетона ξ_R (см. п. 3.15), при котором предельное состояние элемента наступает одновременно с достижением в растянутой арматуре напряжения, равного расчетному сопротивлению R_а.

3.13(3.18). Расчет изгибаемых элементов кольцевого сечения при соотношении внутреннего и наружного радиусов r₁/r₂ ≥ 0,5 с арматурой, равномерно распределенной по длине окружности (при числе продольных стержней не менее 6), должен производиться как для внецентренно-сжатых элементов согласно пп. 3.71 и 3.72, принимая величину продольной силы N = 0 и подставляя вместо Ne₀ значение изгибающего момента M.

3.14. Расчет нормальных сечений, не оговоренных в пп. 3.12, 3.13, а также в п. 3.25, следует производить, пользуясь формулами для общего случая расчета нормального сечения внецентренно-сжатого элемента (п. 3.78), принимая в формуле (138) N = 0 и заменяя в условии (137) значение на величину - проекцию изгибающего момента на плоскость, перпендикулярную к прямой, ограничивающей сжатую зону. Если ось симметрии сечения не совпадает с плоскостью действия момента или вовсе отсутствует, положение границы сжатой зоны должно обеспечить выполнение дополнительного условия параллельности плоскости действия моментов внешних и внутренних сил.

3.15(3.12). Граничное значение относительной высоты сжатой зоны бетона ξ_R определяется по формуле

(14)

где ξ₀ - характеристика сжатой зоны бетона, равная:

ξ₀ = 0,85 - 0,0008R_пр; (15)

σ_ε = 5000 - при использовании коэффициента условий работы бетона m_б1 = 0,85 (см. п. 3.1);

σ_ε = 4000 - при использовании коэффициента m_б1 = 1 или m_б1 = 1,1; R_пр и R_а - в кгс/см².

Значения ξ₀ и ξ_R, отвечающие вышеприведенным формулам, даны в табл. 17.

Таблица 17

Коэффициент условий работы бетона m_б1	Класс растянутой арматуры	Обозначения	Значения ξ₀, ξ_R, A_R и s при проектных марках бетона
Коэффициент условий работы бетона m_б1	Класс растянутой арматуры	Обозначения	М 150	М 200	М 250	М 300	М 350	М 400	М 450	М 500	М 600	М 700	М 800
0,85	Любой	ξ₀	0,802	0,790	0,774	0,758	0,746	0,73	0,718	0,702	0,682	0,654	0,638
	А-III и Вр-I	ξ_R	0,677	0,663	0,644	0,625	0,612	0,594	0,581	0,563	0,542	0,513	0,496
		A_R	0,448	0,443	0,437	0,43	0,425	0,418	0,412	0,405	0,395	0,381	0,373
		s	5,43	5,22	4,96	4,73	4,57	4,37	4,23	4,06	3,87	3,63	3,5
	B-I	ξ_R	0,685	0,671	0,652	0,634	0,62	0,602	0,589	0,572	0,55	0,521	0,504
		A_R	0,45	0,446	0,440	0,433	0,428	0,421	0,416	0,408	0,399	0,385	0,377
		s	5,86	5,63	5,36	5,1	4,93	4,72	4,57	4,39	4,18	3,91	3,78
	А-II	ξ_R	0,70	0,686	0,667	0,649	0,635	0,618	0,605	0,587	0,566	0,536	0,52
		A_R	0,455	0,451	0,445	0,438	0,434	0,427	0,422	0,415	0,406	0,398	0,385
		s	6,83	6,57	6,25	5,95	5,75	5,50	5,33	5,12	4,87	4,57	4,4
	А-I	ξ_R	0,72	0,706	0,688	0,67	0,657	0,64	0,627	0,609	0,588	0,559	0,542
		A_R	0,461	0,457	0,451	0,446	0,441	0,435	0,43	0,424	0,415	0,403	0,395
		s	8,79	8,45	8,03	7,66	7,40	7,08	6,86	6,58	6,26	5,87	5,67
1	Любой	ξ₀	0,794	0,778	0,758	0,742	0,726	0,71	0,694	0,678	0,654	0,626	0,598
	А-III и Вр-I	ξ_R	0,642	0,623	0,599	0,581	0,563	0,546	0,528	0,511	0,486	0,458	0,431
		A_R	0,436	0,429	0,420	0,412	0,405	0,397	0,389	0,381	0,368	0,353	0,338
		s	4,23	4,02	3,78	3,61	3,46	3,32	3,19	3,07	2,9	2,73	2,58
	В-I	ξ_R	0,651	0,632	0,609	0,591	0,573	0,555	0,538	0,52	0,496	0,467	0,44
		A_R	0,439	0,432	0,423	0,416	0,409	0,401	0,393	0,385	0,373	0,358	0,343
		s	4,56	4,34	4,08	3,9	3,73	3,58	3,44	3,3	3,13	2,95	2,78
	А-II	ξ_R	0,668	0,650	0,626	0,608	0,59	0,573	0,555	0,538	0,513	0,485	0,457
		A_R	0,445	0,439	0,43	0,423	0,416	0,409	0,401	0,393	0,382	0,367	0,353
		s	5,32	5,06	4,76	4,55	4,36	4,18	4,01	3,86	3,65	3,44	3,25
	А-I	ξ_R	0,693	0,674	0,652	0,634	0,616	0,598	0,581	0,564	0,539	0,51	0,482
		A_R	0,453	0,447	0,439	0,433	0,426	0,419	0,412	0,405	0,394	0,38	0,366
		s	6,85	6,5	6,12	5,85	5,6	5,37	5,16	4,96	4,7	4,42	4,17
1,1	Любой	ξ₀	0,79	0,77	0,754	0,734	0,714	0,698	0,678	0,662	0,634	0,602	0,578
	А-III и Вр-I	ξ_R	0,637	0,613	0,595	0,572	0,55	0,532	0,511	0,495	0,466	0,435	0,412
		A_R	0,434	0,425	0,418	0,408	0,399	0,391	0,381	0,372	0,357	0,34	0,327
		s	4,17	3,92	3,74	3,53	3,35	3,22	3,07	2,95	2,78	2,6	2,48
	В-I	ξ_R	0,646	0,623	0,604	0,581	0,559	0,542	0,521	0,504	0,475	0,444	0,421
		A_R	0,437	0,429	0,422	0,412	0,403	0,395	0,385	0,377	0,362	0,345	0,332
		s	4,5	4,23	4,04	3,81	3,62	3,47	3,31	3,19	3,0	2,8	2,67
	А-II	ξ_R	0,664	0,64	0,622	0,599	0,577	0,56	0,538	0,522	0,493	0,461	0,438
		A_R	0,443	0,435	0,429	0,42	0,411	0,403	0,393	0,386	0,371	0,355	0,342
		s	5,25	4,94	4,71	4,45	4,22	4,05	3,86	3,72	3,50	3,27	3,12
	А-I	ξ_R	0,688	0,665	0,647	0,625	0,603	0,586	0,564	0,547	0,519	0,486	0,463
		A_R	0,451	0,444	0,438	0,43	0,421	0,414	0,405	0,398	0,384	0,386	0,356
		s	6,76	6,35	6,05	5,72	5,43	5,21	4,96	4,78	0,449	4,21	4,01
ξ₀ = 0,85 - 0,0008R_пр; Примечания: 1. При расчете элементов с косвенным армированием (см. п. 3.60), а также при использовании коэффициентов m_б из табл. 8 не допускается применение табличных значений ξ₀, ξ_R, A_R и s. 2. При использовании коэффициента m_б.д (см. п. 3.1) табличные значения ξ₀, ξ_R, A_R и s принимаются при m_б = 1.

Прямоугольные сечения

3.16. Расчет прямоугольных сечений с арматурой, сосредоточенной у сжатой и растянутой граней элемента (рис. 4), производится следующим образом в зависимости от высоты сжатой зоны

(16)

а) при ξ = x/h₀ ≤ ξ_R - из условия

M ≤ R_прbx(h₀ - 0,5x) + R_а.сF'_а(h₀ - a'); (17)

б) при ξ > ξ_R - из условия

M ≤ A_RR_прbh₀² + R_а.сF'_а(h₀ - a'), (18)

где A_R = ξ_R(1 - 0,5ξ_R).

При этом расчетную несущую способность сечения можно несколько увеличить путем замены в условии (18) значения A_R на (0,8A_R + 0,2A₀), где A₀ = ξ(1 - 0,5ξ) при ξ ≤ 1 или см. табл. 18. Значения ξ_R и A_R определяются по табл. 17.

Если x ≤ 0, то прочность проверяется из условия

M ≤ R_аF_а(h₀ - a'). (19)

Примечание. Если высота сжатой зоны, определенная с учетом половины сжатой арматуры

то расчетную несущую способность сечения можно несколько увеличить, производя расчет по формулам (16) и (17) без учета сжатой арматуры.

3.17. Изгибаемые элементы рекомендуется проектировать так, чтобы обеспечить выполнение условия ξ < ξ_R. Невыполнение этого условия можно допустить в случае, когда площадь сечения растянутой арматуры определена из расчета по предельным состояниям второй группы или принята по конструктивным соображениям.

Рис. 4. Схема расположения усилий в поперечном прямоугольном сечении изгибаемого железобетонного элемента

3.18. Проверка прочности прямоугольных сечений с одиночной арматурой производится:

при x ≤ ξ_Rh₀ - из условия

M ≤ R_аF_а(h₀ - 0,5x), (20)

где высота сжатой зоны равна

при x > ξ_Rh₀ - из условия

M ≤ A_RR_прbh₀², (21)

при этом расчетная несущая способность сечения может быть несколько увеличена, если использовать указание п. 3.16 «б». Здесь ξ_R и A_R - см. п. 3.15 или табл. 17.

3.19. Подбор продольной арматуры производится следующим образом.

Вычисляется значение

(22)

Если A₀ ≤ A_R (см. табл. 17), то сжатой арматуры по расчету не требуется.

В этом случае (при отсутствии сжатой арматуры) площадь сечения растянутой арматуры определяется по формуле

(23)

где υ - определяется по табл. 18 в зависимости от значения A₀.

Если A₀ > A_R, то требуется увеличить сечение, повысить марку бетона или установить сжатую арматуру согласно указаниям п. 3.20.

При учете коэффициента условия работы бетона m_б1 = 0,85 (см. п. 3.1) подбор растянутой арматуры можно также производить, пользуясь прил. 1.

3.20. Если по расчету требуется сжатая арматура (см. п. 3.19), то площади сечений растянутой и сжатой арматуры, соответствующие минимуму их суммы, для элементов из бетона марки М 400 и ниже рекомендуется определять по формулам:

(24)

(25)

Если принятая площадь сечения сжатой арматуры F'_а значительно превышает ее значение, вычисленное по формуле (24), то площадь сечения растянутой арматуры определяется с учетом фактического значения площади F'_а по формуле

F_а = ξbh₀R_пр/R_а + F'_а, (26)

где ξ - определяется по табл. 18 в зависимости от значения

которое должно удовлетворять условию A₀ ≤ A_R (см. табл. 17).

Примечание. При марках бетона выше М 400 в формулах (24) и (25) значения 0,4 и 0,55 заменяются соответственно на значения A_R и ξ_R, принимаемые не более 0,4 и 0,55.

Таблица 18

ξ	υ	A₀	ξ	υ	A₀	ξ	υ	A₀
0,01	0,995	0,01	0,26	0,87	0,226	0,51	0,745	0,38
0,02	0,99	0,02	0,27	0,865	0,234	0,52	0,74	0,385
0,03	0,985	0,03	0,28	0,86	0,241	0,53	0,735	0,39
0,04	0,98	0,039	0,29	0,855	0,248	0,54	0,73	0,394
0,05	0,975	0,049	0,30	0,85	0,255	0,55	0,725	0,399
0,06	0,97	0,058	0,31	0,845	0,262	0,56	0,72	0,403
0,07	0,965	0,068	0,32	0,84	0,269	0,57	0,715	0,407
0,08	0,96	0,077	0,33	0,835	0,276	0,58	0,71	0,412
0,09	0,955	0,086	0,34	0,83	0,282	0,59	0,705	0,416
0,10	0,95	0,095	0,35	0,825	0,289	0,60	0,7	0,42
0,11	0,945	0,104	0,36	0,82	0,295	0,62	0,69	0,428
0,12	0,94	0,113	0,37	0,815	0,302	0,64	0,68	0,435
0,13	0,935	0,122	0,38	0,81	0,308	0,66	0,67	0,442
0,14	0,93	0,13	0,39	0,805	0,314	0,68	0,66	0,449
0,15	0,925	0,139	0,40	0,8	0,32	0,70	0,65	0,455
0,16	0,92	0,147	0,41	0,795	0,326	0,72	0,64	0,461
0,17	0,915	0,156	0,42	0,79	0,332	0,74	0,63	0,466
0,18	0,91	0,164	0,43	0,785	0,338	0,76	0,62	0,471
0,19	0,905	0,172	0,44	0,78	0,343	0,78	0,61	0,476
0,20	0,9	0,18	0,45	0,775	0,349	0,80	0,6	0,48
0,21	0,895	0,188	0,46	0,77	0,354	0,85	0,575	0,489
0,22	0,89	0,196	0,47	0,765	0,360	0,90	0,55	0,495
0,23	0,885	0,204	0,48	0,76	0,365	0,95	0,525	0,499
0,24	0,88	0,211	0,49	0,755	0,37	≥ 1	0,50	0,5
0,25	0,875	0,219	0,50	0,75	0,375	-	-	-
Примечание. Для изгибаемых элементов прямоугольного сечения: A₀ = ξ(1 - 0,5ξ); υ = 1 - 0,5ξ.

Тавровые и двутавровые сечения

3.21(3.16). Расчет сечений, имеющих полку в сжатой зоне (тавровых, двутавровых и т.п.) и арматуру, сосредоточенную у сжатой и у растянутой грани, должен производиться в зависимости от положения границы сжатой зоны:

а) если граница сжатой зоны проходит в полке (рис. 5,а), т.е. соблюдается условие

R_аF_а ≤ R_прb'_пh'_п + R_а.сF'_а, (27)

расчет производится как для прямоугольного сечения шириной b'_п в соответствии с указаниями пп. 3.16 и 3.18;

б) если граница сжатой зоны проходит в ребре (рис. 5,б), т.е. условие (27) не соблюдается, расчет производится из условия

M ≤ R_прbx(h₀ - 0,5x) + R_пр(b'_п - b)h'_п(h₀ - 0,5h'_п) + R_а.сF'_а(h₀ - a'). (28)

При этом высота сжатой зоны бетона x определяется по формуле

(29)

и принимается не более ξ_Rh₀ (см. табл. 17).

Если x > ξ_Rh₀, условие (28) можно записать в виде

M ≤ A_RR_прbh₀² + R_пр(b'_п - b)h'_п(h₀ - 0,5h'_п) + R_а.сF'_а(h₀ - a'), (30)

где A_R - см. табл. 17 п. 3.15.

При этом следует учитывать указания п. 3.17.

Рис. 5. Форма сжатой зоны в поперечном сечении таврового железобетонного элемента

а - при расположении границы сжатой зоны в полке; б - при расположении границы сжатой зоны в ребре

Примечания: 1. При переменной высоте свесов полки допускается принимать значение h'_п равным средней высоте свесов.

2. Ширина сжатой полки b'_п, вводимая в расчет, не должна превышать величины, указанной в п. 3.24.

3.22. Требуемая площадь сечения сжатой арматуры при ξ_Rh₀ > h'_п определяется по формуле

(31)

где A_R - см. табл. 17 п. 3.15.

3.23. Требуемая площадь сечения растянутой арматуры определяется следующим образом:

а) если граница сжатой зоны проходит в полке, т.е. соблюдается условие

M ≤ R_прb'_пh'_п(h₀ - 0,5h'_п) + R_а.сF'_а(h₀ - a'), (32)

площадь сечения растянутой арматуры определяется как для прямоугольного сечения шириной b'_п в соответствии с указаниями пп. 3.19 и 3.20 [по формуле (26)];

б) если граница сжатой зоны проходит в ребре, т.е. условие (32) не соблюдается, площадь сечения растянутой арматуры определяется по формуле

(33)

где ξ определяется по табл. 18 в зависимости от значения

(34)

При этом должно удовлетворяться условие A₀ ≤ A_R (см. табл. 17).

3.24(3.16). Вводимая в расчет ширина сжатой полки b'_п принимается из условия, что ширина свеса в каждую сторону от ребра должна быть не более ¹/₆ пролета элемента и не более:

а) при наличии поперечных ребер или при h'_п ≥ 0,1h - ¹/₂ расстояния в свету между продольными ребрами;

б) при отсутствии поперечных ребер (или при расстояниях между ними, больших чем расстояния между продольными ребрами) и h'_п < 0,1h - 6h'_п;

в) при консольных свесах полки:

при h'_п ≥ 0,1h - 6h'_п;

при 0,05h ≤ h'_п < 0,1h - 3h'_п;

при h'_п < 0,05h - свесы не учитываются.

Примеры расчета

Прямоугольные сечения

Пример 1. Дано: размеры сечения b = 30 см; h = 60 см; a = 4 см; m_б1 = 0,85 (нагрузки малой суммарной длительности отсутствуют); расчетный изгибающий момент M = 20 тс·м; бетон марки М 200 (R_пр = 75 кгс/см²); арматура класса А-II (R_а = 2700 кгс/см²).

Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.

Расчет. h₀ = 60 - 4 = 56 см. Подбор продольной арматуры производим согласно п. 3.19. По формуле (22) вычисляем значение A₀:

Из табл. 17 для элемента из бетона марки М 200 с арматурой класса А-II при m_б1 = 0,85 находим A_R = 0,451.

Так как A₀ = 0,284 < A_R = 0,451, то сжатой арматуры по расчету не требуется.

Из табл. 18 при A₀ = 0,284 находим υ = 0,829.

Требуемую площадь сечения растянутой арматуры определяем из формулы (23):

Принимаем 3Æ28 (F_а = 18,47 см²).

Пример 2. Дано: размеры сечения b = 30 см; h = 80 см; a = 7 см; растянутая арматура класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²) с площадью поперечного сечения F_а = 29,45 см² (6Æ25); m_б1 = 0,85 (нагрузки с малой суммарной длительностью отсутствуют); бетон марки М 300 (R_пр = 115 кгс/см²); расчетный изгибающий момент M = 55 тс·м.

Требуется проверить прочность сечения.

Расчет. h₀ = 80 - 7 = 73 см. Проверку прочности сечения производим согласно п. 3.18.

Определяем значение x:

Из табл. 17 для элементов из бетона марки М 300 с арматурой класса А-III при m_б1 = 0,85 находим ξ_R = 0,625.

Так как ξ = x/h₀ = 29/73 = 0,397 < ξ_R = 0,625, прочность проверяем из условия (20):

R_аF_а(h₀ - 0,5x) = 3400·29,45(73 - 0,5·29) = 5850000 кгс·см = 58,5 тс·м > M = 55 тс·м, т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 3. Дано: размеры сечения b = 30 см; h = 80 см; a = 5 см; арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²); расчетный изгибающий момент с учетом крановой нагрузки M_II = 78 тс·м, а момент без учета крановой нагрузки M_I = 63 тс·м; бетон марки М 200 (R_пр = 90 кгс/см² при m_б1 = 1).

Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.

Расчет. Расчет ведем на полную нагрузку, корректируя расчетное сопротивление бетона согласно п. 3.1.

Так как m_б.д = 0,85M_II/M_I = 0,85·78/63 = 1,05 < 1,1, то принимаем R_пр = 90·1,05 = 94,5 кгс/см², h₀ = 80 - 5 = 75 см.

Определяем требуемую площадь продольной арматуры согласно п. 3.19. По формуле (22) находим величину

Так как A₀ = 0,49 > A_R = 0,429 (см. табл. 17 при m_б1 = 1), то при заданных размерах сечения и марке бетона необходима сжатая арматура. Далее расчет ведем согласно указаниям п. 3.20.

Принимая величину a' = 3 см, по формулам (24) и (25) определяем необходимую площадь сечения сжатой и растянутой арматуры:

Принимаем F'_а = 6,03 см² (3Æ16); F_а = 40,21 см² (5Æ32).

Пример 4. Дано: размеры сечения b = 30 см; h = 70 см; a = 5 см; a' = 3 см; бетон марки М 400 (R_пр = 150 кгс/см² при m_б1 = 0,85); арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²); площадь сечения сжатой арматуры F'_а = 9,42 см² (3Æ20); расчетный изгибающий момент M = 58 тс·м.

Требуется определить площадь сечения растянутой арматуры.

Расчет. h₀ = 70 - 5 = 65 см. Расчет ведем с учетом площади сжатой арматуры согласно указаниям п. 3.20.

Вычисляем значение A₀:

A₀ = 0,201 < A_R = 0,417 (см. табл. 17).

По табл. 18 при A₀ = 0,201 находим ξ = 0,23.

Необходимую площадь растянутой арматуры определяем по формуле (26):

F_а = ξbh₀R_пр/R_а + F'_а = 0,23·30·65·150/3400 + 9,42 = 29,22 см².

Принимаем 3Æ36 (F_а = 30,34 см²).

Пример 5. Дано: размеры сечения b = 30 см; h = 70 см; a = 7 см; бетон марки М 300 (R_пр = 115 кгс/см² при m_б1 = 0,85); арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²); площадь сечения растянутой арматуры F_а = 48,26 см² (6Æ32); сжатой арматуры F'_а = 3,39 см² (3Æ12); расчетный изгибающий момент M = 60 тс·м.

Требуется проверить прочность сечения.

Расчет. h₀ = 70 - 7 = 63 см. Проверку прочности сечения производим согласно п. 3.16.

По формуле (16) вычисляем высоту сжатой зоны:

По табл. 17 находим ξ_R = 0,625; A_R = 0,43.

Так как x = 44,2 см > ξ_Rh₀ = 0,625·63 = 39,4 см, то прочность сечения проверяем из условия (18):

A_RR_прbh₀² + R_а.сF'_а(h₀ - a') = 0,43·115·30·63² + 3400·3,39(63 - 3) = 65,8 тс·м > M = 60 тс·м, т.е. прочность сечения обеспечена.

Тавровые и двутавровые сечения

Пример 6. Дано: размеры сечения b'_п = 150 см; h'_п = 5 см; b = 20 см; h = 40 см; a = 4 см; m_б1 = 0,85 (нагрузки малой суммарной длительности отсутствуют); бетон марки М 300 (R_пр = 115 кгс/см²); арматура класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²); расчетный изгибающий момент M = 25 тс·м.

Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.

Расчет. h₀ = 40 - 4 = 36 см. Расчет ведем согласно указаниям п. 3.23 в предположении, что сжатая арматура по расчету не потребуется.

Так как R_прb'_пh'_п(h₀ - 0,5h'_п) = 115·150·5(36 - 0,5·5) = 28,9 тс·м > M = 25 тс·м, т.е. граница сжатой зоны проходит в полке и сжатой арматуры не требуется, расчет производим как для прямоугольного сечения шириной b'_п (см. п. 3.23 «а»).

Определяем величину A₀ по формуле (22):

Площадь сечения растянутой арматуры вычисляем по формуле (23). Для этого по табл. 18 при A₀ = 0,112 находим υ = 0,94. Тогда

Принимаем 4Æ28 (F_а = 24,63 см²).

Пример 7. Дано: размеры сечения b'_п = 40 см; h'_п = 12 см; b = 20 см; h = 60 см; a = 6 см; бетон марки М 200 (R_пр = 75 кгс/см² при m_б1 = 0,85); арматура класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²); расчетный изгибающий момент M = 27 тс·м.

Требуется определять площадь сечения растянутой арматуры.

Расчет. h₀ = 60 - 6 = 54 см. Расчет ведем согласно указаниям п. 3.23 в предположении, что сжатая арматура по расчету не потребуется.

Так как R_прb'_пh'_п(h₀ - 0,5h'_п) = 75·40·12(54 - 0,5·12) = 1728000 кгс·см = 17,28 тс·м < M = 27 тс·м, т.е. граница сжатой зоны проходит в ребре, то площадь сечения растянутой арматуры определяем по формуле (33).

Для этого вычисляем значение A₀:

(см. табл. 17), следовательно, сжатой арматуры не требуется.

По табл. 18 при A₀ = 0,42 находим ξ = 0,6. Тогда

F_а = [ξbh₀ +(b'_п - b)h'_п]R_пр/R_а = [0,6·20·54 + (40 - 20)12]75/3400 = 19,6 см².

Принимаем 4Æ25 (F_а = 19,64 см²).

Пример 8. Дано: размеры сечения b'_п = 40 см; h'_п = 10 см; b = 20 см; h = 60 см; a = 7 см; бетон марки М 300 (R_пр = 115 кгс/см² при m_б1 = 0,85); растянутая арматура класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²) с площадью сечения F_а = 19,64 см² (4Æ25); F'_а = 0; расчетный изгибающий момент M = 25 тс·м.

Требуется проверить прочность сечения.

Расчет. h₀ = 60 - 7 = 53 см. Проверку прочности сечения производим согласно п. 3.21.

Так как

R_аF_а = 3400·19,64 = 66800 кгс > R_пр b'_пh'_п = 115·40·10 = 46000 кгс,

то граница сжатой зоны проходит в ребре, и прочность сечения проверяем из условия (28).

Для этого по формуле (29) определяем высоту сжатой зоны x:

R_прbx(h₀ - 0,5x) + R_пр(b'_п - b)h'_п(h₀ - 0,5h'_п) = 115·20·19(53 - 0,5·19) + 115(40 - 20)10(53 - 0,5·10) = 3050000 кгс·см = 30 тс·м > M = 25 тс·м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Элементы, работающие на косой изгиб

3.25. Расчет прямоугольных, тавровых, двутавровых и Г-образных сечений элементов, работающих на косой изгиб, допускается производить, принимая форму сжатой зоны по рис. 6, при этом должно удовлетворяться условие

M_х ≤ R_пр[S_св.х + F_реб(h₀ - x/3)] + R_а.сS_а.х, (35)

Рис. 6. Форма сжатой зоны в поперечном сечении железобетонного элемента, работающего на косой изгиб

а - таврового сечения; б - прямоугольного сечения; 1 - плоскость действия изгибающего момента; 2 - центр тяжести сечения растянутой арматуры

Рис. 7. Сечение с растянутыми арматурными стержнями в плоскости оси x

1 - плоскость действия изгибающего момента

где M_х - составляющая изгибающего момента в плоскости оси x (за оси x и y принимаются две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения растянутой арматуры, параллельно сторонам сечения; для сечения с полкой ось x принимается параллельно плоскости ребра);

F_реб = F_б - F_св; (36)

F_б - площадь сжатой зоны бетона, равная

(37)

F_св - площадь наиболее сжатого свеса полки;

x - размер сжатой зоны бетона по наиболее сжатой боковой стороне сечения, определяемый по формуле

(38)

S_св.х - статический момент площади F_св в плоскости оси x относительно оси y;

S_св.у - то же, в плоскости оси y относительно оси x;

b₀ - расстояние от центра тяжести сечения растянутой арматуры до наиболее сжатой боковой грани ребра (стороны);

S_а.х - статический момент площади сечения сжатой арматуры в плоскости оси x относительно оси y;

S_а.у - то же, в плоскости оси y относительно оси x;

M_у - составляющая изгибающего момента в плоскости оси y.

Если растянутые арматурные стержни располагаются в плоскости оси x (рис. 7), значение x вычисляют только по формуле

(39)

где

β - угол наклона плоскости действия изгибающего момента к оси x, т.е. ctgβ = M_х/M_у.

Формулой (39) также следует пользоваться независимо от расположения арматуры, если необходимо определить предельное значение изгибающего момента при заданном угле β.

При расчете прямоугольных сечений значения F_св, S_св.х и S_св.у в формулах (35), (36), (38) и (39) принимаются равными нулю.

Если F_б < F_св или если x < 0,2h'_п, расчет производится как для прямоугольного сечения шириной b = b'_п.

Если выполняется условие

(40)

где b_св - ширина наименее сжатого свеса полки, то расчет производится без учета косого изгиба, т.е. по формулам пп. 3.16 - 3.24 на действие момента M = M_х; при этом следует проверить условие (41), принимая x = 1,5F_реб/(b + b_св).

При определении значения F_б по формуле (37) напряжение в растянутом стержне, ближайшем к границе сжатой зоны, не должно быть меньше R_а, что обеспечивается соблюдением условия

(41)

где ξ_R - см. табл. 17 п. 3.15;

b₀_i и h₀_i - расстояние от рассматриваемого стержня соответственно до наиболее сжатой боковой грани ребра (стороны) и до наиболее сжатой грани, нормальной к оси x (см. рис. 6);

b_св - ширина наиболее сжатого свеса;

γ - угол наклона прямой, ограничивающей сжатую зону, к оси y; значение tgγ определяется по формуле

Если условие (41) не соблюдается, расчет сечения следует производить последовательными приближениями, заменяя в формуле (37) для каждого растянутого стержня величину R_а значениями напряжений, равными

σ_а_i = s(ξ₀/ξ_i - 1)R_а, но не более R_а,

где s и ξ₀ - см. табл. 17; при этом уточняют положение осей x и y, проводя их через точку приложения равнодействующей усилий в растянутых стержнях.

При проектировании конструкций не рекомендуется допускать превышение значений ξ_i над ξ_R более чем на 20 %. При выполнении этой рекомендации допускается производить только один повторный расчет с заменой в формуле (37) значений R_а для растянутых стержней, где ξ_i > ξ_R, на напряжения, равные

(42)

При повторном расчете значение x определяется по формуле (39) независимо от расположения растянутых стержней. Если выполняются условия: для прямоугольных и тавровых сечений с полкой в сжатой зоне

x > h, (43)

для двутавровых и тавровых сечений с полкой в растянутой зоне

x > h - h_п - b_св.рtgγ (44)

(где h_п и b_св.р - высота и ширина наименее растянутого свеса полки, см. рис. 8), то расчет на косой изгиб производится согласно п. 3.28.

При использовании формул настоящего пункта за растянутую арматуру площадью F_а допускается принимать арматуру, располагаемую вблизи растянутой грани, параллельной оси y, а за сжатую арматуру площадью F'_а - арматуру, располагаемую вблизи сжатой грани, параллельной оси y, но по одну, наиболее сжатую сторону от оси x (см. рис. 6).

Рис. 8. Тавровое сечение со сжатой зоной, заходящей в наименее растянутый свес полки

1 - плоскость действия изгибающего момента

3.26. Определение требуемого количества растянутой арматуры при косом изгибе для элементов прямоугольного, таврового и Г-образного сечения с полкой в сжатой зоне может производиться при помощи графика на рис. 9. Для этого ориентировочно задаются положением центра тяжести сечения растянутой арматуры. Затем по графику определяют величину α в зависимости от значений:

(обозначения см. в п. 3.25).

Рис. 9. График несущей способности прямоугольного, таврового и Г-образного сечения для элементов, работающих на косой изгиб

Если значение m_х меньше нуля, расчет следует производить как для прямоугольного сечения, принимая b = b'_п.

Если значение α на графике находится по левую сторону от кривой, отвечающей параметру , подбор арматуры производится без учета косого изгиба, т.е. по формулам пп. 3.19, 3.20, 3.22 и 3.23 на действие момента M = M_х.

Требуемая площадь растянутой арматуры при условии работы ее с полным расчетным сопротивлением определяется по формуле

F_а = (αb₀h₀ + F_св)R_пр/R_а + F'_аR_а.с/R_а, (45)

где F_св - см. п. 3.25.

Центр тяжести сечения фактически принятой растянутой арматуры должен отстоять от растянутых граней не дальше принятого в расчете центра тяжести. В противном случае расчет повторяют, принимая новый центр тяжести сечения растянутой арматуры.

Условием работы растянутой арматуры с полным расчетным сопротивлением является удовлетворение условия (41) п. 3.25.

Для элементов из бетона марки М 300 и ниже условие (41) всегда удовлетворяется, если значение α на графике рис. 9 находится внутри области, ограниченной осями координат и кривой отвечающей параметру b'_св/b₀.

Если условие (41) не удовлетворяется, следует поставить (увеличить) сжатую арматуру либо повысить марку бетона, либо увеличить размеры сечения (в особенности размеры наиболее сжатого свеса).

Значения α на графике не должны находиться между осью m_у и кривой, отвечающей параметру h₀/h. В противном случае x становится больше h, и расчет тогда производится согласно п. 3.28.

3.27. Расчет на косой изгиб прямоугольных и двутавровых симметричных сечений с симметрично расположенной арматурой можно производить согласно пп. 3.76 - 3.77, принимая N = 0.

3.28. Для не оговоренных в пп. 3.25 - 3.27 сечений, а также при выполнении условий (43) и (44) п. 3.25 или, если арматура распределена по сечению, что не позволяет до расчета установить значения F_а и F'_а и расположение центров тяжести растянутой и сжатой арматуры, расчет на косой изгиб следует производить, пользуясь формулами для общего случая расчета нормального сечения (п. 3.78) с учетом указаний п. 3.14.

Рекомендуется пользоваться формулами общего случая в следующем порядке:

1) проводят две взаимно перпендикулярные оси x и y через центр тяжести сечения наиболее растянутого стержня по возможности параллельно сторонам сечения;

2) подбирают последовательными приближениями положение прямой, ограничивающей сжатую зону, так, чтобы при N = 0 удовлетворилось равенство (138) после подстановки в него значений σ_а_i, определенных по формуле (139). При этом угол наклона этой прямой γ принимают постоянным и равным углу наклона нейтральной оси, определенному как для упругого материала;

3) определяют моменты внутренних усилий относительно осей x и y соответственно M_у_.пр и M_х_.пр;

4) если оба эти момента оказываются больше или меньше соответствующих составляющих внешнего момента M_у и M_х, то прочность сечения считается соответственно обеспеченной или не обеспеченной.

Если один из этих моментов (например, M_у_.пр) меньше соответствующей составляющей внешнего момента (M_у), а другой момент больше составляющей внешнего момента (т.е. M_х_.пр > M_х), то задаются другим углом γ (большим, чем ранее принятый) и снова производят аналогичный расчет.

Примеры расчета элементов, работающих на косой изгиб

Пример 9. Дано: железобетонный прогон кровли с уклоном 1:4 (ctgβ = 4); сечение и расположение арматуры - по рис. 10; m_б1 = 0,85 (нагрузки малой суммарной длительности отсутствуют); бетон марки М 300 (R_пр = 115 кгс/см²); растянутая арматура класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²); площадь сечения F_а = 7,63 см² (3Æ18); расчетный изгибающий момент в вертикальной плоскости M = 7,42 тс·м.

Требуется проверить прочность сечения.

Расчет. Из рис. 10 следует:

h₀ = 40 - 3 - 1·3/3= 36 см; b₀ = (2·12 + 1·3)/3 = 9 см;

b'_св = b_св = (30 - 15)/2 = 7,5 см; h'_п = 8 + 2/2 = 9 см.

По формуле (37) определяем площадь сжатой зоны бетона

Площадь наиболее сжатого свеса полки и статические моменты этой площади относительно осей x и y соответственно равны:

F_св = b'_св·h'_п = 7,5·9 = 67,5 см²;

S_св.у = F_св(b₀ + b'_св/2) = 67,5(9 + 7,5/2) = 861 см³;

S_св.х = F_св(h₀ - h'_п/2) = 67,5(36 - 9/2) = 2125 см³.

Рис. 10. К примеру 9

1 - плоскость действия изгибающего момента; 2 - центр тяжести сечения растянутой арматуры

Так как F_б > F_св, то расчет продолжаем как для таврового сечения:

F_реб = F_б - F_св = 225,5 - 67,5 = 158 см².

Составляющие изгибающего момента в плоскости осей y и x соответственно равны (принимая ctgβ = 4):

M_х = Mcosβ = M_уctgβ = 1,8·4 = 7,2 тс·м.

Определяем по формуле (38) высоту сжатой зоны x по наиболее сжатой стороне сечения:

Проверим условие (40):

Следовательно, расчет продолжаем по формулам косого изгиба. Проверяем условие (41) для наименее растянутого стержня. Из рис. 10 имеем b₀_i = 3 см; h₀_i = 40 - 3 = 37 см:

Условие (41) не соблюдается и расчет повторяем, заменяя в формуле (37) значение R_а для наименее растянутого стержня на напряжение σ_а, определенное по формуле (42), и корректируя значения h₀ и b₀.

Из табл. 17 имеем ξ₀ = 0,758 и s = 4,73:

Поскольку все стержни одинакового диаметра, новые значения F_б, b₀ и h₀ будут равны:

F_б = 225,5(2 + 0,911)/3 = 215,3 см²;

b₀ = (2·12 + 0,911·3)/(2 + 0,911) = 9,18 см;

h₀ = 40 - 3 - 1·3/(2 + 0,911) = 35,97 см.

Аналогично определяем значения S_св.у, S_св.х, F_реб:

S_св.у = 67,5(9,18 + 7,5/2) = 883 см³;

S_св.х = 76,5(35,97 - 9/2) = 2125 см³;

F_реб = 215,3 - 67,5 = 147,8 см².

Значение x определяем по формуле (39):

Проверяем прочность сечения из условия (35):

R_пр[S_св.х + F_реб(h₀ - x/3)] = 115[2125 + 147,8(35,97 - 22,25/3)] = 729000 = 7,29 тс·м > M_х = 7,2 тс·м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 10. По данным примера 9 подобрать площадь растянутой арматуры при расчетном моменте в вертикальной плоскости M = 6,39 тс·м.

Расчет. Составляющие изгибающего момента в плоскости оси x и оси y равны:

M_х = M_у ctgβ = 1,55·4 = 6,2 тс·м.

Определим необходимое количество арматуры согласно п. 3.26. Принимая значения b₀, h₀, S_св.х и S_св.у из примера 9, находим значения m_х и m_у:

Так как m_х больше нуля, расчет продолжаем как для таврового сечения.

Поскольку точка с координатами m_х = 0,280 и m_у = 0,167 на графике рис. 9 находится по правую сторону от кривой, отвечающей параметру (b_св + b)/b₀ = (7,5 + 15)/9 = 2,5 и по левую сторону от кривой, отвечающей параметру b'_св/b₀ = 7,5/9 = 0,83, арматура будет работать с полным расчетным сопротивлением, т.е. условие (41) удовлетворяется, и требуемую площадь арматуры определяем по формуле (45).

По графику на рис. 9 при m_х = 0,28 и m_у = 0,167 находим α = 0,33.

Тогда

F_а = (αb₀h₀ + F_св)R_пр/R_а = (0,33·9·36 + 67,5)115/3400 = 5,9 см².

Принимаем стержни 3Æ16 (F_а = 6,03 см²) и располагаем их так, как показано на рис. 10.

Расчет сечений, наклонных к продольной оси элемента

3.29(3.29). Расчет по прочности сечений, наклонных к продольной оси элемента, должен производиться: на действие поперечной силы (см. пп. 3.30 - 3.44); на действие изгибающего момента (см. пп. 3.45 - 3.50).

Общие положения расчета наклонных сечений на действие поперечной силы

3.30(3.30). При расчете элементов на действие поперечной силы должно соблюдаться условие

Q ≤ 0,35R_прbh₀, (46)

при этом значение R_пр для бетонов проектных марок выше М 400 принимается как для бетона марки М 400.

При переменной ширине b по высоте элемента в расчет [в формулу (46) и последующие] вводится ширина элемента на уровне середины высоты сечения (без учета полок).

3.31(3.31). Расчет на действие поперечной силы, согласно указаниям пп. 3.32 - 3.44, не производится, если соблюдается условие

Q ≤ k₁R_рbh₀, (47)

где k₁ - коэффициент, принимаемый равным:

для линейных элементов (балок, ребер и т.п.) - 0,6;

для сплошных плоских плит - 0,75.

При соблюдении условия (47) поперечная арматура определяется конструктивными требованиями (см. пп. 5.72 - 5.74).

Примечание. В тексте настоящего Руководства под поперечной арматурой имеются в виду хомуты и отогнутые стержни. Термин «хомуты» включает поперечные стержни сварных каркасов и хомуты вязаных каркасов, выполненные в соответствии с указаниями пп. 5.72 - 5.74.

3.32(3.33). Расчет элементов постоянного сечения с поперечной арматурой (рис. 11) должен производиться из условия

Q ≤ ΣR_а.хF_х + ΣR_а.хF_оsinα + Q_б, (48)

где Q - поперечная сила, действующая в наклонном сечении, т.е. равнодействующая всех поперечных аил от внешней нагрузки, расположенных по одну сторону от рассматриваемого наклонного сечения (см. рис. 12); при этом, если не имеет место случай, оговоренный в п. 3.34, следует учитывать вероятность отсутствия нагрузки в пределах наклонного сечения, т.е. принимать значение Q равным максимальной поперечной силе в пределах наклонного сечения;

ΣR_а.хF_х и ΣR_а.хF_оsinα - сумма поперечных усилий, воспринимаемых соответственно хомутами и отогнутыми стержнями, пересекающими наклонное сечение;

α - угол наклона отогнутых стержней к продольной оси элемента в наклонном сечении;

Q_б - поперечное усилие, воспринимаемое бетоном сжатой зоны в наклоняем сечении. Величина Q_б определяется по формуле

(49)

здесь c - длина проекции наклонного сечения на продольную ось элемента.

Рис. 11. Схема усилий, действующих в наклонном сечении изгибаемого элемента с поперечной арматурой, при расчете по поперечной силе

Рис. 12. Определение расчетного значения поперечной силы

3.33(3.35). Для хомутов, устанавливаемых по расчету, в элементе с поперечной нагрузкой в пределах его пролета должно удовлетворяться условие

(50)

При этом, если выполняются указания пп. 3.42 и 3.43, условие (50) можно не проверять.

Расстояния между хомутами u, между опорой и концом отгиба, ближайшего к опоре, u₁, а также между концом предыдущего и началом последующего отгиба u₂ (рис. 14) должны быть не более величины

(51)

Кроме того, поперечное армирование элемента независимо от результатов расчета должно удовлетворять конструктивным требованиям, приведенным в пп. 5.72 - 5.74.

3.34. В элементах, рассчитываемых только на фиксированные нагрузки, в том числе на сплошные распределенные нагрузки (например, гидростатическое давление), расчетную поперечную силу Q следует определять с учетом разгружающего влияния нагрузки, приложенной к элементу в пределах длины проекции наклонного сечения, если эта нагрузка приложена по грани элемента и действует в его сторону (например, в горизонтальном элементе - нагрузка, действующая сверху вниз и приложенная к верхней грани).

Расчет элементов, армированных хомутами без отогнутых стержней

3.35. Проверка прочности по поперечной силе производится для невыгоднейших сечений, начинающихся у опоры и в местах изменения интенсивности хомутов (рис. 13), из условия

Q ≤ Q_х.б (52)

где Q - поперечная сила в нормальном сечении у начала рассматриваемого наклонного сечения (у опоры и в местах изменения интенсивности поперечного армирования);

Q_х.б - предельная поперечная сила, воспринимаемая бетоном и хомутами в невыгоднейшем наклонном сечении, определяемая по формуле

(53)

здесь q_х - усилие в хомутах на единицу длины элемента в пределах наклонного сечения, определяемое по формуле

(54)

При этом длина проекции невыгоднейшего наклонного сечения определяется по формуле

(55)

3.36. Определение требуемой интенсивности хомутов производится из формулы

(56)

где Q и q_х - см. п. 3.35.

3.37. При расчете элемента на действие равномерно распределенной нагрузки p, приложенной по грани элемента и действующей в его сторону, допускается в формулы (53), (55) и (56) вместо величины q_х подставлять величину (q_х + p₁), где значение p₁ определяется следующим образом:

а) если нагрузка на отдельных участках пролета может отсутствовать и эпюра M от принятой в расчете равномерно распределенной нагрузки p всегда огибает любую действительную эпюру M (например, нагрузка на перекрытия) - p₁ = p/2;

б) если равномерно распределенная нагрузка фиксированная и сплошная (например, гидростатическое давление) - p₁ = p, при этом собственный вес, входящий в нагрузку p₁, учитывается в ней с коэффициентом 0,5.

в) в прочих случаях - p₁ = 0.

Рис. 13. Места расположения невыгоднейших наклонных сечений при расчете по поперечной силе и определение места изменения интенсивности хомутов

1 и 2 - невыгоднейшие наклонные сечения

При действии фиксированной сосредоточенной силы P_i, приложенной к верхней грани элемента в пределах невыгоднейшего наклонного сечения с длиной проекции c₀ (см. п. 3.35), допускается расчет из условия (52) производить на действие поперечной силы, равной Q - P_i; при этом следует проверить также условие

(57)

где c_i - длина проекции наклонного сечения, направленного к точке приложения сосредоточенной силы P_i.

3.38. При изменении интенсивности хомутов по длине элемента с q_х1 на q_х2 (например, увеличением шага хомутов) участок с интенсивностью q_х1 принимается до сечения, в котором поперечная сила Q становится равной усилию Q_х.б2, воспринимаемого бетоном и хомутами при интенсивности хомутов q_х2 (см. рис. 13). При наличии равномерно распределенной нагрузки длина участка с интенсивностью q_х1 принимается не менее

(58)

где Q - наибольшая поперечная сила на участке l₁ (у опоры);

p и P_i - равномерно распределенная и сосредоточенная нагрузки, действующие в пределах длины l₁.

Если интенсивность хомутов q_х2 не удовлетворяет условию (50) п. 3.33, т.е. они поставлены по конструктивным соображениям участок с интенсивностью q_х1 принимается до сечения, в котором поперечная сила Q становится равной Q₁ = k₁R_рbh₀, (где k₁ - см. п. 3.31). В этом случае значение l₁ определяется по формуле (58) с заменой Q_х.б2 на Q₁. Длина участка с интенсивностью q_х1 должна также приниматься не менее

(59)

Кроме того, следует учитывать конструктивные требования п. 5.73.

Расчет элементов с отогнутыми стержнями

3.39. Проверка прочности по поперечной силе производился для невыгоднейших наклонных сечений, начинающихся у опоры и у начала отогнутых стержней (рис. 14), из условия

Q ≤ Q_х.б + R_а.хF_оsinα, (60)

где Q - поперечная сила в нормальном сечении у начала рассматриваемого сечения (у опоры и у начала отгибов);

F_о - площадь сечения отогнутых стержней в ближайшей за началом рассматриваемого наклонного сечения плоскости отгиба;

α - угол наклона плоскости отогнутых стержней к оси элемента;

Q_х.б - см. п. 3.35.

При наличии фиксированных сосредоточенных или равномерно распределенных нагрузок допускается учитывать указания п. 3.37.

Рис. 14. Места расположения невыгоднейших наклонных сечений при расчете по поперечной силе для элементов с отогнутыми стержнями

1, 2 и 3 - невыгоднейшие наклонные сечения

3.40. Необходимое сечение отогнутых стержней, расположенных в одной плоскости, определяется из условия

(61)

При этом поперечная сила Q принимается:

а) при расчете отогнутых стержней первой (от опоры) плоскости - равной поперечной силе у опоры;

б) при расчете отогнутых стержней каждой из последующих плоскостей - равной поперечной силе у начала предыдущей (по отношению к опоре) плоскости отогнутых стержней (см. рис. 14).

Начало наиболее удаленного от опоры отгиба должно располагаться не ближе к опоре, чем то сечение, в котором поперечная сила Q становится больше усилия, воспринимаемого бетоном и хомутами Q_х.б. Кроме того, расположение отгибов должно удовлетворять требованиям п. 5.75.

3.41. В сплошных плитах с поперечной арматурой только в виде отогнутых стержней расчет по поперечной силе в общем случае производится из условия (48) при ΣF_хR_а.х = 0.

При действии фиксированных сосредоточенных сил проверка условия (48) производится для наклонных сечений, начинающихся в растянутой зоне у опоры и у начала отгибов и заканчивающихся в сжатой зоне в конце отгибов каждой плоскости, а также в местах приложения сосредоточенных сил (рис. 15).

При расчете плиты на действие равномерно распределенной нагрузки p условие (48) можно заменить условием

Q ≤ Q_б.р + R_а.хF_оsinα, (62)

здесь поперечная сила Q определяется согласно п. 3.40, а значение Q_б.р определяется по формуле

(63)

и принимается не менее 0,75R_рbh₀ + 2,67p₁h₀.

Значение p₁ принимается согласно указаниям п. 3.37.

Рис. 15. Расположение невыгоднейших наклонных сечений в плитах с поперечной арматурой только в виде отогнутых стержней

При отсутствии хомутов начало наиболее удаленного от опоры отгиба должно располагаться не ближе к опоре, чем то сечение, начиная с которого наклонные сечения будут удовлетворять условиям п. 3.42.

Расчет элементов без поперечной арматуры

3.42(3.36). Расчет изгибаемых элементов постоянного сечения без поперечной арматуры (см. п. 5.70) производится из условий:

а) Q_макс ≤ k₂R_рbh₀, (64)

где Q_макс - максимальная поперечная сила у грани опоры;

б) (65)

где c - длина проекции наклонного сечения, проходящего через опору (значение c принимается не более 2h₀);

Q - поперечная сила в конце рассматриваемого наклонного сечения.

В условиях (64) и (65):

k₂ и k₃ - коэффициенты, принимаемые равными:

для оплошных плоских плит - k₂ = 2,5 и k₃ = 1,5;

для балок, ребер, многопустотных настилов - k₂ = 2 и k₃ = 1,2.

При проверке условия (65) в общем случае задаются рядом значений c, равных или меньших 2h₀.

При действии фиксированных сосредоточенных сил проверка условия (65) производится для наклонных сечений, направленных к точкам приложения сосредоточенных сил (рис. 16).

При расчете элемента на действие равномерно распределенной нагрузки p условие (65) можно заменить условием

(66)

в котором правая часть принимается не менее

k₁R_рbh₀ + 2p₁h₀,

где p₁ - см. п. 3.37;

k₁ - см. п. 3.31;

Q_макс - поперечная сила в начале рассматриваемого наклонного сечения.

Рис. 16. Расположение невыгоднейших наклонных сечений в элементах без поперечной арматуры

1 - наклонное сечение, проверяемое на действие поперечной силы Q₁; 2 - наклонное сечение, проверяемое на действие силы Q₂

При действии фиксированной и сплошной нагрузки с линейно-убывающей от опоры интенсивностью также можно вместо условия (65) использовать условие (66), принимая за значение p₁ среднюю нагрузку на приопорном участке длиной 2h₀, но не более четверти пролета балки или половины вылета консоли.

Если оплошная нагрузка линейно возрастает от опоры, начиная с нулевой интенсивности, то прочность проверяется из условия

(67)

в котором правая часть принимается не менее k₁R_рbh₀ + 2mh₀, здесь m - изменение интенсивности нагрузки на единице длины элемента.

3.43. Расчет элементов без поперечной арматуры с переменной высотой сечения следует производить из условия (64), принимая значение h₀ в опорном сечении, и из условия (65), принимая среднее значение h₀ в пределах наклонного сечения.

Для сплошных плит с высотой сечения, увеличивающейся с увеличением поперечной силы, при действии сплошной фиксированной равномерно распределенной нагрузки p условие (65) можно заменить условием

Q_макс ≤ Q_б.р, (68)

где

но не менее

A = 1,5R_рbh₀tgβ;

здесь h₀ - рабочая высота плиты в опорном сечении;

β - угол между сжатой и растянутой гранями.

При линейно-убывающей от опоры сплошной нагрузке также можно использовать условие (68), принимая за значение p среднюю нагрузку на при опорном участке длиной

Расчет наклонных сечений по поперечной силе при косом изгибе

3.44. Расчет по поперечной силе элементов прямоугольного сечения, подвергающихся косому изгибу, производится из условия

(69)

где Q_х и Q_у - составляющие поперечной силы, действующие соответственно в плоскости симметрии x и в нормальной к ней плоскости y;

Q_х.б(х) и Q_х.б(у) - предельные поперечные силы, которые могут быть восприняты наклонным сечением при действии их соответственно только в плоскости x и только в плоскости y, определяемые по формулам:

здесь b_х и b_у - размеры сечения в направлении, нормальном соответственно осям x и y;

h_0х и h_0у - рабочие высоты сечения в направлении соответственно осей x и y;

q_х(х) и q_х(у) - предельные усилия в поперечных стержнях соответственно в направлении осей x и y на единицу длины элемента (см. п. 3.35).

Примечание. Отогнутые стержни при расчете на поперечную силу при косом изгибе не учитываются.

Расчет наклонных сечений на действие изгибающего момента

3.45(3.39). Расчет сечений, наклонных к продольной оси элемента, на действие изгибающего момента (рис. 17) должен производиться из условия

M ≤ R_аF_аz + ΣR_аF_oz_о + ΣR_аF_хz_х, (70)

где M - момент всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого наклонного сечения, относительно оси, проходящей через точку приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне и перпендикулярной к плоскости действия момента; если внешняя нагрузка приложена к грани свободно опертой балки и действует в ее сторону, то M - изгибающий момент в нормальном сечении, проходящем через вышеуказанную ось;

R_аF_аz; ΣR_аF_оz_о и ΣR_аF_хz_х - сумма моментов относительно той же оси соответственно от усилий в продольной арматуре, в отогнутых стержнях и в хомутах, пересекающих растянутую зону наклонного сечения;

z, z_о и z_х - расстояния от плоскостей расположения соответственно продольной арматуры, отгибов и хомутов до указанной выше оси.

Высота сжатой зоны наклонного сечения, измеренная по нормали к продольной оси элемента, определяется из условия равновесия проекций усилий в бетоне и арматуре наклонного сечения на продольную ось элемента согласно указаниям пп. 3.16 и 3.21. При этом в случае наличия отгибов в элементе в числителе выражений для x добавляются значения ΣR_аF_оcosα, где α - угол наклона отгибов к продольной оси элемента. Если x < 2a', допускается принимать z = h₀ - a'.

Рис. 17. Схема усилий, действующих в наклонном сечении, при расчете по изгибающему моменту

N_б - равнодействующая усилий в сжатой зоне

Рис. 18. Поперечная арматура, учитываемая при определении длины зоны анкеровки

а - корытообразная сетка; б - поперечные стержни сварных пространственных каркасов; в - распределительная арматура сварных сеток; г - хомуты вязаных каркасов; 1 - стержни, учитываемые в расчете

Проверка на действие изгибающего момента не производится для наклонных сечений, пересекающих растянутую грань элемента на участках, обеспеченных от образования нормальных трещин, т.е. там, где момент M от внешней нагрузки, на которую ведется расчет по прочности, меньше или равен моменту трещинообразования M_т, определяемому по формуле (222) п. 4.3, принимая в ней значения R_р вместо R_р_II.

3.46. Если наклонное сечение пересекает в пределах зоны анкеровки продольную растянутую арматуру, не имеющую анкеров, то при расчете этого сечения по изгибающему моменту расчетное сопротивление продольной арматуры снижается путем умножения его на коэффициент условий работы m_а3, равный

m_а3 = l_х/l_ан, (71)

где l_х - расстояние от конца арматуры до точки пересечения наклонного сечения с продольной арматурой;

l_ан - длина зоны анкеровки, определяемая следующим образом:

а) для крайних свободных опор длина зоны анкеровки определяется по формуле

(72)

где m_ан - коэффициент, принимаемый равным: для стержней периодического профиля m_ан = 0,5, для гладких стержней m_ан = 0,8;

μ_к - объемный коэффициент поперечного армирования, определяемый:

при наличии хомутов, охватывающих продольную арматуру (рис. 18), - по формуле

μ_к = f_х/2au,

здесь f_х и u - соответственно площадь хомута и его шаг;

a - расстояние от центра тяжести продольной арматуры до нижней грани элемента;

при наличии поперечных сеток, охватывающих продольную арматуру, - по формуле (88) п. 3.60;

во всех случаях значение μ_к принимается не более 0,06;

σ_б - напряжение сжатия бетона на опоре, равное σ_б = Q/F_оп

(Q - опорная реакция; F_оп - площадь опирания элемента) и принимаемое не более 0,5R_пр;

в случае отсутствия указанных хомутов или сеток значения μ_к и σ_б в формуле (72) принимаются равными нулю, а значение l_ан принимается не менее 200 мм;

указанные хомуты и сетки распределяются по всей длине l_х;

б) для участков на конце вылета консоли длина зоны анкеровки определяется согласно п. 5.48 как для арматуры, заделанной в растянутый бетон.

3.47. Наиболее невыгодное наклонное сечение пересекает продольную растянутую арматуру в нормальном сечении, в котором внешний момент равен моменту трещинообразования M_т (см. п. 4.3) с заменой R_р_II на R_р; при этом длина проекции этого наклонного сечения на продольную ось элемента, измеренная между точками приложения равнодействующих усилий в растянутой арматуре и в сжатой зоне, определяется для элементов с постоянной высотой сечения по формуле

(73)

где Q₁ - поперечная сила в нормальном сечении, проходящем через начало наклонного сечения в растянутой зоне;

P_i и p - сосредоточенная и равномерно распределенная нагрузки, приложенные к верхней грани элемента в пределах наклонного сечения;

q_х_w - усилие в хомутах на единицу длины элемента (интенсивность хомутов), равное

α - угол наклона отгибов к продольной оси элемента.

Если значение c, определенное с учетом сосредоточенной силы P_i, оказывается меньше расстояния до этой силы P_i, а определенное без учета силы P_i - больше этого расстояния, то за значение c следует принимать расстояние до силы P_i.

При расчете консолей и опорных участков неразрезных балок нагрузки P_i и p не учитываются в формуле (73). В этом случае значение c принимается не более расстояния от опоры до начала наклонного сечения в растянутой зоне.

При известных значениях c и q_х при отсутствии отгибов условие (70) п. 3.45 имеет вид

M ≤ R_аF_аz + 0,5q_х_wc². (74)

Если в пределах длины c хомуты изменяют свою интенсивность, то при отсутствии отгибов формула (73) и условие (74) приобретают вид:

(73а)

M ≤ R_аF_аz + 0,5q_х_w₂c² + (q_х_w₁ - q_х_w₂)l₁(c - l₁/2), (74а)

где q_х_w₁ и q_х_w₂ - интенсивность хомутов соответственно у начала наклонного сечения в растянутой зоне и у конца наклонного сечения;

l₁ - длина участка с интенсивностью q_х_w₁ в пределах длины c (рис. 19).

3.48. Проверку наклонных сечений по изгибающему моменту согласно пп. 3.45 - 3.47 для элементов с постоянной или плавно меняющейся высотой, допускается не производить в следующих случаях:

1) если растянутую продольную арматуру можно учитывать с полным расчетным сопротивлением, т.е. если на концах арматуры имеются надежные анкеры (см. п. 5.49) или если при отсутствии анкеров наклонное сечение пересекает продольную арматуру вне зоны анкеровки (т.е. при l_х > l_ан), при этом должны выполняться требования пп. 3.49 и 3.50;

Рис. 19. Изменение интенсивности хомутов в пределах длины проекции наклонного сечения c

Рис. 20. Обрыв растянутых стержней в пролете

2) для крайних свободных опор балок, если выполняются условие (47) п. 3.31 или указания пп. 3.42 и 3.43.

В остальных случаях расчет наклонных сечений по изгибающему моменту обязателен. При этом, если условие (70) не удовлетворяется при поперечной арматуре, установленной исходя из расчета прочности по поперечной силе или из расчета по раскрытию наклонных трещин, рекомендуется в первую очередь принимать меры по усилению анкеровки продольной арматуры или усиливать поперечное армирование у начала наклонного сечения в растянутой зоне.

3.49(3.40). Для обеспечения прочности наклонных сечений на действие изгибающего момента в элементах постоянной высоты продольные растянутые стержни, обрываемые в пролете, должны заводиться за точку теоретического обрыва (т.е. за нормальное сечение, в котором эти стержни перестают требоваться по расчету) (рис. 20) на длину не менее 20d и не менее величины w, определяемой по формуле:

(75)

где Q - поперечная сила в нормальном сечении, проходящем через точку теоретического обрыва стержня;

α - то же, что в п. 3.32;

d - диаметр обрываемого стержня;

q_х_w - см. п. 3.47.

Кроме того, должны быть учтены требования п. 5.48.

Для элементов без хомутов, нагруженных равномерно распределенной сплошной нагрузкой, значение w принимается равным h₀.

3.50. Для обеспечения прочности наклонных сечений на действие изгибающего момента начало отгиба в растянутой зоне должно отстоять от нормального сечения, в котором отгибаемый стержень полностью используется по моменту, не менее чем на h₀/2, а конец отгиба должен быть расположен не ближе того нормального сечения, в котором отгиб не требуется по расчету.

Расчет наклонных сечений в подрезках

3.51. Для элементов с резко меняющейся высотой сечения, например для балок или консолей, имеющих подрезки, производится расчет по поперечной силе для наклонных сечений, проходящих у опоры консоли, образованной подрезкой (рис. 21), согласно указаниям пп. 3.32 - 3.41; при этом в расчетные формулы вводится рабочая высота h₀₁ короткой консоли, образованной подрезкой.

Рис. 21. Невыгоднейшие наклонные сечения в элементе с подрезкой

1 - при расчете по поперечной силе; 2 - при расчете по изгибающему моменту

Хомуты, необходимые для обеспечения прочности наклонного сечения в подрезке, следует устанавливать на длине не менее l₁ = Q₁/q_х + u за конец подрезки и не менее w₀, определяемой по формуле (76).

3.52. Для элементов с подрезками должен производиться расчет на действие изгибающего момента в наклонном сечении, проходящем через входящий угол подрезки (рис. 21), согласно указаниям пп. 3.45 - 3.50.

При этом продольная арматура в короткой консоли, образованной подрезкой, должна быть заведена за конец подрезки на длину не менее длины l_ан (см. п. 5.48) и не менее величины w₀, равной

(76)

где Q₁ - поперечная сила в нормальном сечении у конца подрезки;

F_о - площадь сечения отгибов, проходящих через входящий угол подрезки;

F_х1 - площадь сечения дополнительных хомутов, проходящих у конца подрезки и не учитываемых при определении интенсивности хомутов у подрезки;

a₀ - расстояние от опоры консоли до конца подрезки;

d - диаметр обрываемого стержня.

Хомуты и отгибы, установленные у конца подрезки, должны удовлетворять условию

R_аF_х1 + R_аF_оsinα ≥ Q₁(1 - h₀₁/h₀), (77)

где h₀₁ и h₀ - рабочая высота соответственно в короткой консоли подрезки и в элементе вне подрезки.

При выполнении условия (77) расчет на изгиб наклонного сечения, проходящего через входящий угол подрезки, допускается производить из условия

(78)

где M - изгибающий момент в нормальном сечении у конца подрезки;

p - равномерно распределенная нагрузка, действующая на элемент.

Расчетное сопротивление продольной арматуры в короткой консоли, образованной подрезкой, определяется с учетом указаний п. 3.46.

Примеры расчета

Расчет наклонных сечений на действие поперечной силы

Пример 11. Дано: железобетонная балка с размерами поперечного сечения b = 10 см; h = 30 см; h₀ = 27 см; бетон марки М 200 (R_пр = 75 кгс/см²; R_р = 6,5 кгс/см², с учетом m_б1 = 0,85); балка армирована двумя плоскими каркасами, поперечные стержни из арматурной проволоки класса В-I (R_а.х = 2200 кгс/см²), диаметром 5 мм (F_х = 0,39 см²) с шагом u = 10 см; поперечная сила на опоре Q = 5,2 тс.

Требуется проверить прочность наклонных сечений балки по поперечной силе.

Расчет. Проверяем условие (46), п. 3.30.

0,35R_прbh₀ = 0,35·75·10·27 = 7090 кгс > Q = 5200 кгс.

Так как 0,6R_рbh₀ = 0,6·6,5·10·27 = 1053 кгс < Q = 5200 кгс, согласно п. 3.31, проверка прочности наклонных сечений необходима. Кроме того, должны соблюдаться требования п. 3.33:

Условия u < h/2 и u < 15 см п. 5.73 также удовлетворяются.

Прочность наклонного сечения проверяем из условия (52), п. 3.35.

Согласно формуле (53):

т.е. - прочность наклонного сечения обеспечена.

Пример 12. Дано: железобетонная балка пролетом l = 5,5 м, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой 3,2 тс/м; размеры поперечного сечения b = 20 см; h = 40 см; h₀ = 37 см; бетон марки М 200 (R_пр = 75 кгс/см², R_р = 6,5 кгс/см², с учетом m_б1 = 0,85); хомуты из арматуры класса А-I (R_а.х = 1700 кгс/см²); поперечная сила на опоре Q = 88 тс.

Требуется определить диаметр и шаг хомутов у опоры, а также выяснить, на каком расстоянии от опоры и как может быть увеличен их шаг.

Расчет. Проверяем требование п. 3.30:

0,35R_прbh₀ = 0,35·75·20·37 = 19,4 тс > Q = 8,8 тс.

Так как 0,6R_рbh₀ = 0,6·6,5·20·37 = 2880 кгс < Q, согласно п. 3.31, поперечную арматуру подбираем из расчета по прочности.

Согласно п. 5.73, шаг u₁ у опоры должен быть не более ¹/₂h = 20 и 15 см, а в пролете ³/₄h = 30 и 50 см.

Принимаем шаг хомутов у опоры u₁ = 15 см, а в пролете u₂ = 2· u₁ = 30 см.

Максимально допустимый шаг хомутов у опоры согласно формуле (51) равен

По формуле (56) определим требуемую интенсивность хомутов приопорного участка:

Так как условие (50) не удовлетворяется, принимаем

Отсюда

Принимаем в поперечном сечении два хомута диаметром 6 мм (F_х = 0,57 см²).

Интенсивность хомутов в пролете определим по формуле (54):

Так как интенсивность хомутов q_х2 не удовлетворяет условию (50), минимальную длину участка с шагом хомутов u₁ = 15 см определяем по формуле (58) с заменой Q_х.б2 на Q₁ = 0,6R_рbh₀ = 2,88 тс:

Принимаем длину участка с шагом хомутов u₁ = 15 см равной 1,85 м.

Пример 13. Дано: железобетонная балка с размерами поперечного сечения b = 20 см; h = 60 см; h₀ = 55 см; бетон марки М 200 (R_пр = 75 кгс/см², R_р = 6,5 кгс/см² при учете m_б1 = 0,85); сварные хомуты из арматуры класса А-III (R_а.х = 2400 кгс/см²); нагрузка в виде фиксированных сосредоточенных сил (см. рис. 22).

Требуется определить диаметр хомутов, их число в сечении, шаг у опоры и выяснить, на каком расстоянии и как может быть увеличен их шаг.

Расчет. Проверяем условие (46) п. 3.30:

0,35R_прbh₀ = 0,35·75·20·55 = 28900 кгс = 28,9 тс > Q_макс = 21,2 тс.

Определим требуемую интенсивность хомутов исходя из максимальной поперечной силы у опоры Q_макс = 21,2 тс по формуле (56):

Этой интенсивности соответствует невыгоднейшее наклонное сечение с длиной проекции равной

т.е. в пределах невыгоднейшего сечения действует сосредоточенная сила P₁ = 8 тс.

Согласно п. 3.37 требуемую интенсивность хомутов можно уменьшить, определяя ее по формуле (56) при Q = Q_макс - P₁ или из условия (57).

По формуле (56)

Из условия (57)

Принимаем максимальное значение q_х1 = 135 кгс/см.

Определяем шаг хомутов на приопорном участке, принимая в сечении два хомута диаметром 6 мм (F_х = 0,57 см²):

Принимаем u₁ = 10 см.

Назначаем шаг хомутов на участке с меньшей интенсивностью хомутов u₂ = 2u₁ = 20 см.

Так как этот шаг удовлетворяет требованиям п. 5.73, относящимся к приопорному участку (u₂ = 20 см < 50 см и u₂ < h/3), длину участка с шагом u₁ определяем из условия обеспечения прочности согласно п. 3.38. Определяем значение q_х2:

т.е. меньшая интенсивность хомутов удовлетворяет условию (50), и участок с интенсивностью хомутов u₁ принимаем до сечения, в котором усилие Q становится меньше усилия Q_хб2, равного

Так как значение Q_хб2 больше, чем усилие Q = 13200 кгс за первым грузом, длину участка с шагом хомутов u₁ = 10 см принимаем равным расстоянию от опоры до первого груза, т.е. l₁ = c₁ = 60 см.

Рис. 22. К примеру расчета 13

Рис. 23. К примеру расчета 15

Пример 14. Дано: балка днища резервуара с размерами поперечного сечения b = 25 см, h = 50 см, h₀ = 45 см; бетон марки М 200 (R_пр = 75 кгс/см², R_р = 6,5 кгс/см² с учетом m_б1 = 0,85); хомуты из арматуры класса А-I (R_а.х = 1700 кгс/см²); поперечная сила на опоре Q = 20 тс; равномерно распределенная нагрузка от давления воды, приложенная к верхней грани балки, 6 тс/м; нагрузка от собственного веса балки 0,4 тс/м.

Требуется определить шаг и диаметр хомутов.

Расчет. Проверяем требование п. 3.30:

0,35R_прbh₀ = 0,35·75·25·45 = 29,5 > Q =20 тс.

Так как 0,6R_рbh₀ = 0,6·6,5·25·45 = 4390 кгс < Q, согласно п. 3.31 расчет по прочности наклонных сечений необходим.

Согласно п. 5.73, шаг хомутов u должен быть не более ¹/₃h и не более 500 мм. Принимаем шаг хомутов u = 15 см < ¹/₃h. Необходимую интенсивность хомутов найдем по формуле (56) с учетом разгружающего влияния сплошной равномерно распределенной нагрузки (см. п. 3.37). Суммарная сплошная равномерно распределенная нагрузка с учетом нагрузки от собственного веса балки равна:

p₁ = p = 6 + 0,5·0,4 = 6,2 тс/м = 62 кгс/см.

Тогда

Площадь сечения хомутов в одном нормальном к оси балки сечении равна

Принимаем в поперечном сечении 2 хомута диаметром 8 мм (F_х = 1,01 см²).

Пример 15. Дано: эпюра расчетных поперечных сил для балки - по рис. 23; размеры поперечного сечения b = 30 см, h = 60 см, h₀ = 56 см; a' = 4 см; бетон марки М 200 (R_р = 6,5 кгс/см², R_пр = 75 кгс/см² с учетом m_б1 = 0,85); хомуты диаметром 8 мм из арматуры класса А-I (R_а.х = 1700 кгс/см²), F_х = 1,01 см², шаг хомутов u = 15 см; отогнутые стержни класса А-II (R_а.х = 2150 кгс/см²), угол наклона отгибов к оси балки α = 45°.

Требуется определить площадь сечения и расположение отгибов из расчета их на прочность по поперечной силе.

Расчет. Определяем предельную поперечную силу Q_х.б, которую способны воспринять в невыгоднейшем наклонном сечении совместно хомуты и бетон, по формуле (53). Для этого по формуле (54) найдем усилие в хомутах на единицу длины элемента.

Согласно п. 3.40, определим необходимое сечение отгибов в первой от опоры плоскости:

Принимаем F_о = 6,28 см² (2Æ20).

Расстояние от опоры до верхнего конца первого отгиба принимаем равным 5 см (см. п. 5.75). Тогда поперечная сила в сечении, проходящем через нижний конец первого отгиба, равна (см. рис. 23):

Q₂ = 33(290 - 5 - 52)/290 = 26,5 тс.

Требуемую площадь сечения отогнутой арматуры во второй от оси опоры плоскости отгибов найдем по формуле

Принимаем F_о2 = 2,26 см² (2Æ12).

Согласно п. 3.33, расстояние между верхним концом второго и нижним концом первого отгиба не должно превышать

Принимаем это расстояние равным 34 см. Тогда поперечная сила в сечении, проходящем через нижний конец второго отгиба, равна (см. рис. 23):

Q₃ = 33(290 - 5 - 52 - 34 - 52)/290 = 16,6 тс.

Так как Q = 16,6 тс < Q_х.б = 23,6 тс, то, согласно п. 3.40, отгибов больше не требуется (при сохранении того же шага хомутов на участке за вторым отгибом).

Пример 16. Дано: сплошная плита перекрытия пролетом l = 0,5 м и толщиной h = 5 см, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой p = 7,5 тс/м²; поперечная арматура отсутствует; a = 1,5 см; бетон марки М 200 (R_р = 6,5 кгс/см² с учетом m_б1 = 0,85).

Требуется проверить прочность плиты на действие поперечной силы.

Расчет. h₀ = h - a = 5 - 1,5 = 3,5 см.

Расчет ведем для полосы плиты шириной b = 100 см.

Поперечная сила на опоре равна

Q_макс = pl/2 = 7,5·0,5/2 = 1,875 тс.

Проверяем условие (47) п. 3.31, принимая k₁ = 0,75:

k₁R_рbh₀ = 0,75·6,5·100·3,5 = 1707 кгс < Q_макс = 1875 кгс.

Следовательно, расчет прочности необходим.

Прочность проверяем согласно п. 3.42, принимая k₂ = 2,5; k₃ = 1,5:

k₂R_рbh₀= 2,5·6,5·100·3,5 = 5690 кгс > Q_макс, т.е. условие (64) выполняется.

Проверим условие (66). Для этого вычисляем p₁ = p/2 = 7,5/2 = 3,75 тс/м = 37,5 кгс/см:

=1340 кгс < k₁R_рbh₀ + 2p₁h₀ = 1707 + 2·37,5·3,5 = 1970 кгс.

Так как Q_макс = 1875 кгс < k₁R_рbh₀ + 2p₁h₀ = 1970 кгс, то условие (66) выполнено, и прочность плиты по поперечной силе обеспечена.

Пример 17. Дано: панель резервуара консольного типа с переменной толщиной от 26,2 см в заделке до 12 см на свободном конце и с вылетом 4,25 м загружена боковым давлением грунта, учитывающим нагрузку от транспортных средств на поверхности грунта; давление грунта линейно убывает от 7,06 тс/м² в заделке до 0,71 тс/м² на свободном конце; a = 2,2 см; бетон марки М 200 (R_р = 8,5 кгс/см² при m_б1 = 1,1).

Требуется проверить прочность панели по поперечной силе.

Расчет. Рабочая высота сечения панели в заделке равна h₀ = 26,2 - 2,2 = 24 см.

Определим tgβ, где β - угол между сжатой и растянутой гранями

tgβ = (26,2 - 12)/425 = 0,0334.

Расчет ведем для полосы панели шириной b = 100 см. Поперечная сила в заделке равна

Q_макс = (7,06 + 0,71)·4,25/2 = 16,5 тс.

Проверяем прочность из условий (64) и (68) п. 3.43:

2,5R_рbh₀ = 2,5·8,5·100·24 = 51000 кгс > Q_макс = 11,8 тс, т.е. условие (64) выполняется.

Определим среднюю нагрузку p на приопорном участке длиной

p = 7,06 - (7,06 - 0,71)0,464/(2·4,25) = 6,72 тс/м = 67,2 кгс/см.

Определим значение Q_б.р:

A = 1,5R_рbh₀tgβ = 1,5·8,5·100·24·0,0334 = 1020 кгс;

Принимаем Q_б.р = 17,94 тс. Так как Q_б.р = 17,94 тс > Q_макс = 16,5 тс, то прочность панели по поперечной силе обеспечена.

Расчет наклонных сечений на действие изгибающего момента

Пример 18. Дано: железобетонная балка пролетом l = 5,5 м, нагруженная равномерно распределенной нагрузкой p = 3,2 тс/м; конструкция приопорного участка балки по рис. 24; нагрузки малой суммарной длительности отсутствуют; бетон марки М 200 (R_пр = 75 кгс/см², R_р = 6,5 кгс/см² при m_б1 = 0,85); продольная арматура без анкеров класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²), F_а = 9,82 см² (2Æ25), F'_а = 7,5 см² (2Æ22); хомуты из арматуры класса А-I (R_а = 2100 кгс/см²), диаметром 6 мм и шагом u = 15 см.

Требуется проверить прочность наклонного сечения по изгибающему моменту.

Расчет. h₀ = h - a' = 40 - 4 = 36 см.

Поперечная сила на опоре (опорная реакция) равна

Q = pl/2 = 3,2·5,5/2 = 8,8 тс.

Рис. 24. К примеру расчета 18

Проверим конструктивное требование п. 5.50.

Поскольку 0,6R_рbh₀ = 0,6·6,5·20·36 = 2810 кгс < Q = 8,8 тс, т.е. условие (47) не выполняется, то длина заведения арматуры за грань опоры l_а должна быть не менее 10d = 10·2,5 = 25 см.

Из рис. 24 видно, что l_а = l_оп - 1 см = 28 - 1 = 27 см > 10d, т.е. требование п. 5.50 выполнено.

Так как условие (47) не выполняется и арматура не имеет анкеров, согласно п. 3.48 расчет по изгибающему моменту необходим, если расчетное наклонное сечение может пересечь продольную арматуру в зоне анкеровки.

Определяем длину зоны анкеровки, согласно п. 3.46, учитывая наличие хомутов (Æ6), охватывающих продольную арматуру (f_х = 0,283 см²):

μ_к = f_х/(2au) = 0,283/(2·4·15) = 0,00236 < 0,06;

m_ан = 0,5 (как для стержней периодического профиля).

Отсюда

Определяем расположение начала невыгоднейшего наклонного сечения, т.е. расположение нормального сечения, в котором

M = pll₁/2 - pl₁²/2 = M_т.

Поскольку

μ = F_а/(bh₀) = 9,82/(20·36) ≈ 0,0014 < 0,15,

момент трещинообразования M_т определяем, согласно пп. 4.3 и 4.4, принимая N_ус = 0 и F_а = F'_а = 0:

M_т = R_рW_т = R_р·0,292bh² = 6,5·0,292·20·40² = 60700 кгс·см = 0,607 тс·м.

Решая вышеприведенное квадратное уравнение, находим расстояние l₁ от равнодействующей опорной реакции до сечения, в котором M = M_т:

Так как l₁ = 7 см < 9 см (см. рис. 24), т.е. искомое нормальное сечение оказалось в пределах площадки опирания, принимаем начало наклонного сечения по грани опоры. Отсюда l₁ = 9 см; l_х = l_а = 27 см. Поскольку l_х < l_ан, расчет наклонного сечения по изгибающему моменту необходим. Коэффициент условий работы продольной арматуры при этом равен

m_а3 = l_х/l_ан = 27/69,9 = 0,386,

а расчетное сопротивление арматуры равно R_а = 3400·0,386 = 1314 кгс/см².

Определяем длину проекции невыгоднейшего наклонного сечения по формуле (73). Для этого вычисляем:

q_х_w = R_аF_х/u = 2100·0,57/15 = 79,7 кгс/см;

Q₁ = Q - pl₁ = 8,8 - 3,2·0,09 = 8,51 тс.

Тогда

Внешний изгибающий момент в нормальном сечении, проходящем через равнодействующую усилий сжатой зоны наклонного сечения (т.е. в сечении, расположенном на расстоянии l₁ + c = 0,09 + 0,762 = 0,852 м от опорной реакции), равен

M = Q(l₁ + c) - p(l₁ + c)²/2 = 8,8·0,852 - 3,2·0,852²/2 = 6,34 тс·м.

Так как высота сжатой зоны

согласно п. 3.45, принимаем z = h₀ - a' = 36 - 3,5 = 32,5 см.

Проверяем прочность из условия (74):

R_аF_аz + 0,5q_х_wc² = 1314·9,82·32,5 + 0,5·79,7·76,2² = 651000 кгс·см = 6,51 тс·м > M = 6,34 тс·м,

т.е. прочность наклонного сечения по изгибающему моменту обеспечена.

Пример 19. Дано: ригель многоэтажной рамы с эпюрами изгибающих моментов и поперечных сил от равномерно распределенной нагрузки p = 22,8 тс/м по рис. 25; бетон марки М 300; продольная и поперечная арматура класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²); поперечное сечение приопорного участка по рис. 25; хомуты диаметром 10 мм и шагом 15 см (F_х = 2,36 см²).

Требуется определить расстояние от опоры до места обрыва первого стержня верхней арматуры у левой опоры.

Рис. 25. К примеру расчета 19

Расчет. Определяем предельный изгибающий момент, растягивающий опорную арматуру без учета обрываемого стержня, из условия (19), п. 3.16, поскольку F_а = 16,09 см² > F'_а, т.е. x < 0:

M_пр = R_аF_а(h₀ - a') = 3400·16,09(74 - 5) = 37,7 тс·м.

По эпюре моментов определяем расстояние x от опоры до места теоретического обрыва первого стержня из уравнения

M = M_оп - (M_оп - M'_оп)x/l - plx/2 + px²/2 = M_пр,

откуда

Поперечная сила в месте теоретического обрыва Q = 53,2 тс (см. рис. 25).

Определяем величину q_х_w:

q_х_w = R_аF_х/u = 3400·2,36/15 = 535 кгс/см.

Рис. 26. К примеру расчета 20

По формуле (75) вычисляем длину w, на которую надо завести обрываемый стержень за точку теоретического обрыва:

w = Q/(2q_х) + 5d = 53200/(2·535) + 5·3,2 = 65,7 см > 20d = 20·3,2 = 64 см.

Следовательно, из условия (75) расстояние от опоры до места обрыва стержня может быть принято равным x + w= 39 + 65,7 = 104,7 см.

Определяем необходимое расстояние l_ан от места обрыва стержня до вертикального сечения, в котором он используется полностью, по табл. 41 и п. 5.48:

l_ан = 29d = 29·3,2 = 93 см < 104,7 см,

следовательно, обрываем стержень на расстоянии 104,7 см от опоры.

Пример 20. Дано: примыкание сборной железобетонной второстепенной балки перекрытия к ригелю осуществляется при помощи подрезки как показано на рис. 26; рабочая высота в сечении консоли h₀₁ = 37 см; в сечении балки h₀ = 67 см; бетон марки М 300 (R_пр = 115 кгс/см² и R_р = 8,5 кгс/см² с учетом m_б1 = 0,85); хомуты и отогнутые стержни из арматуры класса А-III (R_а = 3400 кгс/см², R_а.х = 2700 кгс/см²), диаметрами соответственно 12 и 16 мм (F_х = F_х1 = 4,52 см² F_о = 8,04 см²); шаг хомутов u = 10 см, продольная рабочая арматура класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²), площадью F_а = 6,16 см² (4Æ14); поперечная сила на опоре Q = 64 тс.

Требуется проверить прочность наклонных сечений подрезки на действие поперечной силы и изгибающего момента.

Расчет. Проверим прочность подрезки по поперечной силе, принимая h₀ = h₀₁ = 37 см.

Проверяем требование п. 3.30:

0,35R_прbh₀ = 0,35·115·73·37 = 108,7 тс > Q = 64 тс.

Так как 0,6R_рbh₀₁ = 0,6·8,5·73·37 = 13,8 тс < Q = 64 тс, согласно п. 3.31, расчет по поперечной силе необходим.

Определяем предельную поперечную силу Q_х.б, которую воспримут в невыгоднейшем наклонном сечении совместно хомуты и бетон, по формуле (53). Для этого по формуле (54) найдем усилие в хомутах на единицу длины элемента:

q_х = R_а.хF_х/u = 2700·4,52/10 = 1220 кгс/см;

Поскольку Q_х.б = 91 тс > Q = 64 тс, даже без учета отгибов прочность по поперечной силе обеспечена.

Проверяем прочность наклонного сечения, проходящего через входящий угол подрезки, на действие изгибающего момента.

Предварительно проверим достаточность специальных хомутов и отгибов, установленных у конца подрезки, из условия (77):

F_х1 = 4,52 см² (4Æ12); F_о = 8,04 см² (4Æ16); α = 45°;

R_аF_х1 + R_аF_оsinα = 3400·4,52 + 3400·8,04·0,707 = 34,7 тс > Q(1 - h₀₁/h₀) = 64(1 - 37/67) = 28,7 тс.

Так как условие (77) выполняется, прочность наклонного сечения проверяется из условия (78).

Для этого вычисляем q_х_w

q_х_w = R_аF_х/u = 3400·4,52/10 = 1540 кгс/см.

Изгибающий момент в сечении у конца подрезки равен

M = Qa₀ = 64·0,13 = 8,3 тс·м;

поскольку продольная растянутая арматура короткой консоли заанкерена на опоре, учитываем эту арматуру с полным расчетным сопротивлением:

= 13,2 тс·м < 0,9h₀₁(R_аF_а + R_аF_оcosα) = 0,9·37(3400·6,16 + 3400·8,04·0,707) = 13,2 тс·м,

т.е. прочность наклонного сечения по изгибающему моменту обеспечена.

Определим необходимую длину заведения продольной растянутой арматуры за конец подрезки по формуле (76):

= 65 см > l_ан = 29d = 29·1,4 = 40,6 см (см. п. 5.48).

Определяем длину l₁, на которой устанавливаются хомуты согласно п. 3.51:

l₁ = Q/q_х + u = 64000/1220 + 10 = 62,4 см < w₀ = 65 см.

Принимаем длину l₁ = w₀ = 65 см.

Внецентренно-сжатые элементы

Общие положения

3.53(1.22). При расчете по прочности железобетонных элементов на воздействие продольной сжимающей силы N должен приниматься во внимание случайный эксцентрицитет e₀^сл обусловленный не учтенными в расчете факторами, в том числе неоднородностью свойств бетона по сечению элемента.

Эксцентрицитет e₀^сл в любом случае принимается не менее следующих значений:

¹/₆₀₀ всей длины элемента или длины его части (между точками закрепления элемента), учитываемой в расчете;

¹/₃₀ высоты сечения элемента;

- 1 см.

Для элементов статически неопределимых конструкций (в том числе для колонн каркасных зданий) величина эксцентрицитета продольной силы относительно центра тяжести приведенного сечения e₀ принимается равной эксцентрицитету, полученному из статического расчета конструкции, но не менее e₀^сл.

В элементах статически определимых конструкций (например, фахверковые стойки, стойки ЛЭП) эксцентрицитет e₀ находится как сумма эксцентрицитетов - определяемого из статического расчета конструкции и случайного.

3.54. Расчет внецентренно-сжатых элементов должен производиться с учетом влияния прогиба элемента как в плоскости эксцентрицитета продольной силы (в плоскости изгиба), так и в нормальной к ней плоскости. В последнем случае принимается, что продольная сила приложена с эксцентрицитетом e₀, равным случайному эксцентрицитету e₀^сл (см. п. 3.51).

Влияние прогиба элемента учитывается согласно указаниям пп. 3.57 - 3.59.

Расчет из плоскости изгиба можно не производить, если гибкость элемента l₀/r (для прямоугольных сечений l₀/h) в плоскости изгиба превышает гибкость в плоскости, нормальной плоскости изгиба.

При наличии расчетных эксцентрицитетов в двух направлениях производится расчет на косое внецентренное сжатие (см. пп. 3.75 - 3.77).

3.55. Для наиболее часто встречающихся видов сжатых элементов (прямоугольного и двутаврового сечения с симметрично расположенной арматурой, круглого и кольцевого сечения с арматурой, равномерно распределенной по окружности) расчет по прочности нормальных сечений производится согласно пп. 3.63 - 3.77.

Для других видов сечений и при произвольном расположении продольной арматуры расчет нормальных сечений производится по формулам общего случая расчета согласно п. 3.78. Если выполняется условие F'_а > 0,02F, в расчетных формулах пп. 3.63 - 3.78 следует учитывать уменьшение действительной площади бетона сжатой зоны на величину F'_а.

3.56. Проверка прочности наклонных сечений внецентренно-сжатых элементов производится аналогично расчету изгибаемых элементов в соответствии с указаниями пп. 3.29 - 3.52, за исключением условия (50) п. 3.33.

Учет влияния прогиба элемента

3.57. Влияние прогиба на величину эксцентрицитета продольного усилия следует учитывать, как правило, путем расчета конструкций по деформированной схеме, принимая во внимание неупругие деформации материалов и наличие трещин.

Допускается производить расчет конструкций по недеформированной схеме, учитывая влияние прогиба элемента путем умножения эксцентрицитета e₀ на коэффициент η, определяемый по формуле

(79)

где N_кр - условная критическая сила, определяемая по формулам:

для элементов любой формы сечения

(80)

где I и I_а - моменты инерции соответственно бетонного сечения и сечения всей арматуры относительно центра тяжести бетонного сечения;

для элементов прямоугольного сечения

(81)

В формулах (80) и (81):

k_дл = 1 + M₁^дл/M₁; (82)

M₁ и M₁^дл - моменты внешних сил относительно оси, проходящей через центр тяжести крайнего ряда арматуры, расположенного у растянутой (менее сжатой) грани параллельно этой грани, соответственно от действия полной нагрузки и от действия постоянной и длительной нагрузок: для элементов, рассчитываемых согласно пп. 3.63, 3.64, 3.67 - 3.70, допускается M₁ и M₁^дл определять относительно оси, проходящей через центр тяжести всей арматуры A;

t - коэффициент, принимаемый равным e₀/h, но не менее величины

t_мин = 0,5 - 0,01l₀/h - 0,001R_пр (83)

(здесь R_пр, кгс/см², допускается принимать при m_б1 = 1; значение h для круглых и кольцевых сечений заменяется на D);

l₀ - принимается по указаниям п. 3.59;

При расчете элементов прямоугольного сечения с арматурой, симметрично расположенной по периметру сечения (п. 3.65), в значении (F_а + F'_а) не учитывается ²/₃ арматуры, расположенной у граней, параллельных плоскости изгиба (2F_а.п), а значение (h₀ - a')/h в формуле (81) принимается равным 1 - 2δ₁.

Эксцентрицитет e₀, используемый в настоящем пункте, допускается определять относительно центра тяжести бетонного сечения.

При гибкости элемента l₀/r < 14 (для прямоугольных сечений при l₀/h < 4) допускается принимать η = 1.

При гибкости 14 < l₀/r < 35 (4 < l₀/h < 10) и при μ = (F_а + F'_а)/F ≤ 0,025 допускается принимать:

для прямоугольных сечений

для других форм сечения

При N ≥ N_кр следует увеличивать размеры сечения.

При расчетных эксцентрицитетах в двух направлениях коэффициент η определяется отдельно для каждого направления и умножается на соответствующий эксцентрицитет.

3.58. При расчете железобетонных элементов, имеющих несмещаемые опоры (например, сжатые элементы раскосных ферм), а также если расчетные моменты в сжатом элементе вызваны вынужденными деформациями от температурных воздействий, смещений связевых диафрагм, удлинений затяжек арок и т.п. (например, колонны связевых каркасов) значения коэффициента η принимаются:

а) для сечений в средней трети длины элемента - по формуле (79);

б) для сечений в пределах крайних третей длины элемента - путем линейной интерполяции, принимая в опорных сечениях коэффициенты η равными единице.

При расчете колонн многоэтажных симметричных рам с жесткими узлами и при равном числе пролетов на каждом этаже допускается окончательные моменты для сечений в пределах крайних третей длины колонны принимать равными:

M = M_вη_в + M_гη_г,

где M_в- момент от вертикальных нагрузок на перекрытиях и покрытии и от указанных выше вынужденных деформаций;

M_г- момент от прочих нагрузок;

η_в - коэффициент η, определяемый согласно подпункту «б»;

η_г - коэффициент η, определяемый по формуле (79);

при определении коэффициентов η_в и η_г учитываются все нагрузки.

Здесь M, M_в и M_г - моменты внешних сил относительно центра тяжести бетонного сечения.

3.59(3.25). Расчетные длины l₀ внецентренно-сжатых железобетонных элементов рекомендуется определять как для элементов рамной конструкции с учётом ее деформированного состояний при наиболее невыгодном для данного элемента расположении нагрузки, принимая во внимание неупругие деформации материалов и наличие трещин.

Для элементов наиболее часто встречающихся конструкций допускается принимать расчетные длины l₀ равными:

а) для колонн многоэтажных зданий при числе пролетов не менее двух и соединениях ригелей и колонн, рассчитываемых как жесткие, при конструкциях перекрытий: сборных - H; монолитных 0,7H, где H - высота этажа (расстояние между центрами узлов);

б) для колонн одноэтажных зданий с шарнирным стиранием несущих конструкций покрытий, жестких в своей плоскости (способных передавать горизонтальные усилия), а также для эстакад - по табл. 19;

в) для элементов ферм и арок - по табл. 20.

Таблица 20(33)

Элементы	Расчетная длина l₀ элементов ферм и арок
1. Элементы ферм
Верхний пояс при расчете:
а) в плоскости фермы:
при e₀ < ¹/₈h_в.п	0,9l
при e₀ ≥ ¹/₈h_в.п	0,8l
б) из плоскости фермы:
для участка под фонарем при ширине фонаря 12 м и более	0,8l
в остальных случаях	0,9l
Раскосы и стойки при расчете
в) в плоскости фермы	0,8l
г) из плоскости фермы:
при b_в.п/b_с < 1,5	0,9l
при b_в.п/b_с ≥ 1,5	0,8l
2. Арки
а) при расчете в плоскости арки:
трехшарнирной	0,58s
двухшарнирной	0,54s
бесшарнирной	0,365s
б) при расчете из плоскости арки (любой)	s
В табл. 20: l - длина элемента между центрами примыкающих узлов, а для верхнего пояса фермы при расчете из плоскости фермы - расстояние между точками его закрепления; s - длина арки вдоль ее геометрической оси, при расчете из плоскости арки - длина арки между точками ее закрепления из плоскости арки; h_в.п - высота сечения верхнего пояса; b_в.п и b_с - ширина сечения соответственно верхнего пояса и стойки (раскоса) фермы.

Таблица 19(32)

Характеристика зданий и колонн				Расчетная длина l₀ колонн одноэтажных зданий при расчете их в плоскости
				поперечной рамы или перпендикулярной к оси эстакады	перпендикулярной к поперечной раме или параллельной оси эстакады
					при наличии	при отсутствии
					связей в плоскости продольного ряда колонн или анкерных опор
1. Здания с мостовыми кранами	при учете нагрузки от кранов	подкрановая (нижняя) часть колонн при подкрановых балках	разрезных	1,5H_н	0,8H_н	1,2H_н
		подкрановая (нижняя) часть колонн при подкрановых балках	неразрезных	1,2H_н	0,8H_н	0,8H_н
		надкрановая (верхняя) часть колонн при подкрановых балках	разрезных	2H_в	1,5H_в	2,0H_в
		надкрановая (верхняя) часть колонн при подкрановых балках	неразрезных	2H_в	1,5H_в	1,5H_в
	без учета нагрузки от кранов	подкрановая (нижняя) часть колонн зданий	однопролетных	1,5H	0,8H_н	1,2H
		подкрановая (нижняя) часть колонн зданий	многопролетных	1,2H	0,8H_н	1,2H
		надкрановая (верхняя) часть колонн при подкрановых балках	разрезных	2,5H_в	1,5H_в	2H_в
		надкрановая (верхняя) часть колонн при подкрановых балках	неразрезных	2H_в	1,5H_в	1,5H_в
2. Здания без мостовых кранов	колонны ступенчатые	нижняя часть колонн зданий	однопролетных	1,5H	0,8H	1,2H
		нижняя часть колонн зданий	многопролетных	1,2H	0,8H	1,2H
		верхняя часть колонн		2,5H_в	2H_в	2,5H_в
	колонны постоянного сечения зданий	однопролетных		1,5H	0,8H	1,2H
	колонны постоянного сечения зданий	многопролетных		1,2H	0,8H	1,2H
3. Открытые крановые эстакады при подкрановых балках			разрезных	2H_н	0,8H_н	1,5H_н
3. Открытые крановые эстакады при подкрановых балках			неразрезных	1,5H_н	0,8H_н	H_н
4. Открытые эстакады под трубопроводы при соединении колонн с пролетным строением			шарнирном	2H	H	2H
			жестком	1,5H	0,7H	1,5H_н
В табл. 19: H - полная высота колонны от верха фундамента до горизонтальной конструкции (стропильной или подстропильной, распорки) в соответствующей плоскости; H_н - высота подкрановой части колонны от верха фундамента до низа подкрановой балки; H_в - высота надкрановой части колонны от ступени колонны до горизонтальной конструкции в соответствующей плоскости. Примечание. При наличии связей до верха колонн в зданиях с мостовыми кранами расчетная длина надкрановой части колонн в плоскости оси продольного ряда колонн принимается равной H_в.

Учет влияния косвенного армирования

3.60(3.22). Расчет элементов оплошного сечения с косвенным армированием в виде сварных сеток, спиральной или кольцевой арматуры (рис. 27) следует производить согласно указаниям пп. 3.63 - 3.70, 3.73 - 3.78 по сечению, ограниченному осями крайних стержней поперечной арматуры (ядро сечения), подставляя в расчетные формулы вместо R_пр приведенную призменную прочность R*_пр и вычисляя характеристику сжатой зоны бетона ξ₀, с учетом влияния косвенного армирования по формуле (90).

Влияние прогиба элемента с косвенным армированием на эксцентрицитет продольной силы учитывается согласно указаниям п. 3.61.

Рис. 27. Сжатые элементы с косвенным армированием в виде

а - сварных сеток; б - спиральной арматуры

Значения R*_пр определяются по формулам:

а) при армировании сварными поперечными сетками

R*_пр = R_пр + kμ^с_кR^с_а, (85)

где k - коэффициент эффективности косвенного армирования, принимаемый равным

(86)

(87)

μ^с_к - коэффициент косвенного армирования сетками, равный

(88)

n₁, f_с1, l₁ - соответственно число стержней, площадь поперечного сечения и длина стержня сетки в одном направлении (считая в осях крайних стержней);

n₂, f_с2, l₂ - то же, в другом направлении;

s - расстояние между сетками;

F_я - площадь ядра бетонного сечения, заключенного внутри контура сеток (считая в осях крайних стержней);

R^с_а - расчетное сопротивление арматуры сеток;

б) при армировании спиральной и кольцевой арматурой

R*_пр = R_пр + 2μ^сп_кR^сп_а(1 - 7,5e₀/d_я), (89)

где μ^сп_к - коэффициент косвенного армирования спиралью (кольцами), равный

f_сп - площадь поперечного сечения спиральной арматуры;

d_я - диаметр ядра бетонного сечения;

s - шаг навивки спирали или расстояние между кольцами;

R^сп_а - расчетное сопротивление арматуры спирали (колец).

Эксцентрицитет e₀ в формуле (89) можно определять без учета прогиба элемента.

Значение ξ₀ при косвенном армировании определяется по формуле

ξ₀ = 0,85 - 0,0008R_пр + , (90)

но принимается не более 0,9.

В формуле (90):

R_пр - в кгс/см²,

- коэффициент, равный 10μ^с_к или 10μ^сп_к при армировании соответственно поперечными сетками или спиральной арматурой, но принимаемый не более 0,15.

Косвенное армирование учитывается в расчете при гибкости l₀/r_я ≤ 35 (для прямоугольных сечений при l₀/h_я ≤ 10, где r_я и h_я - радиус инерции и высота ядра сечения), а также при условии, что несущая способность элемента, определенная согласно указаниям настоящего пункта (вводя в расчет F_я и R*_пр), превышает его несущую способность, определенную по полному сечению F и величине расчетного сопротивления бетона R_пр (без учета косвенной арматуры).

Кроме того, косвенное армирование должно удовлетворять конструктивным требованиям пп. 5.82 - 5.84.

3.61(3.22). При расчете элементов с косвенным армированием по недеформированной схеме влияние прогиба элемента на эксцентрицитет продольной силы учитывается согласно п. 3.57 - 3.59; при этом величина N_кр, полученная по формуле (80) или (81), умножается на коэффициент k_с = 0,25 + 0,05l₀/h_я, а значение t_мин вычисляется по формуле

t_мин = 0,5 + 0,01l₀/h_я(1 - 0,1l₀/h_я) - 0,001R_пр,

где h_я - высота бетонного ядра сечения (для круглых сечений h_я заменяется на d_я). Кроме того, при вычислении N_кр размеры сечения принимаются по ядру бетонного сечения.

3.62(3.23). При расчете внецентренно-сжатых элементов с косвенным армированием наряду с расчетом по прочности согласно п. 3.60 должно соблюдаться условие, обеспечивающее трещиностойкость защитного слоя:

(91)

где F_п и I_п - соответственно площадь и момент инерции полного приведенного сечения элемента;

y - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до наиболее сжатого волокна.

При определении F_п, I_п и y в формуле (91) коэффициент приведения арматуры к бетону принимается равным n = 0,65R_а/R_пр или по табл. 21.

Таблица 21

Продольная арматура класса	Коэффициенты приведения n при марках бетона
Продольная арматура класса	М 150	М 200	М 250	М 300	М 400	М 500	М 600	М 700	М 800
А-III	32	25	20	16	13	10	9	8	7
А-II	25	20	16	13	10	8	7	6	6

Эксцентрицитет продольной силы e₀ в формуле (91) определяется с учетом прогиба элемента согласно п. 3.57 - 3.59 и 3.61.

Расчет элементов симметричного сечения при расположении продольной силы в плоскости симметрии

Прямоугольные сечения с симметричной арматурой

3.63(3.20). Проверка прочности прямоугольных сечений с симметричной арматурой, сосредоточенной у наиболее сжатой и у растянутой (наименее сжатой) граней элемента, производится следующим образом в зависимости от высоты сжатой зоны

(92)

а) при x ≤ ξ_Rh₀ (рис. 28) из условия

Ne ≤ R_прbx(h₀ - 0,5x) + R_а.сF'_а(h₀ - a'); (93)

б) при x > ξ_Rh₀ также из условия (93), принимая высоту сжатой зоны, равной x = ξh₀, где значение ξ определяется по формулам:

для элементов из бетона марки М 400 и ниже

(94)

для элементов из бетона марки выше М 400

(95)

Рис. 28. Схема усилий в поперечном прямоугольном сечении внецентренно-сжатого элемента

1 - сжатая зона

В формулах (94) и (95):

ξ_R, ξ₀ и s - см. табл. 17 п. 3.15.

Значение e вычисляется по формуле

e = e₀ + (h₀ - a')/2. (96)

При этом эксцентрицитет продольной силы e₀ относительно центра тяжести сечения определяется с учетом прогиба элемента согласно пп. 3.57 - 3.59.

Примечания: 1. Если высота сжатой зоны, определенная с учетом половины сжатой арматуры, - меньше a', то расчетную несущую способность сечения можно несколько увеличить, используя условие (93) при F'_а = 0 и

2. Формулой (95) можно пользоваться также при расчете элементов из бетона марки М 400 и ниже.

3.64. Определение требуемого количества симметричной арматуры производится следующим образом в зависимости от относительной величины продольной силы :

а) при

(97)

б) при

(98)

где относительная высота сжатой зоны ξ определяется по формуле (94) или (95) п. 3.63; при этом в формуле (94) значение α допускается определять по формуле

(99)

а в формуле (95) - тоже по формуле (99) с заменой на .

В формулах (97) - (99):

Значение e вычисляется по формуле (96) п. 3.63.

Рис. 29. Графики несущей способности внецентренно-сжатых элементов прямоугольного сечения с симметричной арматурой

сплошная линия при M₁^дл/M₁ = 1 (см. п. 3.57); пунктирная при M₁^дл/M₁ = 0,5;

Примечания: 1. Графиками допускается пользоваться при марках бетона от М 200 до М 600 и при a = a' от 0,05h₀ до 0,15h₀.

2. При M₁^дл/M₁ < 0,5 значения α определяются линейной экстраполяцией.

Если значение a' не превышает 0,15h₀, необходимое количество арматуры можно определять с помощью графика рис. 29,а, используя формулу

где α определяется по графику в зависимости от значений:

при этом значение момента M относительно центра тяжести сечения определяется с учетом прогиба элемента согласно пп. 3.57 - 3.59.

При статическом расчете по недеформированной схеме и при использовании коэффициента η > 1 подбор арматуры по вышеприведенным формулам и графику производится в общем случае путем последовательных приближений.

Для элементов из бетона марок от М 200 до М 600 при λ = l₀/h ≤ 25 и при a' не более 0,15h₀ подбор арматуры можно производить без последовательных приближений с помощью графиков на рис. 29, при этом используются значения M без учета коэффициента η.

Рис. 30. Схема, принимаемая при расчете внецентренно-сжатого элемента прямоугольного сечения с арматурой, расположенной по высоте сечения

3.65. При наличии арматуры, расположенной по высоте сечения, расчет внецентренно-сжатых элементов допускается производить по формулам (102) и (103), рассматривая всю арматуру как равномерно распределенную по линиям центров тяжести стержней (рис. 30).

При этом площадь сечения арматуры F_а_.и, расположенной у одной из граней, параллельных плоскости изгиба, принимается равной

F_а_.и = f_п_.и(p_и + 1), (100)

где f_п_.и - площадь одного промежуточного стержня этой арматуры; при разных диаметрах промежуточных стержней принимается средняя площадь сечения промежуточного стержня;

p_и - число промежуточных стержней этой арматуры.

Площадь сечения арматуры F_а_.п, расположенной у одной из граней, перпендикулярных к плоскости изгиба, равна

F_а_.п = Σf_а/2 - F_а_.и, (101)

где Σf_а - площадь всей арматуры в сечении элемента.

Проверка прочности сечения производится в зависимости от относительной высоты сжатой зоны:

а) при ξ ≤ ξ_R прочность сечения проверяется из условия

Ne₀ ≤ R_прbh²[0,5ξ(1 - ξ) + α_и(ξ₁ - δ₁)(1 - ξ₁ - δ₁) - 0,05α_иξ₁² + α_п(1 - 2δ₁)], (102)

где

ξ₁ = ξ/ξ₀;

(см. рис. 30);

б) при ξ > ξ_R прочность сечения проверяется из условия

Ne₀ ≤ R_прbh²m_гр(n_ц - n₁)/(n_ц - n_гр),(103)

где - относительная величина продольной силы при равномерном сжатии всего сечения;

m_гр и n_гр - относительные величины соответственно изгибающего момента и продольной силы при высоте сжатой зоны ξ_Rh, равные

m_гр = 0,5ξ_R(1 - ξ_R) + α_и(ξ₁_R - δ₁)(1 - ξ₁_R - δ₁) - 0,05α_иξ²₁_R + α_п(1 - 2δ₁);

n_гр = ξ_R + α_и(2ξ₁_R - 1);

ξ₁_R = ξ_R/ξ₀;

ξ_R и ξ₀ - см. п. 3.15 табл. 17.

Эксцентрицитет продольной силы e₀ определяется с учетом прогиба элемента согласно п. 3.57 - 3.59.

Примечание. При расположении арматуры в пределах крайних четвертей высоты h - 2a₁ (см. рис. 30) расчет надо производить согласно указаниям пп. 3.63 и 3.64, рассматривая арматуру A и A' сосредоточенной по линиям их центров тяжести.

3.66(прил. 2). Расчет сжатого элемента с учетом его прогиба на действие продольной силы, приложенной с эксцентрицитетом, принятым согласно п. 3.53, равным случайному эксцентрицитету e₀^сл, при l ≤ 20h допускается производить из условия

N ≤ mφ(R_прF + R_а.сΣf_а), (104)

где m - коэффициент, принимаемый равным: при h > 20 см - 1, а при h ≤ 20 см - 0,9;

φ - коэффициент, определяемый по формуле

φ = φ_б + 2(φ_ж - φ_б)α, (105)

но принимаемый не более φ_ж; здесь φ_б и φ_ж - коэффициенты, принимаемые по табл. 22 и 23;

Σf_а - см. п. 3.65.

При α > 0,5 можно, не пользуясь формулой (105), принимать φ = φ_ж.

Таблица 22 (1 прил. 2)

Значения коэффициента φ_б

N_дл/N	Коэффициент φ_б при l₀/h
N_дл/N	≤ 6	8	10	12	14	16	18	20
0	0,93	0,92	0,91	0,90	0,89	0,88	0,86	0,84
0,5	0,92	0,91	0,90	0,89	0,86	0,82	0,78	0,72
1	0,92	0,91	0,89	0,86	0,82	0,76	0,69	0,61

Таблица 23 (2 прил. 2)

Значения коэффициента φ_ж

N_дл/N	Коэффициент φ_ж при l₀/h
	≤ 6	8	10	12	14	16	18	20
	≤ 6	8	10	12	14	16	18	20
	А. При отсутствии промежуточных стержней, расположенных у граней, параллельных рассматриваемой плоскости, а также при площади сечения этих промежуточных стержней менее ¹/₃Σf_а
0	0,93	0,92	0,91	0,90	0,89	0,88	0,86	0,84
0,5	0,92	0,92	0,91	0,89	0,88	0,88	0,83	0,79
1	0,92	0,91	0,90	0,89	0,87	0,84	0,79	0,74
	Б. При площади сечения промежуточных стержней, расположенных у граней, параллельных рассматриваемой плоскости, равной или более ¹/₃Σf_а
0	0,92	0,92	0,91	0,89	0,87	0,85	0,82	0,79
0,5	0,92	0,91	0,90	0,88	0,85	0,81	0,76	0,71
1	0,92	0,91	0,89	0,86	0,82	0,77	0,70	0,63

В табл. 22 и 23:

N_дл - продольная сила от действия постоянных и длительных нагрузок;

N - продольная сила от действия постоянных, длительных и кратковременных нагрузок;

1-1 - рассматриваемая плоскость;

2 - промежуточные стержни.

Примечание. При промежуточных значениях l₀/h и N_дл/N коэффициенты φ_б и φ_ж определяются по интерполяции.

Прямоугольные сечения с несимметричной арматурой

3.67. Проверка прочности прямоугольных сечений с несимметричной арматурой, сосредоточенной у наиболее сжатой и у растянутой (наименее сжатой) граней элемента, производится согласно п. 3.63, при этом формулы (92), (94) и (95) приобретают вид:

(92а)

(94а)

(95а)

где

3.68. Площади сечения сжатой и растянутой арматуры, соответствующие минимуму их суммы, определяются по формулам:

для элементов из бетона марок М 400 и ниже:

(106)

(107)

для элементов из бетона марок выше М 400:

(108)

(109)

где A_R и ξ_R - определяются по табл. 17 п. 3.15 и принимаются не более соответственно 0,4 и 0,55.

При отрицательном значении F_а, вычисленном по формуле (107) или (109), площадь арматуры A принимается минимальной из конструктивных требований, но не менее величины

(110)

При отрицательном значении F_а.мин, вычисленном по формуле (110), площадь сечения арматуры A' определяется по формуле

а при положительном значении F_а.мин, - по формуле

(111)

Если принятая площадь сечения сжатой арматуры F'_а.ф значительно превышает ее значение, вычисленное по формулам (106) и (108) (например, при отрицательном значении F'_а), то площадь сечения растянутой арматуры может быть уменьшена исходя из формулы

(112)

где ξ определяется по табл. 18 п. 3.19 в зависимости от значения

(113)

Двутавровые сечения с симметричной арматурой

3.69. Проверка прочности двутавровых сечений с симметричной арматурой, сосредоточенной в полках (рис. 31), производится следующим образом.

Если соблюдается условие

N ≤ R_прb'_пh_п' (114)

(т.е. граница сжатой зоны проходит в полке), то расчет производится как для прямоугольного сечения шириной b'_п в соответствии с указаниями п. 3.63.

Если условие (114) не соблюдается (т.е. граница сжатой зоны проходит в ребре), расчет производится в зависимости от высоты сжатой зоны :

а) при x ≤ ξ_Rh₀ прочность сечения проверяется из условия

Nе ≤ R_прbх(h₀ - x/2) + R_прF_св(h₀ - h_п'/2) + R_а.сF'_а(h₀ - a'); (115)

б) при x > ξ_Rh₀ прочность сечения проверяется также из условия (115), определяя высоту сжатой зоны по формуле

Рис. 31. Схема усилий в поперечном двутавровом сечении внецентренно-сжатого элемента

(116)

где

s, ξ_R и ξ₀ - см. табл. 17 п. 3.15;

F_св - площадь сжатых свесов полки:

F_св = (b'_п - b)h'_п.

Если значение x, определенное по формуле (116), превышает h - h'_п (т.е. граница сжатой зоны проходит по менее сжатой полке), можно учесть повышение несущей способности сечения за счет включения в работу менее сжатой полки. Расчет при этом, если b'_п = b_п, производится по формулам (115) и (116) с заменой b на b_п; h'_п на (h + h'_п - h_п) и F_св = -(b_п - b)(h - h_п - h'_п).

Примечание. При переменной высоте свесов полок значения h_п и h'_п принимаются равными средней высоте свесов.

3.70. Определение требуемого количества симметричной арматуры двутавровых сечений производится следующим образом.

При соблюдении условия (114) подбор арматуры производится как для прямоугольного сечения шириной b'_п согласно указаниям п. 3.64.

Если условие (114) не соблюдается, подбор арматуры производится в зависимости от относительной высоты сжатой зоны

ξ = - α_св: (117)

а) при ξ ≤ ξ_R

(118)

б) при ξ > ξ_R

(119)

где относительная высота сжатой зоны ξ₁ = x/h₀ определяется из формулы (116), при этом

(120)

для бетона марки М 400 и ниже в формуле (120) можно принять ξ₂ = ξ.

В формулах (117) - (120): , α_св - см. п. 3.69;

δ = a'/h₀; A_св =α_св(1 - 0,5h'_п/h₀).

Кольцевые сечения (рис. 32)

3.71(3.21). Проверка прочности кольцевых сечений при соотношении внутреннего и наружного радиусов r₁/r₂ ≥ 0,5 с арматурой, равномерно распределенной по окружности (при числе продольных стержней не менее 6), производится следующим образом в зависимости от относительной площади сжатой зоны бетона

(121)

Рис. 32. Схема, принимаемая при расчете кольцевого сечения внецентренно-сжатого элемента

1 - сжатая зона

а) при 0,15 ≤ α_к ≤ 0,6 из условия

Ne₀ ≤ (R_прFr_ср + R_аF_а.кr_а) + R_аF_а.кr_а(1 - 1,7α_к)(0,2 + 1,3α_к); (122)

б) при α_к < 0,15 из условия

Ne₀ ≤ (R_прFr_ср + R_аF_а.кr_а) + 0,295R_аF_а.кr_а, (123)

где

(124)

в) при α_к > 0,6 из условия

Ne₀ ≤ (R_прFr_ср + R_аF_а.кr_а), (125)

где

(126)

В формулах (121) - (126):

F_а.к - площадь сечения всей продольной арматуры;

r_а - радиус окружности, проходящей через центры тяжести стержней продольной арматуры.

Эксцентрицитет продольной силы e₀ определяется с учетом прогиба элемента согласно п. 3.57 - 3.59.

3.72. Проверку прочности, а также определение необходимого количества продольной арматуры для кольцевых сечений, указанных в п. 3.71, при r_а ≈ r_ср допускается производить при помощи графиков на рис. 33, используя формулы:

Ne₀ ≤ A_0кR_прr_срF; (127)

(128)

где значения A_0к и α определяются по графику в зависимости от значений соответственно и , а также . При этом эксцентрицитет e₀ определяется с учетом прогиба элемента согласно п. 3.57 - 3.59.

Рис. 33. Графики несущей способности внецентренно-сжатых элементов кольцевого сечения

Круглые сечения (рис. 34)

3.73. Проверка прочности круглых сечений с арматурой, равномерно распределенной по окружности (при числе продольных стержней не менее 6), при марках бетона не более М 400 производится из условия

Ne₀ ≤ R_прFr + R_аF_а.кr_а, (129)

где r - радиус поперечного сечения;

α_к - относительная площадь сжатой зоны бетона, определяемая следующим образом.

Рис. 34. Схема, принимаемая при расчете круглого сечения внецентренно-сжатого элемента

1 - сжатая зона

При выполнении условия

N ≤ 0,77R_прF + 0,645R_аF_а.к (130)

из решения уравнения

(131)

При невыполнении условия (130) - из решения уравнения

(132)

k - коэффициент, учитывающий работу растянутой арматуры и принимаемый равным:

при выполнении условия (130) - k = 1,6(1 - 1,55α_к)α_к, но не более единицы, при невыполнении условия (130) - k = 0;

F_а.к - площадь сечения всей продольной арматуры;

r_а - радиус окружности, проходящей через центры тяжести стержней продольной арматуры.

Эксцентрицитет продольной силы e₀ определяется с учетом прогиба элемента согласно пп. 3.57 - 3.59.

3.74. Проверку прочности, а также определение необходимого количества продольной арматуры для круглых сечений, указанных в п. 3.73, допускается производить при помощи графиков на рис. 35, используя формулы:

Ne₀ ≤ A_0крR_прFr; (133)

(134)

где A_0кр и α определяются по графику в зависимости от значений соответственно: и , а также . При этом эксцентрицитет e₀ определяется с учетом прогиба элемента согласно пп. 3.57 - 3.59.

Рис. 35. Графики несущей способности внецентренно-сжатых элементов круглого сечения

Расчет элементов, работающих на косое внецентренное сжатие

3.75. Расчет нормальных сечений элементов, работающих на косое внецентренное сжатие, производится в общем случае согласно указаниям, приведенным в п. 3.78, определяя положение прямой, ограничивающей сжатую зону, при помощи последовательных приближений.

3.76. Расчет элементов прямоугольного сечения с симметричной арматурой на косое внецентренное сжатие допускается производить с помощью графиков, представленных на рис. 36.

Прочность сечения считается обеспеченной, если точки с координатами M_х/M_х⁰ M_у/M_у⁰ на графике, отвечающем параметру α, находятся внутри области, ограниченной кривой, отвечающей параметру n₁, и осями координат.

Значения M_х и M_у представляют собой изгибающие моменты от внешней нагрузки относительно центра тяжести сечения, действующие соответственно в плоскостях симметрии x и y. Влияние прогиба элемента учитывается путем умножения моментов M_х и M_у на коэффициенты η_х и η_у, определяемые соответственно для плоскостей x и y, согласно указаниям п. 3.57, при действующей продольной силе N.

Значения M_х⁰ и M_у⁰ представляют собой предельные изгибающие моменты, которые могут восприниматься сечением в плоскостях симметрии x и y с учетом действующей продольной силы N, приложенной в центре тяжести сечения.

Величины предельных моментов M_х⁰ и M_у⁰ представляют собой правые части условий (102) и (103) п. 3.65. При этом дискретно расположенные стержни арматуры заменяются распределенным армированием

F_ах = f_пх(p_х + 1) + (2f₀ - f_пх - f_пу)B/(1 + B); (135)

F_ау = Σf_а - F_а.х, (136)

где F_ах, F_ау - площади арматуры, расположенной у граней, нормальных осям симметрии x и y (рис. 37);

f_пх, f_пу - площадь каждого из промежуточных стержней, расположенных у граней, нормальных осям симметрии x и y;

p_х - число промежуточных стержней f_пх, расположенных по одной стороне сечения;

f₀ - площадь углового стержня;

h_х и h_у - высота сечения соответственно при внецентренном сжатии в плоскостях x и y;

Σf_а - площадь сечения всей продольной арматуры.

Рис. 36. Графики несущей способности элементов прямоугольного сечения с симметричной арматурой, работающих на косое внецентренное сжатие

Рис. 37. Обозначения, принятые при расчете на косое внецентренное сжатие прямоугольных сечений с симметрично расположенной арматурой

Параметры α и n₁ определяются из формул

3.77. Расчет элементов симметричного двутаврового сечения при b_п/b = 3 ÷ 5 и h_п/h = 0,15 ÷ 0,25 с симметричной арматурой, расположенной в полках сечения, на косое внецентренное сжатие допускается производить с помощью графиков несущей способности, представленных на рис. 38.

Расчет производится аналогично расчету, приведенному в п. 3.76 для элементов прямоугольного сечения.

Предельные моменты M_х⁰, которые могут восприниматься сечением в плоскости оси симметрии x, проходящей в ребре, представляют собой правую часть условия (115) п. 3.69, уменьшенную на N(h₀ - a')/2, а предельные моменты M_у⁰ во взаимно перпендикулярной плоскости симметрии y допускается определять как для прямоугольного сечения, составленного из двух полок, согласно п. 3.65.

Общий случай расчета нормальных сечений внецентренно-сжатого элемента

(при любых сечениях, внешних усилиях и любом армировании)

3.78(3.28). Расчет сечений внецентренно-сжатого элемента в общем случае (рис. 39) должен производиться из условия

N ≤ R_прS_б - Σσ_а_iS_а_i, (137)

где - расстояние от точки приложения продольной силы N до оси, параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону и проходящей через центр тяжести сечения растянутого стержня, наиболее удаленного от указанной прямой;

S_б - статический момент площади сжатой зоны бетона относительно указанной оси;

S_а_i - статический момент площади сечения i-го стержня продольной арматуры относительно указанной оси;

σ_а_i - напряжение в i-м стержне продольной арматуры.

Рис. 38. Графики несущей способности элементов симметричного двутаврового сечения, работающих на косое внецентренное сжатие

Высота сжатой зоны x и напряжения σ_а_i, кгс/см² определяются из совместного решения уравнений:

R_прF_б - Σσ_а_if_а_i - N = 0; (138)

(139)

В формулах (138) и (139):

f_а_i - площадь сечения i-го стержня продольной арматуры;

ξ_i - относительная высота сжатой зоны бетона, равная

ξ_i = x/h_0i,

где h₀_i - расстояние от оси, проходящей через центр тяжести сечения рассматриваемого i-го стержня арматуры и параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону, до наиболее удаленной точки сжатой зоны сечения (рис. 39);

ξ₀ - характеристика сжатой зоны бетона, определяемая по формуле (19) п. 3.15 или (90) п. 3.60;

σ_ε - см. п. 3.15.

Напряжения σ_а_i вводятся в расчетные формулы со своими знаками, полученными при расчете по формуле (139), при этом напряжения со знаком плюс означают растягивающие напряжения и принимаются не более R_а_i, а напряжения со знаком минус означают сжимающие напряжения и принимаются по абсолютной величине не более R_а.с.

Рис. 39. Схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси железобетонного элемента, в общем случае расчета по прочности

1-1 - плоскость, параллельная плоскости действия изгибающего момента, или плоскость, проходящая через точки приложения продольной силы и равнодействующих внутренних сжимающих и растягивающих усилий; А - точка приложения равнодействующих усилий в сжатой арматуре и в бетоне сжатой зоны; Б - точка приложения равнодействующей усилий в растянутой арматуре

Для определения положения границы сжатой зоны при косом внецентренном сжатии кроме использования формул (138) и (139) требуется соблюдение дополнительного условия, чтобы точки приложения внешней продольной силы, равнодействующей сжимающих усилий в бетоне и арматуре и равнодействующей усилий в растянутой арматуре лежали на одной прямой (рис. 39).

Если в сечении можно выявить характерную ось (например, оси симметрии или ось ребра Г-образного сечения), то при косом внецентренном сжатии вместо соблюдения вышеуказанного дополнительного условия рекомендуется вести расчет из двух условий: из условия (137), определяя значения , S_б и S_а_i относительно оси x, проходящей через наиболее растянутый стержень параллельно указанной характерной оси, и из того же условия (137), определяя значения , S_б и S_а_i относительно оси y, пересекающей под прямым углом ось x в центре тяжести наиболее растянутого стержня.

При этом положение прямой, ограничивающей сжатую зону, подбирают последовательными приближениями из уравнений (138) и (139), принимая угол наклона этой прямой γ постоянным и равным углу наклона нейтральной оси, определенному как для упругого материала.

Прочность сечения будет обеспечена лишь при соблюдении обоих условий. Если оба условия не соблюдаются, прочность не обеспечена и следует увеличить армирование, размеры сечения или повысить марку бетона. Если одно условие соблюдается, а другое не соблюдается, следует снова определить очертание сжатой зоны при другом угле γ и провести аналогичный расчет.

Примеры расчета

Внецентренно-сжатые элементы

Прямоугольные сечения с симметричной арматурой

Пример 21. Дано: колонна рамного каркаса с размерами сечения b = 40 см; h = 50 см; a = a' = 4 см; бетон марки М 300; арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²; E_а = 2·10⁶ кгс/см²) площадью сечения F_а = F'_а = 12,32 см² (2Æ28); продольные силы и изгибающие моменты: от постоянных и длительных нагрузок N_дл = 65 тс, M_дл = 14 тс·м; от ветровой нагрузки N_к = 5 тс, M_к = 7,3 тс·м; расчетная длина колонны l₀ = 6 м.

Требуется проверить прочность сечения колонны.

Расчет. h₀ = 50 - 4 = 46 см. Поскольку имеют место усилия от нагрузки малой суммарной длительности действия (ветровой), согласно п. 3.1, установим значения вводимого в расчет расчетного сопротивления бетона R_пр.

Усилия от всех нагрузок равны:

N = 65 + 5 = 70 тс; M = 14 + 7,3 = 21,3 тс·м.

Определим моменты внешних сил относительно растянутой арматуры от постоянных, длительных и кратковременных нагрузок, подсчитанных соответственно с учетом и без учета нагрузки малой суммарной длительности (ветровой):

M_II = M₁ = M + N(h₀ - a')/2 = 21,3 + 70(0,46 - 0,04)/2 = 36 тс·м;

M_I = M₁^дл = M_дл + N_дл(h₀ - a')/2 = 14 + 65(0,46 - 0,04)/2 = 27,65 тс·м.

Так как 0,77M_II = 0,77·36 = 27,7 тс·м > M_I = 27,65 тс·м, то производим расчет только по случаю «б» (см. п. 3.1), т.е. на действие всех нагрузок, принимая R_пр = 145 кгс/см² (при m_б1 = 1,1).

Так как l₀/h = 600/50 = 12 > 10, то расчет ведем с учетом прогиба колонны, согласно п. 3.57, вычисляя N_кр по формуле (81).

Для этого определим:

k_дл = 1 + M₁^дл/M₁ = 1 + 27,65/36 = 1,77;

e₀ = M/N = 2130/70 = 30,4 см > e₀^сл = h/30 (см. п. 3.53),

следовательно, случайный эксцентрицитет не учитываем.

Так как e₀/h = 30,4/50 = 0,608 > t_мин = 0,5 - 0,01λ - 0,001R_пр = 0,5 - 0,01·12 - 0,001·145 = 0,235, то принимаем t = e₀/h = 0,608.

Коэффициент η определяем по формуле (79):

Значение e равно

e = e₀η + (h₀ - a')/2 = 30,4·1,12 + 0,5(46 - 4) = 55 см.

Определяем высоту сжатой зоны x по формуле (92):

x = N/(R_прb) = 70000/(145·40) = 12,07 см;

ξ_R = 0,572 (см. табл. 17).

Так как x = 12,07 см < ξ_Rh₀ = 0,572·46 = 26,3 см, то прочность сечения проверяем из условия (93).

R_прbx(h₀ - 0,5x) + R_а.сF'_а(h₀ - a') = 145·40·12,07(46 - 0,5·12,07) + 3400·12,32(46 - 4) = 45,7 тс·м > Ne = 70·0,55 = 38,5 тс·м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 22. Дано: колонна связевого каркаса с размерами сечения b = 40 см; h = 50 см и длиной 6 м; a = a' = 4 см; бетон марки М 300 (E_б = 2,6·10⁵ кгс/см²); арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см², E_а = 2·10⁶ кгс/см²) площадью сечения F_а = F'_а = 12,32 см² (2Æ28); расчетные продольная сила и изгибающий момент в опорном сечении от постоянных и длительных нагрузок N = 200 тс, M = 18 тс·м, прочие нагрузки не учитываются.

Требуется проверить прочность опорного сечения.

Расчет. h₀ = 50 - 4 = 46 см. Поскольку нагрузки малой суммарной длительности действия отсутствуют, согласно п. 3.1, принимаем R_пр = 115 кгс/см² (т.е. при m_б1 = 0,85).

Согласно п. 3.58, для опорного сечения колонны связевого каркаса принимаем η = 1.

Определяем величину случайного эксцентрицитета согласно п. 3.53:

e₀^сл = h/30 = 50/30 = 1,7 см > l/600 = 600/600 = 1 см;

e₀ = M/N = 1800/200 = 9 см > e₀^сл = 1,7 см.

Следовательно, случайный эксцентрицитет не учитываем.

Значение e равно

e = e₀ + (h₀ - a')/2 = 9 + (46 - 4)/2 = 30 см.

Определяем высоту сжатой зоны x по формуле (92):

x = N/(R_прb) = 200000/(115·40) = 43,5 см.

Из табл. 17 находим ξ_R = 0,625.

Так как x = 43,5 см > ξ_Rh₀ = 0,625·46 = 28,8 см, то значение x вычисляем согласно указаниям п. 3.63 «б»:

откуда x = ξh₀·= 0,781·46 = 35,9 см.

Проверяем прочность сечения из условия (93):

R_прbx(h₀ - 0,5x) + R_а.сF'_а(h₀ - a') = 115·40·35,9(46 - 0,5·35,9) + 3400·12,32(46 - 4) = 6390000 кгс·см = 63,9 тс·м > Ne = 200·0,3 = 60 тс·м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 23. Дано: размеры сечения элемента b = 40 см; h = 50 см; a = a' = 4 см; бетон марки М 300 (E_б = 2,6·10⁵ кгс/см²); арматура симметричная класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см², E_а = 2·10^б кгс/см²); продольные силы и изгибающие моменты: от длительных и постоянных нагрузок N_дл = 60 тс, M_дл = 17 тс·м; от ветровых нагрузок N_к = 20 тс, M_к = 11 тс·м; расчетная длина l₀ = 8 м.

Требуется определить площадь сечения арматуры.

Расчет. h₀ = 50 - 4 = 46 см. Поскольку имеет место усилие от ветровой нагрузки, проверим условие (1) п. 3.1. Для этого вычислим:

M_I = M₁^дл = M_дл + N_дл(h₀ - a')/2 = 17 + 60(0,46 - 0,04)/2 = 29,6 тс·м;

M = M_дл + M_к = 17 + 11 = 28 тс·м;

N = N_дл + N_к = 60 + 20 = 80 тс;

M_II = M₁ = M + N(h₀ - a')/2 = 28 + 80(0,46 - 0,04)/2 = 44,8 тс·м;

Так как 0,77M_II = 0,77·44,8 = 34,5 тс·м > M_I = 29,6 тс·м, то расчет производим только по случаю «б», т.е. на действие всех нагрузок, принимая R_пр = 145 кгс/см² (при m_б1 = 1,1).

Так как l₀/h = 8/0,5 = 16 > 10, расчет ведем с учетом прогиба элемента, согласно п. 3.57, вычисляя N_кр по формуле (81).

Для этого определим:

k_дл = 1 + M₁^дл/M₁ = 1 + 29,6/44,8 = 1,66;

e₀ = M/N = 2800/80 = 35 см > e₀^сл = h/30 (см. п. 3.53).

Так как e₀/h = 35/50 = 0,7 > t_мин = 0,5 - 0,01l₀/h - 0,001R_пр, принимаем t = e₀/h = 0,7.

В первом приближении принимаем μ = 0,01,

n = E_а/E_б = 20·10⁵/2,6·10⁵ = 7,7.

Тогда

= 325·10⁴(0,0477 + 0,0543) = 332 тс.

Коэффициент η равен

Значение e с учетом прогиба элемента равно:

e = e₀η + (h₀ - a')/2 = 35·1,32 + 0,5(46 - 4) = 67,1 см.

Необходимое армирование определяем согласно п. 3.64. Вычисляем значение:

δ = a'/h₀ = 4/46 = 0,087.

Из табл. 17 находим ξ_R = 0,572.

Так как , значение F_а = F'_а определяем по формуле (97):

откуда μ = (F_а + F'_а)/(bh) = 2·15,67/(40·50) = 0,0157 > 0,01.

Поскольку полученное армирование существенно превышает армирование, принятое при определении N_кр (μ = 0,01), значение F_а = 15,67 см² определено с «запасом» и его можно несколько уменьшить, уточнив значение μ.

Принимаем μ = (0,01 + 0,0157)/2 = 0,0128 и снова аналогично вычисляем значение F_а = F'_а:

e = 35·1,265 + 21 = 65,3 см;

Окончательно принимаем F_а = F'_а = 14,73 см² (3Æ25).

Пример 24. Дано: колонна многоэтажного рамного симметричного каркаса с размерами сечения b = 40 см; h = 50 см; a = a' = 4 см; бетон марки М 300 (E_б = 2,6·10⁵ кгс/см²); арматура симметричная класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см², E_а = 2·10⁶ кгс/см²); продольные силы и изгибающие моменты в опорном сечении колонны: от постоянных и длительных нагрузок на перекрытиях N_дл = 220 тс, M_дл = 25,9 тс·м; от ветровых нагрузок N_к = 0, M_к = 5,34 тс·м; кратковременные нагрузки на перекрытиях отсутствуют; расчетная длина колонны l₀ = 6 м.

Требуется определить площадь сечения арматуры.

Расчет. h₀ = h - a = 50 - 4 = 46 см. Поскольку имеет место усилие от ветровой нагрузки, проверим условие (1) п. 3.1. Для этого вычислим:

M_I = M₁^дл = M_дл + N_дл(h₀ - a')/2 = 25,9 + 220(0,46 - 0,04)/2 = 72,1 тс·м;

M = M_дл + M_к = 25,9 + 5,34 = 32,24 тс·м;

N = N_дл = 220 тс;

M_II = M₁ = M + N(h₀ - a')/2 = 32,24 + 220(0,46 - 0,04)/2 = 78,44 тс·м.

Так как 0,77M_II = 0,77·78,44 = 60,4 тс·м < M_I = 72,1 тс·м, условие (1) не выполняется и расчет производим дважды: по случаю «а» - на действие длительных и постоянных нагрузок при R_пр = 115 кгс/см² (т.е. при m_б1 = 0,85) и по случаю «б» - на действие всех нагрузок при R_пр = 145 кгс/см² (т.е. при m_б1 = 1,1).

Расчет по случаю «а».

Так как l₀/h = 600/50 = 12 > 4, согласно п. 3.57, следует учитывать прогиб колонны. Однако, согласно п. 3.58, для колонн многоэтажных симметричных рам со всеми жесткими узлами коэффициент η_в, вводимый на момент M_в от нагрузок на перекрытиях, принимается равным единице, а момент M_г = M_к от ветровых нагрузок в данном расчете не учитывается. Поэтому расчетный момент равен

M = M_вη_в = 25,9 тс·м.

Расчетная продольная сила равна N = N_дл = 220 тс, отсюда

e₀ = M/N = 2590/220 = 11,8 см > e₀^сл = h/30 = 50/30 = 1,67 см.

Оставляем e₀ = 11,8 см.

По формуле (96) определяем значение

e = e₀ + (h₀ - a')/2 = 11,8 + (46 - 4)/2 = 32,8 см.

Необходимое армирование определяем согласно п. 3.64.

Вычисляем значения:

δ = a'/h₀ = 4/46 = 0,087.

Из табл. 17 находим ξ_R = 0,625.

Так как , значение F_а = F'_а определяем по формуле (98). Для этого по формулам (99) и (94) вычисляем значения α и ξ:

Отсюда

Расчет по случаю «б».

Согласно п. 3.57 определим коэффициент η, задаваясь армированием, полученным из расчета по случаю «а», т.е.

μ = 2F_а/(bh) = 2·17,8/(40·50) = 0,0178;

k_дл = 1 + M₁^дл/M₁ = 1 + 72,1/78,44 = 1,92;

e₀ = M/N = 3224/220 = 14,65 см.

Так как e₀/h = 14,65/50 = 0,293 > t_мин = 0,5 - 0,01l₀/h - 0,001R_пр = 0,5 - 0,01·12 - 0,001·145 = 0,235, принимаем

t = e₀/h = 0,293.

По формуле (81) определим N_кр:

Отсюда коэффициент η равен

Согласно п. 3.58, коэффициент η = η_г = 1,31 умножается на момент от ветровых нагрузок M_к = M_г, а коэффициент η_в = 1, поэтому момент с учетом прогиба колонны равен

M = M_вη_в + M_гη_г = 25,9 + 5,34·1,31 = 32,9 тс·м.

Необходимое армирование определяем согласно п. 3.64 аналогично расчету по случаю «а», принимая R_пр = 145 кгс/см²:

e = e₀ + (h₀ - a')/2 = 3290/220 + (46 - 4)/2 = 36 см;

Из табл. 17 находим ξ_R = 0,572.

Так как , значение F_а = F'_а определяем по формуле (98):

отсюда

Окончательно принимаем F_а = 18,47 см² (3Æ28) > 17,80 см².

Пример 25. По данным примера 23 надо определить требуемую площадь арматуры, используя график на рис. 29.

Расчет. В соответствии с примером 23, имеем N = 80 тс; M = 28 тс·м;

λ = l₀/h = 16; M₁^дл/M₁ = 29,6/44,8 = 0,66.

Определяем значения и :

По графику на рис. 29,в при = 0,3; = 0,228 и λ = 15 находим α = 0,176.

По графику рис. 29,г при = 0,3; = 0,228 и λ = 20 находим α = 0,22.

Значение α, соответствующее λ = 16, находим линейной интерполяцией:

α = 0,176 + (0,22 - 0,176)(16 - 15)/(20 - 15) = 0,185.

Отсюда площадь сечения арматуры равна

Принимаем F_а = F'_а = 14,73 см² (3Æ25).

Пример 26. Дано: размеры сечения элемента b = 40 см; h = 60 см; бетон марки М 300 (R_пр = 145 кгс/см² с учетом m_б1 = 1,1; E_б = 2,6·10⁵ кгс/см²); арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 6400 кгс/см², E_а = 2·10⁶ кгс/см²) расположена в сечении, как показано на рис. 40; продольные силы и изгибающие моменты: от всех нагрузок N = 50 тс, M = 50 тс·м; от постоянных и длительных нагрузок N_дл = 35 тс, M_дл = 35 тс·м; расчетная длина l₀ = 10 м.

Рис. 40. К примеру расчета 26

Требуется проверить прочность сечения.

Расчет. Расчет ведем согласно п. 3.65.

Принимая f_п.и = 4,91 см² (1Æ25); p_и = 2 и Σf_а = 68,9 см² (8Æ28 + 4Æ25), находим площади арматуры F_а.и и F_а.п:

F_а.и = f_п.и(p_и + 1) = 4,91(2 + 1) = 14,73 см²;

F_а.п = Σf_а/2 - F_а.и = 68,9/2 - 14,73 = 19,72 см².

Из рис. 40 имеем a₁ = 4,5 см. Тогда

δ₁ = a₁/h = 4,5/60 = 0,075.

Так как l₀/h = 10/0,6 = 16,7 > 10, расчет ведем с учетом прогиба элемента, согласно п. 3.57, вычисляя значение N_кр по формуле (81). Для этого определим:

e₀ = M/N = 5000/50 = 100 см.

Так как e₀/h = 100/60 = 1,67 > t_мин = 0,5 - 0,01l₀/h - 0,001R_пр, принимаем t = e₀/h = 1,67.

Значение определяем как для сечений с распределенной арматурой согласно п. 3.57, т.е.

отсюда

Коэффициент η равен

Определяем величины:

Из табл. 17 находим ξ₀ = 0,734 и ξ_R = 0,572.

Так как

прочность сечения проверяем из условия (102):

ξ₁ = ξ/ξ₀ = 0,25/0,734 = 0,34;

R_прbh²[0,5ξ(1 - ξ) + α_и(ξ₁ - δ₁)(1 - ξ₁ - δ₁) - 0,05α_иξ₁² + α_п(1 - 2δ₁)] = 145·40·60² [0,5·0,25(1 - 0,25) + 0,34(0,34 - 0,075)(1 - 0,34 - 0,075) - 0,05·0,34·0,34² + 0,193(1 - 2·0,075)] = 64,4 тс·м > Ne₀η = 50·1·1,11 = 55,5 тс·м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 27. Дано: размеры сечения колонны b = 60 см; h = 150 см; бетон марки М 400 (R_пр = 190 кгс/см² с учетом m_б1 = 1,1, E_б = 3·10⁵ кгс/см²); арматура класса А-III (R_а = 3400 кгс/см², E_а = 2·10⁶ кгс/см²) расположена в сечении, как показано на рис. 41; продольные силы и изгибающие моменты, определенные из расчета рамы по деформированной схеме: от всех нагрузок N = 1200 тс, M = 500 тс·м; от постоянных и длительных нагрузок N_дл = 850 тс, M_дл = 280 тс·м; расчетная длина в плоскости изгиба l₀ = 18 м, из плоскости изгиба l₀ = 12 м; фактическая длина колонны l = 12 м.

Требуется проверить прочность сечения.

Рис. 41. К примеру расчета 27

Расчет в плоскости изгиба

Расчет ведем согласно п. 3.65.

Принимая f_п.и = 6,158 см² (1Æ28); p_и = 5 и Σf_а = 174,17 см² (14Æ32 + 10Æ28), находим площади арматуры F_а.п и F_а.и:

F_а.и = f_п.и(p_и + 1) = 6,158(5 + 1) = 36,95 см²;

F_а.п = Σf_а/2 - F_а.и = 174,17/2 - 36,95 = 50,13 см².

Центр тяжести арматуры, расположенной у растянутой грани (7Æ32), отстоит от этой грани на расстоянии

a₁ = (5·5 + 2(5 + 10))/(5 + 2) = 7,9 см.

Тогда

δ₁ = a₁/h = 7,9/150 = 0,053.

Определяем величины:

Из табл. 17 находим ξ₀ = 0,698 и ξ_R = 0,532.

Так как

прочность сечения проверяем из условия (103). Для этого вычисляем:

ξ₁_R = ξ_R/ξ₀ = 0,532/0,698 = 0,762;

n_гр = ξ_R + α_и(2ξ₁_R - 1) = 0,532 + 0,164(2·0,762 - 1) = 0,618;

m_гр = 0,5ξ_R(1 - ξ_R) + α_и(ξ₁_R - δ₁)(1 - ξ₁_R - δ₁) - 0,05α_иξ²₁_R + α_п(1 - 2δ₁) = 0,5·0,532(1 - 0,532) + 0,164(0,762 - 0,053)(1 - 0,762 - 0,053) - 0,05·0,164·0,762² + 0,1(1 - 2·0,053) = 0,230;

R_прbh²m_гр(n_ц - n₁)/(n_ц - n_гр) = 190·60·150²·0,230(1,346 - 0,702)/(1,346 - 0,618) = 523 тс·м > M = 500 тс·м,

т.е. прочность сечения в плоскости изгиба обеспечена.

Расчет из плоскости изгиба

Так как расчетная длина из плоскости изгиба l₀ = 12 м и отношение l₀/b = 12/0,6 = 20 значительно превышает отношение l₀/h = 18/1,5 = 12, соответствующее расчету колонны в плоскости изгиба, согласно п. 3.65 следует рассчитать колонну из плоскости изгиба, принимая эксцентрицитет e₀ равным случайному эксцентрицитету e₀^сл. При этом за высоту сечения принимаем его размер из плоскости изгиба, т.е. h = 60 см.

Поскольку фактическая длина колонны l = 12 м = 20h = 20·0,6 = 12 м, производим расчет согласно п. 3.66.

Площадь сечения промежуточных стержней, расположенных по коротким сторонам, равна F_а.пр = 48,26 см² (6Æ32).

Поскольку Σf_а/3 = 174,14/3 = 58 см² > F_а.пр = 48,76 см², в расчете используем табл. 23 (А). Из табл. 23 и 22 при N_дл/N = 850/1200 = 0,708 и l₀/h = 20 находим φ_ж = 0,77 и φ_б = 0,674.

Значение α равно

По формуле (105) определяем коэффициент φ:

φ = φ_б + 2(φ_ж - φ_б)α = 0,674 + 2(0,77 - 0,674)0,346 = 0,74 < φ_ж = 0,77.

Поскольку h = 60 см > 20 см, принимаем m = 1.

Проверяем условие (104):

mφ(R_прF + R_аΣf_а)= 1·0,74(190·60·150 + 3400·174,17) = 1700 тс > N = 1200 тс,

т.е. прочность сечения из плоскости изгиба обеспечена.

Пример 28. Дано: колонна с размерами сечения 40 × 40 см; расчетная длина, равная фактической, l = l₀ = 6 м; бетон марки М 300 (R_пр = 115 кгс/см² при m_б1 = 0,85); продольная арматура класса А-III (R_а.с = 3400 кгс/см²); центрально приложенные продольные силы: от постоянных и длительных нагрузок N_дл = 180 тс, от кратковременной нагрузки N_к = 20 тс.

Требуется определить площадь сечения продольной арматуры.

Расчет. Согласно п. 3.53 расчет производим с учетом случайного эксцентрицитета e₀^сл.

Поскольку l = 6 м < 20h = 20·0,4 = 8 м, расчет производим согласно п. 3.66.

N = N_дл + N_к = 180 + 20 = 200 тс.

Из табл. 23 и 22 при

N_дл/N = 180/200 = 0,9; l₀/h = 6/0,4 = 15

и предполагая отсутствие промежуточных стержней, находим φ_ж = 0,858 и φ_б = 0,8.

Поскольку h = 40 см > 20 см, m = 1. Принимая в первом приближении φ = φ_ж, из условия (104) находим значение R_аΣf_а:

R_аΣf_а = N/(mφ) - R_прF = 200000/(1·0,858) - 115·1600 = 233 - 184 = 49 тс.

Отсюда

Поскольку α < 0,5, уточняем значение φ, вычисляя его по формуле (105):

φ = φ_б + 2(φ_ж - φ_б)α = 0,8 + 2(0,858 - 0,8)0,266 = 0,831.

Аналогично определяем:

R_аΣf_а = 200000/0,831 - 115·1600 = 56,5 тс.

Полученное значение R_аΣf_а близко к принятому в первом приближении, поэтому суммарную площадь сечения арматуры принимаем равной:

Σf_а = 56500/3400 = 16,6 см².

Окончательно принимаем Σf_а = 19,64 см² (4Æ25).

Прямоугольные сечения с несимметричной арматурой

Пример 29. Дано: размеры сечения элемента b = 40 см; h = 50 см; a = a' = 4 см; бетон марки М 300 (R_пр = 145 кгс/см² с учетом m_б1 = 1,1; E_б = 2,6·10⁵ кгс/см²); арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²) площадью сечения F_а = 24,63 см² (4Æ28) и F'_а = 12,32 см² (2Æ28); продольные силы и изгибающие моменты: от постоянных и длительных нагрузок;N_дл = 60 тс, M_дл = 16,5 тс·м; от кратковременной нагрузки N_к = 10 тс, M_к = 19 тс·м; расчетная длина l₀ = 8 м.

Требуется проверить прочность сечения.

Расчет. h₀ = 50 - 4 = 46 см;

M = M_дл + M_к = 16,5 + 19 = 35,5 тс·м;

N = N_дл + N_к = 60 + 10 = 70 тс.

Так как l₀/h = 8/0,5 = 16 > 10, расчет ведем с учетом прогиба элемента, согласно п. 3.53, вычисляя величину N_кр по формуле (81). Для этого вычисляем:

e₀ = M/N = 3550000/70000 = 50,7 см.

Так как

e₀/h = 50,7/50 = 1,01 > t_мин = 0,5 - 0,01l₀/h - 0,001R_пр, принимаем t = e₀/h = 1,01. Тогда

Коэффициент η определяем по формуле (79):

e = e₀η + (h₀ - a')/2 = 50,7·1,18 + (46 - 4)/2 = 80,8 см.

Прочность сечения проверяем согласно указаниям пп. 3.63 и 3.67.

Вычисляем высоту сжатой зоны x по формуле (92а):

ξ_R = 0,572 (см. табл. 17).

Так как x = 19,3 см < ξ_Rh₀ = 0,572·46 = 26,3 см, прочность сечения проверяется из условия (93):

R_прbx(h₀ - 0,5x) + R_а.сF^'_а(h₀ - a') = 145·40·19,3(46 - 0,5·19,3) + 3400·12,32(46 - 4) = 58,3 тс·м > Ne = 70·0,808 = 56,5 тс·м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Пример 30. Дано: размеры сечения элемента b = 40 см; h = 50 см; a = a' = 4 см; бетон марки М 300 (R_пр = 115 кгс/см² с учетом m_б1 = 0,85; E_б = 2,6·10⁵ кгс/см²); арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²); продольная сила N = 80 тс, ее эксцентрицитет относительно центра тяжести бетонного сечения, определенный из статического расчета по недеформированной схеме, e₀ = 50 см; расчетная длина l₀ = 4,8 см.

Требуется определить площади сечения арматуры A и A'.

Расчет. h₀ = 50 - 4 = 46 см.

Так как 4 < l₀/h = 4,8/0,5 = 9,6 < 10, расчет ведем с учетом прогиба элемента, согласно п. 3.53, принимая значение N_кр равным

N_кр = 0,15E_бF/(l₀/h)² = 0,15·2,6·10⁵·40·50/9,6² = 846 тс.

Коэффициент η вычисляем по формуле (79):

Значение e, с учетом прогиба элемента, равно:

e = e₀η + (h₀ - a')/2 = 50·1,104 + (46 - 4)/2 = 76,2 см.

Требуемую площадь сечения арматуры A и A' определяем по формулам (106) и (107):

Принимаем: F'_а = 16,09 см² (2Æ32); F_а = 28,4 см² (2Æ36 + 1Æ32).

Двутавровые сечения

Пример 31. Дано: размеры сечения и расположение арматуры - по рис. 42; бетон марки М 400 (E_б = 3·10⁵ кгс/см², R_пр = 190 кгс/см² с учетом m_б1 = 1,1); арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²) площадью поперечного сечения F_а = F'_а = 56,3 см² (7Æ32); продольные силы и изгибающие моменты: от постоянных и длительных нагрузок N_дл = 200 тс, M_дл = 246 тс·м, от всех нагрузок N = 250 тс, M = 370 тс·м, расчетные длины элемента: в плоскости изгиба - l₀ = 16,2 м, из плоскости изгиба l₀ = 10,8 м; фактическая длина элемента l = 10,8 м.

Требуется проверить прочность сечения.

Рис. 42. К примерам расчета 31, 32 и 37

Расчет в плоскости изгиба

Принимаем расчетную толщину полки h'_п равной средней высоте свесов

h'_п = h_п = 20 + 3/2 = 21,5 см.

Вычисляем площадь и момент инерции бетонного сечения:

F = 20·150 + 2·40·21,5 = 4720 см²;

Радиус инерции сечения равен

Так как l₀/r = 1620/52 = 31,1 < 35, но больше 14, расчет ведем с учетом прогиба элемента, согласно п. 3.57, принимая значение N_кр равным

Коэффициент η определяем по формуле (79):

Центр тяжести площади арматуры F_а и F'_а отстоят от ближайшей грани на расстоянии

a = a' = (5·5 + 2·15)/(5 + 2) = 7,9 см.

откуда h₀ = h - a = 150 - 7,9 = 142,1 см.

Значение e с учетом прогиба элемента равно

e = e₀η + (h₀ - a')/2 = (37000/250)1,093 + (142,1 - 7,9)/2 = 228,9 см.

Проверяем условие (114):

R_прb'_пh'_п = 190·60·21,5 = 245,1 тс < N = 250 тс,

т.е. расчет ведем как для двутаврового сечения.

Площадь сжатых свесов полки равна

F_св = (b'_п - b)h'_п = (60 - 20)21,5 = 860 см².

Определяем высоту сжатой зоны:

Из табл. 17 находим ξ_R = 0,532.

Так как x = 22,8 см < ξ_R/h₀ = 0,532·142,1 = 75,6 см, прочность сечения проверяем из условия (115):

R_прbх(h₀ - x/2) + R_прF_св(h₀ - h_п'/2) + R_а.сF'_а(h₀ - a') = 190·20·22,8(142,1 - 22,8/2) + 190·860(142,1 - 21,5/2) + 3400·56,3(142,1 - 7,9) = 584,7 тс·м > Ne = 250·2,29 = 572,5 тс·м,

т.е. прочность сечения в плоскости изгиба обеспечена.

Расчет из плоскости изгиба

Определяем радиус инерции из плоскости изгиба.

Так как гибкость из плоскости изгиба l₀/r = 1070/13,4 = 80 значительно превышает гибкость в плоскости изгиба l₀/r = 31,1, согласно п. 3.54, проверяем прочность сечения из плоскости изгиба, принимая эксцентрицитет e₀ равным случайному эксцентрицитету e₀^сл. Высота сечения при этом равна h = 60 см. Поскольку фактическая длина колонны l = 10,8 м < 20h = 20·0,6 = 12 м, расчет можно производить, согласно п. 3.66, как для прямоугольного сечения, не учитывая «в запас» сечение ребра, т.е. принимая b = 2·21,5 = 43 см.

Площадь сечения промежуточных стержней, расположенных вдоль обеих полок, равна F_а.пр = 48,26 см² (6Æ32), а площадь сечения всех стержней Σf_а = 112,6 см².

Поскольку Σf_а/3 = 112,6/3 = 37,5 см² < F_а.пр = 48,26 см², в расчете используем табл. 23 (Б). Из табл. 23 при N_дл/N = 200/250 = 0,8 и l₀/h = 10,8/0,6 = 18 находим φ_ж = 0,724.

Значение α равно

Следовательно, φ = φ_ж = 0,724.

Поскольку h = 60 см > 20 см, принимаем m = 1.

Проверяем условие (104):

mφ(R_прF + R_а.сΣf_а) = 1·0,724(190·43·60 + 3400·112,6) = 632 тс > N = 250 тс,

т.е. прочность сечения из плоскости изгиба обеспечена.

Пример 32. Дано: размеры сечения и расположение арматуры - по рис. 42; бетон марки М 400 (R_пр = 190 кгс/см² с учетом m_б1 = 1,1; E_б = 3·10⁵ кгс/см²); арматура симметричная класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²); продольная сила N = 600 тс, изгибающий момент M = 310 тс·м; расчетная длина элемента в плоскости изгиба l₀ = 16,2 м, из плоскости изгиба l₀ = 10,8 м.

Требуется определить площадь сечения арматуры.

Расчет в плоскости изгиба

Из примера 31 имеем: h'_п = 21,5 см; h₀ = 142,1 см; a' = 7,9 см; N_кр = 2924 тс.

По формуле (79) определяем коэффициент η

Значение e, с учетом прогиба элемента, равно

e = e₀η + (h₀ - a')/2 = (M/N)η + (h₀ - a')/2 = (31000/600)1,26 + (142,1 - 7,9)/2 = 132,1 см.

Проверяем условие (114):

R_прb'_пh'_п = 190·60·21,5 = 245,1 тс < N = 600 тс,

т.е. расчет ведем как для двутаврового сечения.

Площадь сжатых свесов полки равна

F_св = (b'_п - b)h'_п = (60 - 20)21,5 = 860 см².

Определяем значения , m, α_св, A_св и δ:

δ = a'/h₀ = 7,9/142,1 = 0,055;

Из табл. 17 находим ξ_R = 0,532.

Так как ξ = - α_св = 1,111 - 0,302 = 0,809 > ξ_R = 0,532, площадь арматуры определяем по формуле (119). Для этого по формулам (120) и (116) вычисляем значения α и ξ₁:

Из табл. 17 находим s = 3,22 и ξ₀ = 0,698.

Отсюда

Принимаем F_а = 56,3 см² (7Æ32).

Расчет из плоскости изгиба производим аналогично примеру 31.

Кольцевые сечения

Пример 33. Дано: внутренний радиус сечения r₁ = 15 см; наружный радиус r₂ = 25 см; бетон марки М 300 (R_пр = 145 кгс/см² при m_б1 = 1,1); продольная арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²) площадью сечения F_а.к = 14,7 см² (13Æ12); продольная сила от полной нагрузки N = 120 тс, ее эксцентрицитет относительно центра тяжести сечения, с учетом прогиба элемента, равен e₀ = 12 см.

Требуется проверить прочность сечения.

Расчет. Вычисляем площадь кольцевого сечения:

F = π(r₂² - r₁²) = 3,14(25² - 15²) = 1256 см².

Относительная площадь сжатой зоны бетона равна

r_а = r_ср = (r₁ + r₂)/2 = (15 + 25)/2 = 20 см.

Так как 0,15 < α_к = 0,536 < 0,6, прочность сечения проверяем из условия (122):

Ne₀ = 120·0,12 = 14,4 тс·м < (R_прFr_ср + R_аF_а.кr_а) + R_аF_а.кr_а(1 - 1,7α_к)(0,2 + 1,3α_к) = = (145·1256·20 + 3400·14,7·20) + 3400·14,7·20(1 - 1,7·0,536)(0,2 + 1,3·0,536) = 15,5 тс·м,

т.е. прочность сечения обеспечена.

Круглые сечения

Пример 34. Дано: диаметр сечения D = 40 см; a = 3,5 см; расчетная длина l₀ = 4 м; бетон марки М 300 (R_пр = 115 кгс/см² при m_б1 = 0,85; E_б = 2,6·10⁵ кгс/см²); продольная арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²) площадью сечения F_а.к = 31,4 см² (10Æ20); продольные силы и изгибающие моменты: от постоянных и длительных нагрузок N_дл = 40 тс, M_дл = 10 тс·м; от всех нагрузок N = 60 тс, M = 14 тс·м.

Требуется проверить прочность сечения.

Расчет. Вычисляем площадь круглого сечения:

F = πD²/4 = 3,14·40²/4 = 1256 см².

Радиус инерции сечения

r_и = D/4 = 40/4 = 10 см.

Гибкость элемента

l/r_и = 400/10 = 40 > 14,

следовательно, расчет производим с учетом влияния прогиба элемента, согласно п. 3.57, а значение N_кр определяем по формуле (80). Для этого вычисляем:

r_а = D/2 - a = 40/2 - 3,5 = 16,5 см;

e₀ = M/N = 1400/60 = 23,3 см.

Так как

e₀/D = 23,3/40 = 0,583 > t_мин = 0,5 - 0,01l₀/D - 0,001R_пр,

принимаем t = e₀/D = 0,583.

Моменты инерции бетонного сечения и всей арматуры соответственно равны:

I = πD⁴/64 = 3,14·40⁴/64 = 125600 см⁴;

I_а = F_а_._кr_а²/2 = 31,4·16,5²/2 = 4274 см⁴;

n = E_а/E_б = 2·10⁶/2,6·10⁵ = 7,69.

Тогда

Коэффициент η определяем по формуле (79):

Прочность сечения проверим с помощью графика на рис. 35.

По значениям n₁ = N/(R_прF) = 60000/(115·1256) = 0,415;

и a/D = 3,5/40 = 0,0875

на графике находим A_0кр = 0,55.

Поскольку

A_0крR_прFr = 0,55·115·1256·20 = 15,9 тс·м > Ne₀η = 60·0,233·1,124 = 15,7 тс·м,

то прочность сечения обеспечена.

Пример 35. По данным примера 34 подобрать необходимое количество продольной арматуры, пользуясь графиком на рис. 35.

Расчет. Из примера 34 имеем:

r_и = 10 см; F = 1256 см².

Поскольку l₀/r_и = 400/10 = 40 > 35, арматуру подбираем с учетом влияния прогиба элемента, вычисляя значение N_кр по формуле (80).

В первом приближении принимаем

F_а.к = 0,01F = 12,56 см²,

откуда I_а = F_а.кr_а²/2 = 12,56·16,5²/2 = 1710 см⁴

(r_а = D/2 - a = 20 - 3,5 = 16,5 см).

Из примера 34 имеем: k_дл = 1,695; t = 0,583; l = 125600 см⁴.

Тогда

Значение коэффициента η равно

По значениям

и a/D = 3,5/40 ≈ 0,1 на графике рис. 35 находим α = 0,9. Откуда

F_а.к = αR_прF/R_а = 0,9·115·1256/3400 = 38,23 см².

Поскольку полученное армирование существенно превышает принятое в первом приближении (F_а.к = 12,56 см²), значение F_а.к = 38,23 см² определено с запасом и его можно несколько уменьшить, уточнив значение N_кр.

Принимаем F_а.к = (12,56 + 38,23)/2 = 25,4 см² и снова проведем аналогичный расчет:

I_а = 25,4·16,5²/2 = 3457 см⁴;

N_кр = 10,4(19350 + 7,69·3457) = 478 тс;

По значениям A_0кр = 0,589·1,144/1,217 = 0,554; n₁ = 0,415 и a/D = 0,1 на графике рис. 35 находим α = 0,81;

F_а.к = 0,81·115·1256/3400 = 34,4 см².

Принимаем F_а.к = 34,6 см² (11Æ20).

Расчет элементов, работающих на косое внецентренное сжатие

Пример 36. Дано: размеры прямоугольного сечения колонны b = 40 см; h = 60 см; бетон марки М 300 (R_пр = 145 кгс/см² при учете m_б1 = 1,1); продольная арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²) расположена в сечении согласно рис. 43; в сечении одновременно действуют продольная сила N = 260 тс и изгибающие моменты в плоскости, параллельной размеру h, - M_х = 24 тс·м и в плоскости, параллельной размеру b, - M_у = 18,25 тс·м; моменты M_х и M_у даны с учетом прогиба колонны.

Требуется проверить прочность сечения.

Расчет. Проверку прочности производим согласно п. 3.76.

Ось симметрии, параллельную размеру h, обозначим x, а другую ось симметрии - y.

Определим предельные моменты M_х⁰ и M_у⁰. Для этого вычисляем распределенное армирование F_а_х и F_ау. Из рис. 43 имеем: f_пх = 0; p_х = 0; f₀ = 8,043 см² (Æ32); f_п_у = 3,142 см² (Æ20);

Рис. 43. К примеру расчета 36 и 38

I - граница сжатой зоны в первом приближении; II - окончательная граница сжатой зоны

F_а_х = f_п_х(p_х + 1) + (2f₀ - f_п_х - f_п_у)B/(1 + B) = (2·8,043 - 3,142)0,877/(1 + 0,877) = 6,05 см²;

Σf_а = 38,45 см² (4Æ32 + 2Æ20);

F_ау = Σf_а/2 - F_а_х = 38,45/2 - 6,05 = 13,18 см².

При определении, согласно п. 3.65, момента M_х⁰, действующего в плоскости оси x, принимаем:

F_а.и = F_ау = 13,18 см²; F_а.п = F_ах = 6,05 см²;

h = 60 см; b = 40 см;

δ₁ = a₁/h = 5/60 = 0,083; R_прbh = 145·40·60 = 348000 кгс;

Из табл. 17 находим ξ₀ = 0,734 ξ_R = 0,572. Так как

значение M_х⁰ определяем по формуле (102), вычислив

ξ₁ = ξ/ξ₀ = 0,573/0,734 = 0,781;

M_х⁰ = R_прbh²[0,5ξ(1 - ξ) + α_и(ξ₁ - δ₁)(1 - ξ₁ - δ₁) - 0,05α_иξ₁² + α_п(1 - 2δ₁)] = 348000·60[0,5·0,573(1 - 0,573) + 0,309(0,781 - 0,083)(1 - 0,781 - 0,083) - 0,05·0,309·0,781² + 0,06(1 - 2·0,083)] = 40,1 тс·м.

При определении момента M_у⁰, действующего в плоскости оси y, принимаем:

F_а.и = F_ах = 6,05 см²; F_а.п = F_ау = 13,18 см²;

h = 40 см; b = 60 см;

δ₁ = a₁/h = 5/40 = 0,125;

Так как

значение M_у⁰ определяем по формуле (103), вычислив:

ξ_1R = ξ_R/ξ₀ = 0,572/0,734 = 0,78;

m_гр = 0,5ξ_R(1 - ξ_R) + α_и(ξ_1R - δ₁)(1 - ξ_1R - δ₁) - 0,05α_иξ²_1R + α_п(1 - 2δ₁) = 0,5·0,572(1 - 0,572) + 0,158(0,78 - 0,125)(1 - 0,78 - 0,125) - 0,05·0,158·0,78² + 0,129(1 - 2·0,125) = 0,224;

n_гр = ξ_R + α_и(2ξ_1R - 1) = 0,572 + 0,158(2·0,78 - 1) = 0,66;

Поскольку , прочность сечения проверяем по графикам рис. 36,а и б, соответствующим α = 0,2 и α = 0,4. На обоих графиках точка с координатами M_х/M_х⁰ = 24/40,1 = 0,60 и M_у/M_у⁰ = 18,25/27,4 = 0,666 лежит внутри области, ограниченной кривой, отвечающей параметру п₁ = 0,747, и осями координат. Следовательно, прочность сечения обеспечена.

Пример 37. Дано: сечение колонны, характеристики материалов и значение продольной силы от всех нагрузок по примеру 31; в сечении одновременно действуют изгибающие моменты в плоскости, параллельной размеру h, - M_х = 333 тс·м и в плоскости, параллельной размеру b, - M_у = 39,6 тс·м; моменты M_х и M_у даны с учетом прогиба колонны.

Требуется проверить прочность сечения.

Расчет. Проверку прочности производим согласно п. 3.77.

Определим предельный момент M_х⁰, действующий в плоскости оси симметрии x, проходящей в ребре. Согласно примеру 31, правая часть условия (115) п. 3.69 равна 584,7 тс·м.

Тогда

M_х⁰ = 584,7 - N(h₀ - a')/2 = 584,7 - 250(1,421 - 0,079)/2 = 417 тс·м.

Предельный момент M_у⁰, действующий в плоскости оси симметрии y, нормальной ребру, определяем как для прямоугольного сечения, составленного из двух полок, согласно п. 3.65. Тогда, согласно рис. 42, имеем: h = 60 см; b = 2·21,5 = 43 см.

Определим распределенное армирование F_а_.и и F_а_.м;

f_п.и = 8,043 см² (Æ32); p_и = 3; Σf_а = 112,6 см² (14Æ32);

F_а.и = f_п.и(p_и + 1) = 8,043(3 + 1) = 32,2 см²;

F_а.п = Σf_а/2 - F_а.и = 112,6/2 - 32,2 = 24,1 см².

Из табл. 17 находим ξ₀ = 0,698 и ξ_R= 0,532. Определяем величины:

R_прbh = 190·43·60 = 490200 кгс;

δ₁ = a₁/h = 0,083;

Значение M_у⁰ определяем по формуле (102):

ξ₁ = ξ/ξ₀ = 0,412/0,698 = 0,59;

M_у⁰ = R_прbh²[0,5ξ(1 - ξ) + α_и(ξ₁ - δ₁)(1 - ξ₁ - δ₁) - 0,05α_иξ₁² + α_п(1 - 2δ₁)] = 190·43·60²[0,5·0,412·(1 - 0,412) + 0,536(0,59 - 0,083)(1 - 0,59 - 0,083) - 0,05·0,536·0,59² + 0,167(1 - 2·0,083)] = 100,0 тс·м.

Проверяем прочность сечения, принимая b = 20 см, h = 150 см.

Поскольку прочность сечения проверяем по графикам на рис. 38,б и в, соответствующим α = 0,6 и α = 1. На обоих графиках точка с координатами M_х/M_х⁰ =333/417 = 0,8 и M_у/M_у⁰ = 39,6/100 = 0,396 лежит внутри области, ограниченной кривой, отвечающей параметру n₁ = N/(R_прbh) = 250000/(190·20·150) = 0,44, и осями координат. Следовательно, прочность сечения обеспечена.

Пример 38. Дано: размеры прямоугольного сечения колонны b = 40 см; h = 60 см; бетон марки М 300 (R_пр = 145 кгс/см², при учете m_б1 = 1,1); продольная арматура класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²) - по рис. 43, в сечении одновременно действуют продольная сила N = 260 тс и изгибающие моменты в плоскости, параллельной размеру h, - M_х = 25 тс·м и в плоскости, параллельной размеру b, - M_у = 20 тс·м; изгибающие моменты M_х и M_у даны с учетом прогиба колонны.

Требуется проверить прочность сечения, пользуясь формулами общего случая расчета п. 3.78.

Расчет. Все стержни обозначим номерами, как показано на рис. 43. Через центр тяжести наиболее растянутого стержня (№ 5) проводим ось x параллельно размеру h = 60 см и ось y параллельно размеру b.

Угол γ между осью y и прямой, ограничивающей сжатую зону, принимаем как при расчете упругого тела на косое внецентренное сжатие, т.е.

Задаваясь значением x₁ - размером сжатой зоны по наиболее сжатой стороне сечения h, можно определить для каждого стержня отношение ξ_i = x/h₀_i по формуле ξ_i = x₁/(a_у_itgγ + a_х_i), где a_х_i и a_у_i - расстояния от i-го стержня до наиболее сжатой стороны сечения в направлении соответственно осей x и y.

По значениям ξ_i определяем напряжение σ_а_i, принимая σ_ε = 4000, ξ₀ = 0,734 (см. табл. 17):

При этом если σ_а_i > R_а = 3400 кгс/см², что равносильно условию ξ_i < ξ_R = 0,572 (см. табл. 17), принимаем σ_а_i = R_а = 3400 кгс/см². Если σ_а_i < -R_а.с = -3400 кгс/см², принимаем σ_а_i = -3400 кгс/см². Последнее условие после подстановки в него выражения для σ_а_i приобретает вид: ξ_i > 0,734/(1 - 3400/12000) = 1,023.

Затем определяем сумму усилий во всех стержнях Σf_а_iσ_а_i.

Задаваясь в первом приближении значением x₁ = h = 60 см, производим указанные вычисления, результаты которых приводим в таблице.

№ стержня	f_а_i, см²	a_у_i, см	a_х_i, см	tgγ = 1,8	x₁ = 60 см			x₁ = 70 см
№ стержня	f_а_i, см²	a_у_i, см	a_х_i, см	a_у_itgγ + a_х_i	ξ_i	σ_а_i	f_а_iσ_а_i	ξ_i	σ_а_i	f_а_iσ_а_i
1	8,043	35	5	68	0,882	-2015	-16220	1,03	-3400	-27350
2	8,043	5	5	14	4,29	-3400	-27350	5	-3400	-27350
3	3,142	35	30	93	0,645	1657	5200	0,753	-300	-940
4	3,142	5	30	39	1,54	-3400	-10690	1,795	-3400	-10690
5	8,043	35	55	118	0,508	3400	27350	0,593	2860	23000
6	8,043	5	55	64	0,937	-2605	-20960	1,094	-3400	-27350
							Σf_а_iσ_а_i = -42670			Σf_а_iσ_а_i = -70680

Так как x₁/tgγ = 60/1,8 = 33,3 см < b = 40 см, форма сжатой зоны треугольная, ее площадь равна

Проверим равенство (138).

R_прF_б - Σf_а_iσ_а_i = 145·1000 + 42670 = 187670 кгс < N = 260000 кгс,

т.е. сжатая зона занижена.

Увеличиваем значение x₁ до 70 см и аналогично определяем Σf_а_iσ_а_i (см. табл.). При x₁ > h и x₁/tgγ = 70/1,8 = 38,9 см < b = 40 см форма сжатой зоны трапециевидная и площадь ее равна

Поскольку

R_прF_б - Σf_а_iσ_а_i = 145·1337 + 70680 = 264580 кгс ≈ N = 260000 кгс,

равенство (138) приблизительно соблюдается.

Определим моменты внутренних сил относительно осей y и x. Для этого определим статические моменты сжатой зоны относительно этих осей:

Тогда:

M_х_пр = R_прS_б_х - Σf_а_iσ_а_i(a_х₅ - a_хi) = 145·43370 - [-27350(55 - 5)2 - 940(55 - 30) - 10690(55 - 30)] = 9310000 кгс·см;

M_у_пр = R_прS_б_у - Σf_а_iσ_а_i(a_у₅ - a_уi) = 145·29030 - [-27350(35 - 5)2 - 10690(35 - 5)] = 6172000 кгс·см.

Моменты внешних сил относительно осей y и x равны:

M_х₁ = M_х + N(h/2 - 0,05) = 25 + 260(0,6/2 - 0,05) = 90 тс·м;

M_у₁ = M_у + N(b/2 - 0,05) = 20 + 260(0,4/2 - 0,05) = 59 тс·м.

Поскольку M_х_пр > M_х₁, а M_у_пр > M_у₁, прочность сечения обеспечена.

Центрально- и внецентренно-растянутые элементы

Центрально-растянутые элементы

3.79(3.26). При расчете сечений центрально-растянутых железобетонных элементов должно соблюдаться условие

N ≤ R_аF_а, (140)

где F_а - площадь сечения всей продольной арматуры.

Внецентренно-растянутые элементы

Расчет прямоугольных сечений, нормальных к продольной оси элемента, при расположении продольной силы в плоскости оси симметрии

3.80(3.27). Расчет прямоугольных сечений внецентренно-растянутых элементов с арматурой, сосредоточенной у наиболее растянутой и у сжатой (наименее растянутой) граней, должен производиться в зависимости от положения продольной силы N:

а) если продольная сила N приложена между равнодействующими усилий в арматуре A и A' (рис. 44,а), т.е. при e' ≤ h₀ - a', - из условий

Ne' ≤ R_аF_а(h'₀ - a') (141)

Ne ≤ R_аF'_а(h₀ - а'); (142)

Рис. 44. Схема усилий и эпюра напряжений в сечении, нормальном к продольной оси внецентренно-растянутого железобетонного элемента при расчете его по прочности

а - продольная сила N приложена между равнодействующими усилий в арматуре A и A'; б - то же, за пределами расстояния между равнодействующими усилий в арматуре A и A'

б) если продольная сила N приложена за пределами расстояния между равнодействующими усилий в арматуре A и A' (рис. 44,б), т.е. при e' > h₀ - a', - из условия

Ne ≤ R_прbx(h₀ - 0,5x) + R_а.сF'_а(h₀ - a'), (143)

при этом высота сжатой зоны x определяется по формуле

(144)

Если полученная из расчета по формуле (144) величина x > ξ_Rh₀, в условие (143) подставляется значение x = ξ_Rh₀, где ξ_R определяется по табл. 17 п. 3.15.

Если x < 0, то прочность сечения проверяется из условия (141).

При симметричном армировании прочность независимо от значения e' проверяется из условия (141).

Примечание. Если при e' > h₀ - a' высота сжатой зоны, определенная без учета сжатой арматуры меньше 2a', расчетную несущую способность можно несколько увеличить, произведя расчет по формулам (143) и (144) без учета сжатой арматуры.

3.81. Определение требуемого количества продольной арматуры производится следующим образом:

а) при e' ≤ h₀ - a' площадь сечения арматуры A и A' определяется соответственно по формулам

(145)

(146)

б) при e' > h₀ - a' площадь сечения растянутой арматуры определяется по формуле

(147)

где ξ - определяется по табл. 18 п. 3.19 в зависимости от значения

(148)

При этом должно удовлетворяться условие A₀ ≤ A_R (см. табл. 17 п. 3.15). В противном случае следует увеличить сечение сжатой арматуры F'_а, повысить марку бетона или увеличить размеры сечения.

Если A₀ < 0 площадь сечения растянутой арматуры определяется по формуле (145).

Подбор симметричного армирования независимо от значения e' производится по формуле (145).

Примечание. При e' > h₀ - a' необходимое количество арматуры, определенное по формуле (145), можно несколько снизить, если значение ξ, определенное по табл. 18 без учета сжатой арматуры, т.е. по значению , оказывается меньше 2a'/h₀. В этом случае площадь сечения растянутой арматуры определяется по формуле

(149)

где υ - определяется по табл. 18 в зависимости от

Общий случай расчета нормальных сечений внецентренно-растянутого элемента (при любых сечениях, внешних усилиях и любом армировании)

3.82(3.28). Расчет сечений внецентренно-растянутого элемента в общем случае (рис. 39) должен производиться из условия

N ≤ Σσ_а_iS_а_i - R_прS_б, (150)

где - расстояние от продольной силы N до оси, параллельной прямой, ограничивающей сжатую зону и проходящей через точку сжатой зоны, наиболее удаленную от указанной прямой;

S_б - статический момент площади сжатой зоны бетона относительно указанной оси;

S_а_i - статический момент площади сечения i-го стержня продольной арматуры относительно указанной оси;

σ_а_i - напряжение в i-м стержне продольной арматуры.

Высота сжатой зоны x и напряжения σ_а_i определяются из совместного решения уравнений (138) и (139) п. 3.78 с заменой перед N знака минус на знак плюс.

При косом внецентренном растяжении для определения положения границы сжатой зоны кроме использования формул (138) и (139) требуется соблюдение дополнительного условия, чтобы точки приложения внешней продольной силы, равнодействующей сжимающих усилий в бетоне и арматуре и равнодействующей усилий в растянутой арматуре, лежали на одной прямой (рис. 39).

Расчет сечений, наклонных к продольной оси элемента

3.83(3.33). Расчет наклонных сечений внецентренно-растянутых элементов на действие поперечной силы производится, как и для изгибаемых элементов, согласно пп. 3.30 - 3.44; при этом значения R_р во всех этих пунктах умножаются на коэффициент k_N, равный

(151)

но принимаемый не менее 0,2.

Расчет наклонных сечений внецентренно-растянутых элементов на действие изгибающего момента производится, как и для изгибаемых элементов, согласно пп. 3.45 - 3.50. При этом высота сжатой зоны в наклонном сечении определяется с учетом растягивающей силы N по формуле (144) п. 3.80 или согласно п. 3.82. В случае выполнения условия e' < h₀ - a' расчетный момент в наклонном сечении допускается определять как момент всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого наклонного сечения, относительно оси, проходящей через центр тяжести арматуры A'.

Примеры расчета

Внецентренно-растянутые элементы

Пример 39. Дано: растянутая ветвь у двухветвевой колонны с размерами поперечного сечения b = 50 см; h = 20 см; a = a' = 4 см; продольная арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²) площадью сечения F_а = F'_а = 9,82 см² (2Æ25); бетон марки М 300 (R_пр = 145 кгс/см² при m_б1 = 1,1); продольная растягивающая сила N = 4,4 тс; максимальный изгибающий момент M = 4,3 тс·м.

Требуется проверить прочность нормального сечения.

Расчет.

h₀ = 20 - 4 = 16 см;

e₀ = M/N = 4,3/4,4 = 0,977 м;

e' = e₀ + h/2 - a'= 0,977 + 0,2/2 - 0,04 = 1,037 м;

e = e₀ - h/2 + a = 0,977 - 0,2/2 + 0,04 = 0,917 м.

Поскольку арматура симметричная, прочность проверяем из условия (141) R_аF_а(h₀ - a') = 3400·9,82(16 - 4) = 401000 кгс·см < Ne' = 4,4·1,037 = 4,56 тс·м, т.е. условие (141) не удовлетворяется. Так как e' = 1,037 м > h₀ - a' = 12 см, а высота сжатой зоны x, определенная без учета сжатой арматуры:

согласно примечанию к п. 3.80 проверим прочность из условия (143), принимая x = 4 см и F'_а = 0:

R_прbx(h₀ - 0,5x) = 145·50·4(16 - 0,5·4) = 406000 кгс·см = 4,06 тс·м > Ne = 4,4·0,917 = 4,04 тс·м,

т.е. прочность нормального сечения обеспечена.

Пример 40. Дано: размеры сечения b = 100 см; h = 20 см; a = 3,5 см; бетон марки М 200 (R_пр = 75 кгс/см² при m_б = 0,85); продольная арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²).

Площадь сечения арматуры A' - F_а = 10,05 см²; растягивающая сила N = 16 тс; изгибающий момент M = 11,6 тс·м.

Требуется определить площадь сечения арматуры A.

Расчет. h₀ = h - a = 20 - 3,5 = 16,5 см;

e₀ = M/N = 11,6/16 = 0,725 м;

e = e₀ - h/2 + a= 0,725 - 0,2/2 + 0,035 = 0,66 м;

e' = e₀ + h/2 - a' = 0,725 + 0,2/2 - 0,035 = 0,79 м.

Так как e' = 79 см > h₀ - a' = 16,5 - 3,5 = 13 см, определим необходимую площадь сечения растянутой арматуры согласно п. 3.81 «б».

Вычисляем значение

Так как 0 < A₀ < A_R = 0,443 (см. табл. 17), значение F_а определяем по формуле (147). Для этого по табл. 18 при A₀ = 0,3 находим ξ = 0,367.

Принимаем F_а = 30,79 см (5Æ28).

Пример 41. Дано: размеры сечения b = 100 см; h = 20 см; a = a' = 4 см; бетон марки М 200 (R_пр = 75 кгс/см² при m_б1 = 0,85); продольная арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²); растягивающая сила N = 53,2 тс; изгибающий момент M = 7,4 тс·м.

Требуется определить площадь сечения симметричной продольной арматуры.

Расчет.

h₀ = h - a = 20 - 4 = 16 см;

e₀ = M/N = 7,4/53,2 = 0,139 м;

e = e₀ - h/2 + a = 0,139 - 0,2/2 + 0,04 = 0,079 м;

e' = e₀ + h/2 - a'= 0,139 + 0,2/2 - 0,04 = 0,199 м.

Поскольку арматура симметричная, площадь сечения арматуры определяем по формуле (145):

Так как e' = 19,9 см > h₀ - a' = 12 см, согласно примечанию к п. 3.81, значение F_а можно уточнить.

Определяем значение ξ без учета сжатой арматуры. Для этого вычисляем значение A₀

Из табл. 18 при A₀ = 0,219 находим ξ = 0,25 и υ = 0,875; так как

ξ = 0,25 < 2a'/h₀ = 2·4/16 = 0,5,

определяем значение F_а по формуле (149):

Принимаем F_а = 24,54 см² (5Æ25).

Пример 42. Дано: растянутая ветвь двухветвевой колонны с размерами сечения b = 50 см; h = 20 см; a = a' = 4 см; бетон марки М 300 (R_р = 11 кгс/см² при m_б1 = 1,1); хомуты, расположенные по граням ветви, из арматуры класса А-III (R_а.х = 2700 кгс/см²); продольная растягивающая сила N = 4,4 тс, поперечная сила Q = 14,3 тс, расстояние между перемычками двухветвевой колонны 60 см.

Требуется определить диаметр и шаг хомутов.

Расчет. h₀ = 20 - 4 = 16 см.

По формуле (151) определим коэффициент k_N

Тогда учитываемое в расчете расчетное сопротивление бетона растяжению будет равно: R_р = 11·0,9 = 9,9 кгс/см².

Проверяем условие (47) п. 3.31:

0,6R_рbh₀ = 0,6·9,9·50,16 = 4750 кгс < Q = 14,3 тс,

следовательно, хомуты подбираем из расчета по прочности. Необходимую интенсивность хомутов определяем по формуле (56):

По формуле (55) определяем значение c₀:

т.е. длина проекции невыгоднейшего наклонного сечения не выходит за пределы расстояния между перемычками.

Максимально допустимый шаг хомутов, согласно п. 3.33, равен

Кроме того, шаг хомутов, согласно п. 5.58, не должен превышать 2h = 2·20 = 40 см.

Принимаем шаг хомутов u = 10 см < u_макс.

Из формулы (54) определяем значение F_х

принимаем два хомута диаметром по 8 мм (F_х = 1,01 см²).

Элементы, работающие на кручение с изгибом

Элементы прямоугольного сечения

3.84(3.42). При расчете элементов на кручение с изгибом должно соблюдаться условие

M_к ≤ 0,1R_прb²h, (152)

где b и h - соответственно меньший и больший размеры граней элемента.

При этом значение R_пр для бетонов проектных марок выше М 400 принимается как для бетона марки М 400.

3.85(3.38). Для участков элемента, в которых M_к > 0,5Qb (где b - размер грани, перпендикулярной к плоскости действия изгибающего момента), следует производить расчет пространственных сечений согласно пп. 3.86 - 3.90.

Для участков элемента, в которых M_к ≤ 0,5Qb, следует производить расчет сечений, наклонных к продольной оси элемента, на действие поперечной силы и крутящего момента из условия

Q ≤ Q_х.б - 3M_к/b, (153)

где Q и M_к - принимаются наибольшими на рассматриваемом участке элемента;

Q_х.б - определяется по формуле (53) п. 3.35.

При этом расчет наклонных и нормальных сечений на действие изгибающего момента производится без учета кручения.

Если удовлетворяется условие

M_к ≤0,25Qb, (154)

то при наличии отогнутых стержней в правую часть условия (153) добавляется величина ΣR_а.хF_оsinα (см. п. 3.32).

Общий случай расчета пространственного сечения

3.86(3.43). При расчете пространственного сечения (рис. 45) по прочности проверяется достаточность продольной и поперечной арматуры, установленной у грани элемента, противоположной сжатой зоне пространственного сечения. Рассматриваются три возможные расчетные схемы расположения сжатой зоны пространственного сечения:

1-я схема - у сжатой от изгиба грани элемента (рис. 46,а);

2-я схема - у грани элемента, параллельной плоскости действия изгибающего момента (рис. 46,б);

3-я схема - у растянутой от изгиба грани элемента (рис. 46,в).

Рис. 45. Схема усилий в пространственном сечении железобетонного элемента

Рис. 46. Расчетные схемы расположения сжатой зоны пространственного сечения

а - у сжатой от изгиба грани элемента; б - у грани элемента, параллельной плоскости действия изгибающего момента; в - у растянутой от изгиба грани элемента; 1 - плоскость действия изгибающего момента

Для любой из этих схем расчет пространственного сечения производится из условия

(155)

Высота сжатой зоны x определяется по формуле

(156)

При этом если x < 2a', в условии (155) принимается x = 2a'.

Если x > ξ_Rh₀ (где ξ_R - см. п. 3.15), должна быть проверена прочность нормального сечения согласно п. 3.16.

В формулах (155) и (156), а также в остальных формулах настоящего пункта:

F_а и F'_а - площадь сечения продольной арматуры, расположенной при данной расчетной схеме соответственно в растянутой и в сжатой зонах;

b и h - размеры граней элемента, соответственно параллельных и перпендикулярных линии, ограничивающей сжатую зону;

(157)

β = c/b; (158)

c - длина проекции линии, ограничивающей сжатую зону, на продольную ось элемента; невыгоднейшее значение c в общем случае определяется последовательными приближениями и принимается не более 2h + b и не более длины участка элемента, на котором учитываемые в расчете усилия (M, M_к, Q) не меняют знаки. Для некоторых частных случаев значение c определяется согласно пп. 3.89 и 3.90.

В формуле (155), а также (160) и (161) величины χ и k, характеризующие соотношения между действующими усилиями M_к, M и Q, принимаются:

при расчете по 1-й схеме

χ = M/M_к и k = 1;

при расчете по 2-й схеме

χ = 0 и k = 1 + Qh/(2M_к);

при расчете по 3-й схеме

χ = -M/M_к и k = 1.

Крутящий момент M_к, изгибающий момент M и поперечная сила Q принимаются в поперечном сечении, проходящем через центр тяжести сжатой зоны пространственного сечения (рис. 47).

Значение коэффициента γ, характеризующего соотношение между поперечной и продольной арматурой, определяется по формуле

(159)

где f_х - площадь сечения одного стержня хомута, расположенного у грани, являющейся для рассматриваемой расчетной схемы растянутой;

u - расстояние между указанными выше хомутами.

При этом значение γ принимается не менее

(160)

и не более

(161)

Рис. 47. Определение действующих в пространственном сечении изгибающего и крутящего моментов, а также поперечной силы при расчете на прочность железобетонного элемента, работающего на кручение с изгибом

а - при 1-й и 3-й схемах; б - при 2-й схеме; 1 - сжатая зона пространственного сечения

Если значение γ, подсчитанное по формуле (159), получается менее γ_мин, то величина R_аF_а, вводимая в формулу (155), умножается на отношение γ/γ_мин. Допускается в этом случае значение x не корректировать.

Расчет по 3-й схеме не производится, если удовлетворяется условие

M > M_к/(2). (162)

Упрощенные способы расчета пространственного сечения

3.87. Необходимую из расчета по 2-й схеме интенсивность поперечной арматуры f_х/u, расположенной у грани, параллельной плоскости изгиба (шириной h, см. рис. 48), допускается определять по формуле

(163)

где значение γ принимается равным

(164)

но не менее A/.

Здесь

M_к и Q - максимальные значения крутящего момента и поперечной силы на рассматриваемом участке;

F_а2 - площадь сечения всех продольных стержней, расположенных у грани элемента шириной h (параллельной плоскости изгиба);

a₂ - см. рис. 48.

Рис. 48. Обозначения, принятые при упрощенном способе расчета на кручение с изгибом элементов прямоугольного сечения согласно п. 3.87

1 - плоскость действия изгибающего момента

При этом должно удовлетворяться условие

(165)

Если это условие не выполняется, то следует увеличить арматуру F_а2 или размер b.

Если усилия M_к и Q линейно уменьшаются от опоры к пролету, значение γ в формуле (164) рекомендуется определять с учетом разгружающего влияния внешней нагрузки по формуле

(166)

и принимать не менее

где

m_к, p - уменьшение усилий M_к и Q на единице длины элемента.

В этом случае условие (165) заменяется условием

(167)

3.88. Для элементов, в которых изгибающий момент уменьшается от опоры к пролету (опорные зоны неразрезных балок, консоли), проверку прочности по продольной и поперечной арматуре, расположенной у растянутой от изгиба грани элемента шириной b (1-я расчетная схема), допускается производить из условий:

M₀ ≤ k₁R_аF_а(h₀ - 0,5x); (168)

M_к ≤ k₂R_а.хf_х(h₀ - 0,5x), (169)

где F_а, f_х, b, h₀, x - значения, соответствующие 1-й расчетной схеме согласно рис. 46,а; значение x определяется по формуле (156) п. 3.86;

M₀ и M_к - изгибающий и крутящий моменты в опорном сечении;

k₁ и k₂ - коэффициенты, определяемые по табл. 24 и 25 в зависимости от значений

χ = M₀/M_к и λ = Qb/(2M_к)

(Q - поперечная сила в опорном сечении).

Таблица 24

χ	Коэффициент k₁ при значениях λ
χ	0,9 - 0,7	0,5	0,4	0,3
9	1	0,95	0,93	0,90
7	0,98	0,94	0,91	0,88
5	0,97	0,92	0,89	0,84
4	0,97	0,91	0,87	0,82
3	0,96	0,88	0,84	0,77

Таблица 25

b/h	Коэффициент k₂ при значениях χ
	≥ 20	10	5	3 при λ
	≥ 20	10	5	≥ 0,9	0,7	0,5
0,3	1,35	1,26	1,2	1,4	1,3	1,2
0,5	1,7	1,6	1,5	1,65	1,54	1,44
0,7	1,94	1,85	1,72	1,82	1,72	1,64

При этом интенсивность поперечного армирования f_х/u по грани шириной b должна быть не менее интенсивности поперечного армирования по грани шириной h, подобранной в соответствия с п. 3.87.

При значениях λ > 0,9 проверка прочности из условий (168) и (169) может не производиться.

3.89. Проверку прочности по 1-й расчетной схеме, согласно п. 3.86, рекомендуется производить в следующих случаях:

а) если в пролетном поперечном сечении с максимальным изгибающим моментом имеет место крутящий момент; в этом случае рассчитывается пространственное сечение с серединой его проекции в этом поперечном сечении, а также ряд других пространственных сечений с большими крутящими моментами, если изгибающие моменты в середине этих сечений близки к максимальному;

б) если имеют место участки с крутящими моментами, превышающими опорные крутящие моменты; в этом случае рассчитывается пространственное сечение с серединой его проекции в поперечном сечении с максимальным крутящим моментом.

В обоих случаях значение β = c/b принимается равным

β = -χ + (170)

но не более 1/δ. При этом пространственное сечение с длиной проекции c = βb не должно выходить за пределы длины элемента.

3.90. Проверку прочности по 3-й расчетной схеме рекомендуется производить следующим образом:

а) Для неразрезных балок рассматривается пространственное сечение с серединой его проекции в нулевой точке эпюры M и проверяется армирование у наименее армированной грани, нормальной плоскости изгиба.

В этом случае прочность проверяется из условий:

если γ ≤ 0,5

M_к ≤ R_аF_а(h₀ - a')2γ (171)

если γ > 0,5

M_к ≤ R_аF_а(h₀ - a')2 (172)

где

M_к принимается по сечению в нулевой точке эпюры M.

Длина проекции пространственного сечения, проверяемого из условий (171) или (172), равна

где γ принимается не менее 0,5.

Если расположение нулевой точки эпюры M может изменяться при различных комбинациях нагрузок, то в расчете из условий (171) и (172) учитывают такое расположение нулевой точки, при котором расстояние ее от опоры a равно или больше c/2, а усилие M_к имеет максимальное значение. Если нулевая точка не может отстоять от опоры дальше чем на расстоянии c/2, расчет по 3-й расчетной схеме следует вести общим методом, согласно п. 3.86, принимая β = 2a/b.

б) Для шарнирно-опертых балок рассматривается пространственное сечение, начинающееся у опоры.

В этом случае прочность проверяется из условия

M_к ≤ R_а.хf_х(h₀ - a')k₃, (173)

при λ ≥ 0,35

при λ < 0,35

Усилия Q и M_к принимаются по опорному сечению. Значения f_х принимаются по сжатой от изгиба грани.

Элементы таврового, двутаврового и других сечений, имеющих входящие углы

3.91. Поперечное сечение элемента следует разбивать на ряд прямоугольников (см. рис. 49), при этом если высота свесов полок или ширина ребра переменны, следует принимать средние высоту свесов или ширину ребра.

Рис. 49. Разбивка на прямоугольники сечений, имеющих входящие углы, при расчете на кручение с изгибом

Рис. 50. Схемы расположения сжатой зоны в пространственном сечении железобетонного элемента двутаврового сечения, работающего на кручение с изгибом

а - 1-я схема; б - 3-я схема; в - 2-я схема; с - центр тяжести продольной растянутой арматуры

Рис. 51. Схемы расположения сжатой зоны в пространственном сечении железобетонного элемента таврового сечения, работающего на кручение с изгибом

а - 1-я схема; б - 3-я схема; в - 2-я схема; с - центр тяжести продольной растянутой арматуры

Рис. 52. Схемы расположения сжатой зоны в пространственном сечении железобетонного элемента Г-образного сечения, работающего на кручение с изгибом

а - 1-я схема; б - 3-я схема; в и г - 2-я схема; с - центр тяжести продольной растянутой арматуры

Размеры поперечного сечения должны удовлетворять условию

M_к ≤ 0,1R_прΣb_i²h_i, (174)

где h_i, b_i - соответственно больший и меньший размеры каждого из составляющих сечение прямоугольников.

Кроме того, должно соблюдаться требование п. 3.30.

Если в пределах высоты сечения имеются полки (выступы), нижние и верхние грани которых не являются продолжением соответствующих граней элемента, то расчет ведется без учета этих полок как для элемента прямоугольного сечения согласно пп. 3.85 - 3.90.

3.92. Расчет тавровых, двутавровых, Г-образных и т.п. сечений проводится для схем расположения сжатой зоны пространственного сечения, указанных на рис. 50 - 52. При этом проверяется продольная и поперечная арматура, расположенная в растянутой зоне.

Для любой из этих схем расчет пространственного сечения производится из условия

(175)

где F_а, h₀, b, b_р, x - значения, соответствующие рассматриваемой расчетной схеме рис. 50 - 52 и определяемые как для плоского сечения изгибаемого элемента; при расчете по 2-й схеме (рис. 50,в, 51,в, 52,в, г) не учитываются сжатые свесы полки, выступающие за грань полки меньшей ширины, либо за грань стенки (при отсутствии другой сжатой полки);

k, χ - см. п. 3.86;

f_х, u - площадь поперечных стержней, расположенных в одном поперечном сечении в растянутой зоне (при данной расчетной схеме), и шаг этих стержней;

c - длина проекции линии, ограничивающей сжатую зону пространственного сечения, на продольную ось элемента, принимаемая равной для 1-й и 3-й схем (рис. 50,а, б, 51,а, б, 52,а, б):

c = 2h + b + 2b_р - 2b₀, (176)

а для 2-й схемы (рис. 50,в, 51,в, 52,в, г)

с = 2h + 2b_св + b, (177)

при этом длина c не должна выходить за пределы элемента, а также участка его длины с однозначными эпюрами внешних усилий, учитываемыми в формуле (175);

h_0х - расстояние от наиболее сжатой (при данной расчетной схеме) грани до равнодействующей усилий в поперечных стержнях растянутой зоны.

Расчет по 3-й расчетной схеме не производится, если удовлетворяется условие

M > M_к (178)

Следует учитывать также указание п. 3.85.

Учитываемое в расчете значение R_аF_а принимается не более величины

где значение γ_мин принимается равным

при 1-й расчетной схеме -

но не менее 0,02;

при 2-й расчетной схеме - γ_мин = 0,3;

при 3-й расчетной схеме - γ_мин = 0,2.

При этом значения f_х, F_а, b, b_р должны соответствовать расчетным схемам на рис. 50 - 52.

Элементы кольцевого сечения с продольной арматурой, равномерно распределенной по окружности

3.93. Размеры поперечного кольцевого сечения элемента должны удовлетворять условию

M_к ≤ 0,08R_прπ(r₁³ - r₂³), (179)

где r₁, r₂ - соответственно наружный и внутренний радиусы кольцевого сечения.

Расчет пространственного сечения (рис. 53) производится из условия

(180)

где β = c/b;

b, c - длина проекции линии, ограничивающей сжатую зону, соответственно на поперечное сечение элемента и на его продольную ось (рис. 53); значение b принимается равным:

а значение c определяется согласно п. 3.94;

χ - принимается согласно п. 3.86 как для 1-го расчетного сечения;

α_к - относительная площадь сжатой зоны бетона, определяемая по формуле (121) либо при α_к < 0,15 по формуле (124) п. 3.71;

F_а.к - площадь сечения всей продольной арматуры;

A и B - коэффициенты, определяемые по формулам:

при α_к > 0,15 A = (1 - 1,7α_к)( + 0,2 + 1,3α_к);

при α_к ≤ 0,15 A = 0,75 + 0,295;

Коэффициент B может определяться по графику рис. 54;

f_х, u - площадь сечения поперечного стержня и шаг этих стержней.

Значение γ принимается не менее γ_мин = 0,5/(1 + χ) и не более

γ_макс = 1,5/(1 + χ).

Рис. 53. Пространственное сечение железобетонного элемента кольцевого поперечного сечения, работающего на кручение с изгибом

1 - плоскость действия изгибающего момента

Рис. 54. График коэффициента В для расчета на кручение с изгибом элементов кольцевого поперечного сечения

Если γ < γ_мин, в расчетных формулах следует величину R_аF_а.к умножать на отношение γ/γ_мин.

3.94. Проверка условия (180) производится для пространственных сечений, в которых длина проекции c = βb не выходит за пределы участка, на котором учитываемые в расчете усилия не меняют знаки и, кроме того, значение c принимается не более c_макс = 2πr₁(1 - α_к).

Для элементов с постоянным сечением по длине рекомендуется проверять несколько пространственных сечений, начинающихся от нормального сечения с наибольшим значением M_к, а при постоянных значениях M_к - от сечения с максимальными значениями M.

Для элементов с переменным сечением по длине рекомендуется проверять несколько пространственных сечений, расположенных в разных местах по длине и при значениях β, равных

β = -χ + (181)

при этом длина проекции c = βb не должна выходить за пределы длины элемента, а размеры поперечного сечения принимаются соответствующими середине пространственного сечения.

Примеры расчета

Элементы, работающие на кручение с изгибом

Пример 43. Дано: ригель перекрытия торцевой рамы многоэтажного промздания с поперечным сечением приопорного участка по рис. 55,а, эпюры крутящих и изгибающих моментов и эпюра поперечных сил по рис. 55,б; крутящие моменты получены при действии вертикальных постоянных и длительных нагрузок; изгибающие моменты и поперечные силы получены при действии вертикальных и ветровых нагрузок; бетон марки М 300; продольная и поперечная арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см², R_а.х = 2700 кгс/см²).

Требуется подобрать шаг и диаметр поперечных стержней и проверить прочность ригеля на совместное действие кручения и изгиба.

Рис. 55. К примеру расчета 43

Расчет. Поскольку сечение имеет входящие углы, проверим условие (174) п. 3.91, разбив сечение на два прямоугольника с размерами 80 × 32 и 15,5 × 25 см и приняв R_пр = 115 кгс/см² (т.е. при m_б1 = 0,85):

0,1R_прΣb_i²h_i = 0,1·115(32²·80 + 15,5²·25) = 10,1 тс·м > M_к.макс = 8,56 тс·м,

т.е. условие (174) удовлетворяется.

Расчет прочности ведем как для прямоугольного сечения с размерами b = 30 см и h = 80 см, так как нижняя грань ригеля и выступающая полка образуют угол.

Так как 0,5Qb = 0,5·47,2·0,3 = 7,08 тс·м < M_к = 8,56 тс·м, то согласно п. 3.85 производим расчет пространственных сечений.

Интенсивность вертикальных хомутов f_х/u определяем согласно п. 3.87.

Предварительно определим коэффициенты δ₁, A, γ:

где F_а2 = 20,36 + 1,54 + 3,8 + 6,16 = 31,86 см² (2Æ36 + Æ14 + Æ22 + Æ28).

Так как усилия M_к и Q линейно уменьшаются от опоры к пролету, значение γ определяем по формуле (166), предварительно вычислив коэффициент k.

Уменьшение усилий M_к и Q на единице длины элемента равно (см. рис. 55,б):

m_к = 8,56/2,45=3,49 тс;

p = 47,2/3 = 15,75 тс/м;

Тогда

Принимаем γ = 0,287.

Проверяем условие (167):

т.е. условие (167) удовлетворяется.

Необходимую интенсивность хомутов определяем по формуле (163):

Принимая шаг вертикальных хомутов u = 10 см, находим их диаметр d_х.

f_х = 0,144·10 = 1,44 см².

Принимаем d_х = 14 мм (f_х =1,54 см²).

Проверим достаточность продольной и поперечной арматуры, установленной у верхней растянутой грани приопорного участка ригеля, согласно указаниям п. 3.88 (1-я расчетная схема). Шаг и диаметр хомутов, расположенных у этой грани, принимаем такими же, как для вертикальных хомутов, т.е. u = 10 см, f_х = 1,54 см².

Из рис. 55,а находим F_а = 43,8 см² (4Æ36 + 2Æ14) и F'_а = 19,92 см² (2Æ22 + 2Æ28); a' = 5 см.

По формуле (156) определяем высоту сжатой зоны x, принимая R_пр = 145 кгс/см² (т.е. при m_б1 = 1,1, поскольку учитывается ветровая нагрузка):

Из табл. 24 и 25 по значениям

χ = M₀/M_к = 50/8,56 = 5,8; λ = Qb/(2M_к) = 47,2·0,3/(2·8,56) = 0,827 < 0,9 и b/h = 30/80 = 0,375

находим k₁ = 0,974 и k₂ ⁼ 1,325.

Проверяем условия (168) и (169), принимая h₀ = 80 - 9 = 71 см:

k₁R_аF_а(h₀ - 0,5x) = 0,974·3400·43,8(71 - 0,5·18,66) = 8940000 кгс·см = 89,4 тс·м > M₀ = 50 тс·м;

k₂R_а.хf_х(h₀ - 0,5x) = 1,325·2700·1,54(71 - 0,5·18,66) = 1020000 кгс·см = 10,2 тс·м > M_к = 8,56 тс·м,

т.е. прочность по 1-й расчетной схеме обеспечена.

Проверим прочность пространственного сечения по 3-й расчетной схеме, согласно п. 3.90 «а», принимая середину проекции пространственного сечения в нулевой точке эпюры M.

Поскольку менее армирована нижняя грань ригеля, принимаем F_а = 19,92 см² (2Æ22 + 2Æ28). Шаг и диаметр хомутов, расположенных у нижней грани, принимаем такими же, как и для вертикальных хомутов, т.е. u = 10 см и f_х = 1,54 см².

Вычислим значения γ, δ и c:

Из рис. 55,б видно, что левая нулевая точка эпюры M отстоит от опоры дальше чем на c/2 = 106,7/2 = 53,3 см. При других комбинациях нагрузок нулевая точка может быть существенно приближена к опоре и учитываемое в расчете значение M_к может возрасти, поэтому принимаем невыгоднейшее расположение нулевой точки на расстоянии c/2 = 53,3 см от опоры.

Значение M_к на этом расстоянии равно

M_к = 8,56(2,45 - 0,533)/2,45 = 6,7 тс·м.

Поскольку γ < 0,5, проверяем условие (171).

Из рис. 55 принимаем h₀ = 80 - 5 = 75 см; a' = 9 см;

R_аF_а(h₀ - a')2γ = 3400·19,92(75 - 9)2·0,184 = 926000 кгс·см = 9,21 тс·м > M_к = 6,7 тс·м,

т.е. прочность по 3-й расчетной схеме обеспечена.

Пример 44. Дано: балка перекрытия с поперечным сечением по рис. 56,а; эпюры крутящих и изгибающих моментов и эпюра расчетных поперечных сил по рис. 56,б; бетон марки М 300 (R_пр = 115 кгс/см² при m_б1 = 0,85); продольная и поперечная арматура класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см², R_а.х = 2700 кгс/см²). Требуется проверить прочность балки на совместное действие кручения и изгиба.

Рис. 56. К примеру расчета 44

Расчет. Разбиваем поперечное сечение на два прямоугольника и проверяем условие (174):

0,1R_прΣb_i²h_i = 0,1·115(20²·40 + 35²·40) = 7,48 тс·м > M_к = 4 тс·м.

Проверяем требование п. 3.30:

0,35R_прbh₀ = 0,35·115·20·75 = 60400 кгс > Q = 28 тс.

Расчет проводим согласно п. 3.92 по 1-й схеме.

Принимаем h = 80 см; h₀ = h_0х = 75 см; b₀ = b = 20 см; b_р = 35 см; F_а = 24,13 см² (3Æ32);

F'_а = 3,08 см² (2Æ14); f_х = 1,54 см² (Æ14); u = 10 см.

Определяем длину проекции c по формуле (176):

c = 2h + b+ 2b_р - 2b₀ = 2·80 + 20+ 2·35 - 2·20 = 210 см.

Так как c = 210 см превышает длину с однозначной эпюрой M_к, принимаем c = 154 см. Значения M и M_к в сечении на расстоянии c/2 от опоры равны M = 21,5 тс·м, M_к = 4 тс·м и, следовательно,

χ = M/M_к = 21,5/4 = 5,375; k = 1.

Определим значение γ_мин:

Так как

то продольное армирование учитываем полностью.

Высоту сжатой зоны определяем как для прямоугольного сечения:

при этом x = 31,1 см < ξ_R/h₀ = 0,625·75 = 46,9 см.

Проверяем прочность из условия (175):

т.е. прочность при 1-й схеме обеспечена.

Расчет по 3-й схеме.

Принимаем h = 80 см; h₀ = h₀_х = 75 см; b₀ = b_р = 20 см; b = 35 см; F_а = 3,08 см²; F'_а = 24,13 см²; f_х = 1,54 см; u = 10 см;

с = 2h + b + 2b_р - 2b₀ = 2·80 + 35 + 2·20 - 2·20 = 195 см >154 см.

Принимаем аналогично с расчетом по 1-й схеме c = 154 см; M_к = 4 тс·м; M = 21,5 тс·м.

Проверяем условие (178):

т.е. расчет по 3-й схеме не производится.

Расчет по 2-й схеме.

Принимаем h = 20 см; h₀ = h_0х = 20 - 5 = 15 см; b = 80 см; b_св = 15 см;

F_а = F'_а = 10,71 см² (1Æ32 + 1Æ12 + 1Æ14); f_х = 1,54 см² (Æ14); u = 10 см;

c = 2h + 2b_св + b = 2·20 + 2·15 + 80 = 150 см < 154 см;

M_к = 4 тс·м; Q = 28 тс;

γ_мин = 0,3.

Так как

то продольную арматуру учитываем в расчете полностью.

Высоту сжатой зоны определим без учета сжатой арматуры, поскольку значение a' = 5 см составляет значительную долю от величины h₀ = 15 см:

Проверяем прочность из условия (175), учитывая, что b = b_р:

χ = 0;

т.е. прочность по 2-й схеме обеспечена.

Расчет железобетонных элементов на местное действие нагрузок

Расчет на местное сжатие

3.95(3.44). При расчете на местное сжатие (смятие) элементов без косвенного армирования должно удовлетворяться условие

N ≤ μ_смR_смF_см, (182)

где N - продольная сжимающая сила от местной нагрузки;

F_см - площадь смятия;

μ_см - коэффициент, принимаемый равным:

при равномерном распределении местной нагрузки на площади смятия - 1;

при неравномерном распределении местной нагрузки на площади смятия (под концами балок, прогонов, перемычек) - 0,75;

R_см - расчетное сопротивление бетона смятию, определяемое по формуле

R_см = γ_бR_пр; (183)

здесь , но не более следующих значений:

при схеме приложения нагрузки по рис. 57,а, в, г, е, и - 2,5;

при схеме приложения нагрузки по рис. 57,б, д, ж - 1;

R_пр - принимается как для бетонных конструкций (см. поз. 2 табл. 7);

F_р - расчетная площадь, определяемая по указаниям п. 3.96.

Если условие (182) не удовлетворяется, то рекомендуется применять косвенное армирование в виде сварных сеток и рассчитывать элемент в соответствии с п. 3.97.

Рис. 57. Определение расчетной площади F_р при расчете на местное сжатие

1 - расчетная площадь, учитываемая только при наличии косвенной арматуры

3.96(3.45). В расчетную площадь F_р включается участок, симметричный по отношению к площади смятия (рис. 57). При этом должны выполняться следующие правила:

а) при местной нагрузке по всей ширине элемента t в расчетную площадь включается участок длиной не более t в каждую сторону от границы местной нагрузки (рис. 57,а);

б) при местной краевой нагрузке по всей ширине элемента расчетная площадь F_р равна площади смятия F_см (рис. 57,б);

в) при местной нагрузке в местах опирания концов прогонов и балок в расчетную площадь включается участок шириной, равной глубине заделки прогона или балки, и длиной не более расстояния между серединами примыкающих к балке пролетов (рис. 57,в); если расстояние между балками превышает двойную ширину элемента, длина расчетной площади определяется как сумма ширины балки и удвоенной ширины элемента (рис. 57,г);

г) при местной краевой нагрузке на угол элемента (рис. 57,д) расчетная площадь F_р равна площади смятия F_см;

д) при местной нагрузке, приложенной на части длины и ширины элемента, расчетная площадь принимается согласно рис. 57,е. При наличии нескольких нагрузок указанного типа расчетные площади ограничиваются линиями, проходящими через середину расстояний между точками приложения двух соседних нагрузок;

е) при местной краевой нагрузке, расположенной в пределах выступа стены (пилястры) или простенка таврового сечения, расчетная площадь равна площади смятия F_см (рис. 57,ж);

ж) при определении расчетной площади для сечений сложной формы не должны учитываться участки, связь которых с загруженным участком не обеспечена с необходимой надежностью (например, участки 2 и 3 на рис. 57,и).

Примечание. При местной нагрузке от балок, прогонов, перемычек и других элементов, работающих на изгиб, учитываемая в расчете глубина опоры при определении F_см и F_р принимается не более 20 см.

3.97(3.46). При расчете на местное сжатие железобетонных элементов с косвенным армированием в виде сварных поперечных сеток должно удовлетворяться условие

N ≤ R*_смF_см, (184)

где F_см - площадь смятия;

R*_см - приведенная прочность бетона на смятие, определяемая по формуле

R*_см = R_прγ_б + kμ_к^сR_а^сγ_к. (185)

В формуле (185):

(186)

но не более 3,5;

γ_к = 4,5 - 3,5F_см/F_я; (187)

F_р - расчетная площадь, определяемая в соответствии с требованиями п. 3.96 (для схем приложения местной нагрузки по рис. 57,б, д, ж в нее включается площадь, ограниченная пунктирной линией);

F_я - площадь бетона, заключенного внутри контура сеток косвенного армирования; для схем приложения местной нагрузки по рис. 57,а, в, г, е, и должно удовлетворяться условие F_см < F_я ≤ F_р, а для схем по рис. 57,б, д, ж F_я должно быть не менее F_р, при этом в формулу (187) подставляется F_я = F_р;

R_а^c, k, μ_к^c - обозначения те же, что и в п. 3.60.

Рис. 58. Схема пирамиды продавливания при угле наклона ее боковых граней к горизонтали

а - равном 45°; б - большем 45°

Рис. 59. Схема пирамиды продавливания во внецентренно-нагруженном фундаменте

Расчет на продавливание

3.98(3.47). Расчет на продавливание плитных конструкций (без поперечной арматуры) от действия сил, равномерно распределенных на ограниченной площади, должен производиться из условия

P ≤ R_рb_срh₀, (188)

где P - продавливающая сила;

b_ср - среднее арифметическое величин периметров верхнего и нижнего основания пирамиды, образующейся при продавливании в пределах рабочей высоты сечения h₀.

При определении величин b_ср и P предполагается, что продавливание происходит по боковой поверхности пирамиды, меньшим основанием которой служит площадь действия продавливающей силы, а боковые грани наклонены под углом 45° к горизонтали (рис. 58).

Величина продавливающей силы P принимается равной величине продольной силы N, действующей на пирамиду продавливания, за вычетом нагрузок, приложенных к большему основанию пирамиды продавливания (считая до плоскости расположения растянутой арматуры) и сопротивляющихся продавливанию.

Если схема опирания такова, что продавливание может происходить только по поверхности пирамиды с углом наклона боковых граней больше 45° (например, в свайных ростверках, рис. 58,б), правая часть условия (188) умножается на величину h₀/c, но не более 2,5, где c - длина горизонтальной проекции боковой грани пирамиды продавливания.

При установке в пределах пирамиды продавливания поперечной арматуры расчет должен производиться из условий:

P ≤ 1,4R_рb_срh₀; (189)

P ≤ R_а.хF_х.п, (190)

где F_х.п - площадь поперечной арматуры, пересекающей боковые грани пирамиды продавливания.

Поперечное армирование и размеры плит независимо от результатов расчета должны удовлетворять конструктивным требованиям пп. 5.4 и 5.79.

Кроме расчета на продавливание должен производиться расчет на действие поперечных сил.

В случае продавливания безбалочных перекрытий при наличии стальных воротников должны учитываться специальные указания.

3.99. Для центрально-нагруженных прямоугольных, а также внецентренно-нагруженных квадратных и прямоугольных фундаментов расчет на продавливание производится из условия (188) отдельно для каждой грани пирамиды продавливания. При этом средний периметр пирамиды продавливания b_ср заменяется средним размером ее грани b_ср = (b₀ + b_н)/2 (см. рис. 59), а величина силы P принимается равной Fp_гр, где F - часть площади основания фундамента, ограниченная нижним основанием рассматриваемой грани пирамиды продавливания и продолжением соответствующих ребер (многоугольник AВСДЕG, см. рис. 59); p_гр - наибольшее краевое давление на грунт при расчете в плоскости эксцентрицитета, а при расчете в перпендикулярной плоскости p_гр - среднее давление на грунт в пределах расчетной площади F (многоугольника BCFH). Значение p_гр определяется без учета веса фундамента и грунта на его уступах.

Для ступенчатых фундаментов должна производиться проверка на продавливание от каждой вышележащей ступени (рис. 63).

Если рабочая высота фундамента (или его ступени) превышает 0,6 вылета соответствующей консоли l_к (см. рис. 59), следует также провести расчет этой консоли на действие поперечной силы из условия (64) п. 3.42.

При соединении колонны с фундаментом стаканного типа расчет фундамента на продавливание производится с учетом указаний специального руководства.

Расчет на отрыв

3.100(3.48). Расчет на отрыв растянутой зоны элемента от действия нагрузки, подвешенной к элементу или приложенной в пределах высоты его сечения (рис. 60), должен производиться из условия

P_от ≤ R_аF_х.д, (191)

где P_от - отрывающее усилие;

F_х.д - площадь дополнительной, сверх требуемой по расчету наклонного сечения, поперечной арматуры (подвески, хомуты и т.п.), расположенной на длине зоны отрыва s.

Длина зоны отрыва s при нагрузке, распределенной по ширине b₁, принимается равной

s = 2h₁ + b₁, (192)

где h₁ - расстояние от уровня передачи нагрузки (при примыкающих друг к другу элементах - от центра тяжести сжатой зоны элемента, вызывающего отрыв) до центра тяжести сечения арматуры A.

Если при отсутствии кручения поперечная арматура в виде хомутов поставлена сверх требуемой по расчету наклонного сечения, то площадь дополнительных хомутов на длине зоны отрыва s принимается равной

(193)

где ΣF_х - площадь всех хомутов на длине зоны отрыва s;

Q₁ и Q₂ - поперечные силы в месте приложения силы P_от (т.е. Q₁ - Q₂ = P_от).

3.101. Входящие углы в растянутой зоне элементов, армируемые пересекающимися продольными стержнями (рис. 61), должны иметь поперечную арматуру, достаточную для восприятия:

а) равнодействующей усилий в продольных растянутых стержнях, не заведенных в сжатую зону, равной

P₁ = 2R_аF_а1cos(γ/2); (194)

б) 35 % равнодействующей усилий во всех продольных растянутых стержнях

P₂ = 0,7R_аF_аcos(γ/2) (195)

Рис. 60. Схема определения длины зоны отрыва

1 - центр тяжести сжатой зоны сечения примыкающего элемента

Рис. 61. Армирование входящего, угла расположенного в растянутой зоне железобетонного элемента

Необходимая по расчету из этих условий поперечная арматура должна быть расположена на длине

s = htg(4γ/8). (196)

Сумма проекций усилий в поперечных стержнях (хомутах), располагаемых по этой длине, на биссектрису угла γ должна составлять не менее суммы P₁ + P₂, т.е.

ΣR_аF_хcosα > P₁ + P₂. (197)

В формулах (194) - (197) приняты обозначения:

F_а- площадь сечения всех продольных растянутых стержней;

F_а1 - площадь сечения продольных растянутых стержней, не заанкеренных в сжатой зоне;

γ - входящий угол в растянутой зоне элемента;

ΣF_х - площадь сечения поперечной арматуры в пределах длины s;

α - угол наклона поперечных стержней к биссектрисе угла γ.

Примеры расчета

Расчет на местное сжатие (смятие)

Пример 45. Дано: на железобетонный фундамент опирается стальная стойка, центрально-нагруженная усилием N = 100 тс, как показано на рис. 62; бетон фундамента марки М 150 (R_пр = 60 кгс/см² при m_б1 = 0,85).

Требуется проверить прочность бетона под стойкой на местное сжатие (смятие).

Расчет. Расчет производим в соответствии с указаниями пп. 3.95 и 3.96.

Расчетную площадь F_р определяем по п. 3.96,д.

Рис. 62. К примеру расчета 45

Согласие рис. 62, имеем c₁ = 20 см; c₂ = 20 см < b = 80 см; A = 20·2 + 30 = 70 см; B = 20·2 + 20 = 60 см; F_р = A·B = 70·60 = 4200 см².

Площадь смятия равна F_см = 30·20 = 600 см².

Коэффициент γ_б равен

Определяем расчетное сопротивление бетона смятию по формуле (183), принимая R_пр по табл. 7 как для бетонной конструкции - R_пр = 50 кгс/см²; R_см = γ_бR_пр = 1,9·50 = 95 кгс/см².

Проверяем условие (182), принимая μ_см = 1 как при равномерном распределении нагрузки. Тогда

μ_смR_смF_см = 95·600 = 57000 кгс = 57 тс < N = 100 тс,

т.е. прочность бетона на местное сжатие не обеспечена и необходимо применить косвенное армирование.

Принимаем косвенное армирование в виде сеток из обыкновенной арматурой проволоки класса В-I диаметром 3 мм, с ячейкой 100 × 100 мм и шагом по высоте s = 100 мм (R_а^с = 3150 кгс/см²).

Проверяем прочность согласно указаниям п. 3.97.

Так как γ_б = 1,9 < 3,5, то в расчет вводим γ_б = 1,9. Коэффициент косвенного армирования сетками μ_к^с определяем по формуле (88).

Из рис. 62 имеем: n₁ = 5; l₁ = 30 см; n₂ = 4; l₂ = 40 см; f_с1 = f_с2 = 0,071 (Æ3); F_я= l₁·l₂ = 30·40 = 1200 см² > F_см = 600 см².

Тогда

По формулам (87) и (86) определяем α_с и k:

Коэффициент γ_к равен

γ_к = 4,5 - 3,5F_см/F_я = 4,5 - 3,5·600/1200 = 2,75.

Приведенная прочность бетона R*_см определяется по формуле (185):

R*_см = R_прγ_б + kμ_к^сR_а^сγ_к = 60·1,9 + 3,56·0,00183·3150·2,75 = 1,70,4 кгс/см².

Проверяем условие (184):

R*_смF_см = 170,4·600 = 102,2 тс > N = 100 тс,

т.е. прочность бетона обеспечена.

Расчет на продавливание

Пример 46. Дано: внецентренно-нагруженный прямоугольный фундамент с размерами по рис. 63; бетон марки М 150 (R_р = 5,4 кгс/см² при учете m_б1 = 0,85); нормальная сила, приложенная к верхнему обрезу фундамента N = 220 тс; момент относительно оси проходящей через центр тяжести подошвы фундамента параллельно меньшей его стороне, M = 11 тс·м.

Рис. 63. К примеру расчета 46

Требуется проверить прочность фундамента на продавливание.

Расчет. Проверяем грань пирамиды продавливания, параллельную меньшей стороне подошвы фундамента и начинающуюся от грани подколонника (рис. 63).

Площадь подошвы фундамента и ее момент сопротивления равны: F_ф = 1,8·3 = 5,4 м²; W_ф = 1,8·3²/6 = 2,7 м³.

Определяем наибольшее краевое давление на грунт по формуле

P_гр = N/F_ф + M/W_ф = 220/5,4 + 11/2,7 = 4,48 кгс/см².

Рабочая высота фундамента h₀ = 60 - 5 = 55 см.

Верхняя сторона грани пирамиды продавливания равна размеру подколонника, т.е. b₀ = 90 см.

Нижняя сторона грани пирамиды продавливания на уровне рабочей арматуры равна всей ширине подошвы, т.е. b_н = 180 см, поскольку:

b₀ + 2h₀ = 90 + 2·55 = 200 см > b_н = 180 см;

b_ср = (b₀ + b_н)/2 = (90 + 180)/2 = 135 см.

Определяем площадь F прямоугольника AВСД (рис. 63), с которой собирается нагрузка, действующая на рассматриваемую грань:

F = 180·50 = 9000 см².

Проверяем условие (188):

R_рb_срh₀ = 5,4·135·55 = 40,1 тс @ P = p_грF = 4,48·9000 = 40,3 тс,

т.е. прочность рассматриваемой грани обеспечена.

Поскольку рабочая высота h₀ = 55 см < 0,6l_к = 0,6·105 = 63 см (см. рис. 63), расчет на действие поперечной силы не производим.

Проверяем грань пирамиды продавливания, начинающуюся от грани верхнего уступа. Рабочая высота нижнего уступа равна h₀ = 30 - 5 = 25 см.

Верхняя и нижняя стороны грани пирамиды продавливания равны ширине подошвы фундамента, т.е. b_ср = 180 см.

Определяем площадь F прямоугольника ABEG (рис. 63), с которой собирается нагрузка, действующая на рассматриваемую грань:

F = (45 - 25)180 = 3600 см².

Проверяем условие (188):

R_рb_срh₀ = 5,4·1800·25 = 24300 кгс > Fp_гр = 3600·4,48 = 16100 кгс,

т.е. прочность рассматриваемой грани обеспечена.

Поскольку рабочая высота нижнего уступа h₀ = 25 см < 0,6l_к1 = 0,6·45 = 27 см (см. рис. 63), расчет нижнего уступа на действие поперечной силы не производим.

Из рис. 63 видно, что грань пирамиды продавливания, параллельная большей стороне фундамента, не пересекает подошву фундамента, поэтому прочность на продавливание по этой грани заведомо обеспечена.

Расчет коротких консолей

3.102(3.37). Короткие консоли (l_к ≤ 0,9 h₀, рис. 64), поддерживающие балки, фермы и т.п., следует рассчитывать на действие поперечной силы из условия

(198)

в котором правая часть неравенства принимается не более 2,5R_рbh₀.

Рис. 64. Расчетная схема для короткой консоли при расчете ее по прочности на действие поперечной силы

В условии (198):

Q_к - поперечная сила, действующая на консоль в пределах ее вылета;

k₄ - коэффициент, принимаемый равным:

при кранах весьма тяжелого режима работы - 0,5, при кранах тяжелого режима работы - 0,75, при кранах среднего и легкого режима работы - 1, при статической нагрузке - 1;

a - расстояние от точки приложения силы Q_к до опорного сечения консоли (рис. 64);

b и h₀ - принимаются в опорном сечении.

Для коротких консолей, входящих в жесткий узел рамной конструкции, в правую часть условия (198) вводится коэффициент, равный 1,25.

Расчет согласно указаниям настоящего пункта распространяется на короткие консоли с углом наклона α сжатой грани консоли к горизонтали не более 45 °С и с высотой сечения h_к у свободного края не менее ¹/₃ высоты опорного сечения h (рис. 64).

Напряжение смятия в местах передачи нагрузки на консоль не должно превышать R_пр.

При определении значения a для консолей, на которые шарнирно опираются сборные балки, идущие вдоль вылета, при отсутствии специальных выступающих закладных деталей, фиксирующих площадку опирания, принимается, что балка опирается на площадку длиной l_оп = Q_к/(b_бR_пр) (где b_б - ширина площадки опирания балки на консоль), расположенную у свободного конца консоли (рис. 65). При этом нагрузка на консоль принимается распределенной равномерно на длине площадки опирания. Нагрузка на короткую консоль, входящую в жесткий узел рамной конструкции, принимается равномерно распределенной по фактической площадке опирания ригеля.

Рис. 65. Расчетная схема для короткой консоли при отсутствии фиксированной площадки опирания

а - при l_оп < l_к; б - l_оп < l_к

Во всех случаях, если вылет консоли l_к меньше длины площадки опирания (рис. 65,б), в условии (198) учитывается нагрузка на консоль, находящаяся только в пределах вылета консоли.

3.103. В коротких консолях, примыкающих к колоннам или к другим элементам большей высоты, выступающим за сжатую грань консолей не менее чем на половину высоты консоли в месте примыкания ее к колонне или к другому элементу, сечение продольной арматуры подбирается по изгибающему моменту, действующему по грани примыкания консоли к элементу, увеличенному на 25 %. В остальных случаях, а также если консоль является продолжением свободно лежащей на опоре балки или плиты, сечение продольной арматуры подбирается по моменту, действующему по оси опоры и увеличенному на 25 %.

При опирании сборных балок, идущих вдоль вылета консоли, при отсутствии специальных выступающих закладных деталей, фиксирующих площадку опирания, изгибающий момент определяется по формуле

(199)

При этом если l_к > l_оп = , учитывается нагрузка Q_к, находящаяся в пределах вылета консоли l_к.

Продольная арматура соответствующего сечения должна быть доведена до конца консоли.

В консолях, для которых коэффициент k₄ в условии (198) составляет более 0,5 и расстояние l₃ от центра груза до конца арматуры (см. рис. 64) не превышает: при бетоне проектной марки ниже М 300 - 15d: при бетоне проектной марки М 300 и выше - 10d, продольная арматура должна быть снабжена анкерами в виде шайб или уголков. Конструкция анкеров должна удовлетворять требованиям п. 5.49 «б».

Кроме того, армирование консолей должно удовлетворять требованиям п. 5.81.

Примечание. Постановка анкеров не обязательна в консолях, на которые опираются сборные балки, идущие вдоль вылета консолей, если стыки этих балок надежно замоноличены, арматура в них поставлена как в раме с жесткими узлами, а нижняя арматура балок приварена к арматуре консолей через закладные детали.

Примеры расчета

Короткие консоли

Пример 47. Дано: на короткую консоль колонны опирается свободно лежащая сборная балка (рис. 66) с шириной понизу b_б = 130 см, идущая вдоль вылета консоли; ширина консоли (колонны) b = 40 см; вылет консоли l_к = 35 см; угол наклона сжатой грани консоли к горизонтали α = 45°; марка бетона колонны М 200 (R_пр = 75 кгс/см², R_р = 6,5 кгс/см² при m_б1 = 0,85); продольная и наклонная арматура консоли класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²); нагрузка на консоль от балки равна Q_к = 50 тс.

Рис. 66. К примеру расчета 47

Требуется определить минимальные размеры консоли и площадь сечения продольной и наклонной арматуры консоли.

Расчет. Определяем расчетную длину площадки опирания балки на консоль.

Расчетная длина площадки опирания меньше вылета консоли l_оп = 22,22 см < l_к = 35 см и не превышает фактической длины площадки опирания (35 - 5) см (т.е. напряжения смятия не превышают R_пр).

Минимальную рабочую высоту консоли определяем из условия (198) в опорном сечении

a = l_к - l_оп/2 = 35 - 22,2/2 = 23,9 см;

k₄ = 1 (как для статической нагрузки);

Принимаем h₀ = 77 см, а h = 80 см. Тогда высота свободного края консоли равна h_к = h - l_кtgα = 80 - 35tg45° = 45 см > h/3 = 80/3 = 26,7 см.

Оставляем h_к = 45 см.

Определяем момент в сечении примыкания консоли к колонне по формуле (199):

Принимая в расчете большое количество сжатой арматуры, площадь растянутой арматуры определяем из формулы (19):

Принимаем 3Æ16 (F_а = 6,03 см²).

Так как h = 80 см > 2,5a = 2,5·23,9 = 59,8 см, согласно п. 5.81, консоль армируется отогнутыми стержнями и наклонными хомутами, суммарную площадь которых определяем по формуле

f_о = 0,002bh₀ = 0,002·40·77 = 6,16 см².

Принимаем f_о = 6,16 см² (4Æ14).

Расчет закладных деталей и соединений элементов

Расчет закладных деталей

3.104(3.49). Расчет анкеров, приваренных втавр к плоским элементам стальных закладных деталей, на действие изгибающих моментов, нормальных и сдвигающих сил (рис. 67) должен производиться по формуле

(200)

где F_ан - суммарная площадь поперечного сечения анкеров наиболее напряженного ряда;

N_ан - наибольшее растягивающее усилие в одном ряду анкеров, равное

(201)

Q_ан - сдвигающее усилие, приходящееся на один ряд анкеров, равное

(202)

здесь N'_ан - наибольшее сжимающее усилие в одном ряду анкеров, определяемое по формуле

(203)

M, N и Q - соответственно момент, нормальная и сдвигающая силы, действующие на закладную деталь; величина момента определяется относительно оси, расположенной в плоскости наружной грани пластины и проходящей через центр тяжести всех анкеров;

n_ан - число рядов анкеров (при определении сдвигающего усилия Q_ан учитывается не более четырех рядов);

z - расстояние между крайними рядами анкеров;

k₁ - коэффициент, определяемый по формуле

(204)

но принимаемый не менее 0,15; коэффициент ω принимается равным:

ω = 0,3N_ан/Q_ан при N'_ан ≥ 0;

ω = 0,6N/Q при N'_ан < 0;

k - коэффициент, определяемый для анкерных стержней диаметром 8 - 25 мм и тяжелого бетона марок М 150 - М 600 по формуле

(205)

но принимаемый не более 0,7; для бетона марки выше М 600 коэффициент k принимается как для марки М 600.

Рис. 67. Схема усилий, действующих на закладную деталь

В формуле (205):

R_пр, R_а - в кгс/см²;

f_ан - площадь анкерного стержня наиболее напряженного ряда, см².

Коэффициент k можно также определять по табл. 26.

Площадь сечения анкеров остальных рядов должна приниматься равной площади сечения анкеров наиболее напряженного ряда.

В формулах (201) и (203) нормальная сила N считается положительной, если она направлена от закладной детали, и отрицательной, если она направлена к ней. Если нормальные усилия N_ан и N'_ан, а также сдвигающее усилие Q_ан при вычислении по формулам (201) - (203) получают отрицательные значения, то в формулах (200), (202) и (204) они принимаются равными нулю.

Кроме того, если N_ан получает отрицательное значение, то в формуле (202) принимается N'_ан = N.

При расположении закладной детали на верхней (при бетонировании) поверхности изделия коэффициент k уменьшается на 20 %, а значение N'_ан принимается равным нулю.

3.105(3.50). Расчет анкеров, приваренных к пластине внахлестку, на действие сдвигающей силы должен производиться по формуле

F_ан = Q/R_а, (206)

Сопротивление анкеров, приваренных внахлестку, действию сдвигающей силы учитывается при Q > N (где N - растягивающая сила) и угле отгиба этих анкеров от 15 до 30°. При этом должны устанавливаться анкеры, приваренные втавр и рассчитываемые по формуле (200) при k₁ = 1 и при значении Q_ан равном 0,1 от сдвигающего усилия, определенного по формуле (202).

Приваренные к пластине упоры из полосовой стали или арматурных коротышей (см. п. 5.113) могут воспринимать не более 30 % сдвигающей силы при напряжениях в бетоне под упорами, равных R_пр. При этом значение Q в формулах (202) и (206) соответственно снижается.

Таблица 26

Диаметр анкеров, мм	Значения коэффициента k для расчета анкеров закладных деталей при марках бетона и классах арматуры
	М 200			М 300			М 400			М 500			М 600 и выше
	А-I	А-II	А-III	А-I	А-II	А-III	А-I	А-II	А-III	А-I	А-II	А-III	А-I	А-II	А-III
8	0,64	-	0,50	0,70	-	0,57	0,70	-	0,62	0,7	-	0,67	0,7	-	0,70
10	0,61	0,54	0,48	0,70	0,62	0,55	0,70	0,67	0,60	0,7	0,70	0,64	0,7	0,7	0,67
12	0,58	0,52	0,46	0,67	0,59	0,53	0,70	0,64	0,57	0,7	0,69	0,61	0,7	0,7	0,64
14	0,55	0,49	0,44	0,63	0,56	0,50	0,69	0,61	0,55	0,7	0,66	0,58	0,7	0,69	0,61
16	0,53	0,46	0,41	0,6	0,53	0,47	0,65	0,58	0,52	0,70	0,62	0,55	0,7	0,65	0,58
18	0,50	0,44	0,39	0,57	0,50	0,45	0,62	0,55	0,49	0,66	0,58	0,52	0,69	0,61	0,54
20	0,47	0,41	0,37	0,53	0,47	0,42	0,58	0,51	0,46	0,62	0,55	0,49	0,65	0,57	0,51
22	0,44	0,38	0,34	0,50	0,44	0,4	0,55	0,48	0,43	0,58	0,51	0,46	0,61	0,54	0,48
25	0,40	0,35	0,31	0,45	0,40	0,35	0,49	0,43	0,39	0,53	0,47	0,41	0,55	0,49	0,43
Примечание. При марке бетона М 150 коэффициент k следует уменьшать на 10 % по сравнению с коэффициентом k для бетона марки М 200.

3.106(3.51). Конструкция закладных деталей с приваренными к ним элементами, передающими нагрузку на закладные детали, должна обладать достаточной жесткостью для обеспечения равномерного распределения усилий между растянутыми анкерами и равномерной передачи сжимающих усилий на бетон. Стальные элементы закладных деталей и их сварные соединения рассчитываются согласно главе СНиП по проектированию стальных конструкций.

Толщина пластин закладных деталей δ_п при анкерах, приваренных втавр, должна удовлетворять условию

δ_п ≥ 0,25dR_а/R_ср, (207)

где d - диаметр анкеров;

R_ср - расчетное сопротивление стали на срез, принимаемое согласно главе СНиП по проектированию стальных конструкций (для стали класса С38/23 R_ср = 1300 кгс/см²).

3.107. Если выполняется условие

N'_ан ≤ 0, (208)

где N'_ан - см. п. 3.104, т.е. если все анкеры закладной детали растянуты, следует производить расчет на выкалывание бетона следующим образом:

а) при анкерах с усилением на концах (см. п. 5.116) расчет производится из условия

(209)

где П - площадь проекции на плоскость, нормальную к анкерам, поверхности выкалывания, идущей от краев анкерных пластин или высаженных головок всех анкеров под углом 45° к осям анкеров; при эксцентрицитете силы N относительно центра тяжести анкеров e₀ = M/N размер площади П в направлении этого эксцентрицитета уменьшается на 2e₀ при соответствующем смещении наклонной грани поверхности выкалывания (рис. 68); площади анкерных пластин или высаженных головок, расположенных на поверхности выкалывания, не учитываются;

a₁ и a₂ - размеры площади П;

e₁ и e₂ - эксцентрицитеты силы N относительно центра тяжести площади П в направлении соответственно размеров a₁ и a₂;

б) при анкерах без усиления на концах расчет производится из условия

(210)

где П_h - то же, что и П при поверхности выкалывания, идущей от анкеров на расстоянии h по длине анкера от пластины закладной детали (рис. 69);

a_h₁ и a_h₂ - размеры площади П_h;

e_h₁ и e_h₂ - эксцентрицитеты силы N относительно центра тяжести площади П_h в направлении соответственно размеров a_h₁ и a_h₂;

Σf_а_i - площадь сечения всех анкеров, пересекающих поверхность выкалывания;

l_х_i- расстояние от конца i-го анкера до поверхности выкалывания;

l_ан - длина зоны анкеровки (см. п. 5.115);

условие (210) проверяется при различных значениях h, меньших длины анкеров.

Если число рядов анкеров в направлении эксцентрицитета e₀ превышает два, то в условиях (209) и (210) силу N можно уменьшить на (1 - 2/n_ан)M/z (где n_ан, M и z - см. п. 3.104).

Если N'_ан ≥ 0, расчет на выкалывание производится при длине анкеров, меньшей l_ан, и при наличии усиления на их концах из условия

N_ан ≤ 0,5П₁R_р, (211)

где N_ан - см. п. 3.104;

П₁ - то же, что и П при поверхности выкалывания, начинающейся от краев анкерных пластин или высаженных головок анкеров наиболее растянутого ряда (рис. 70).

Рис. 68. Схема выкалывания бетона анкерами закладной детали с усилениями на концах при N'_ан < 0

1 - точка приложения нормальной силы N; 2 - поверхность выкалывания; 3 - проекция поверхности выкалывания на плоскость, нормальную к анкерам

Рис. 69. Схема выкалывания бетона анкерами закладной детали без усилений на концах при N'_ан < 0

При этом для колонн расчет на выкалывание можно не производить, если концы анкеров заведены за продольную арматуру, расположенную у противоположной от закладной детали грани колонны, а усиления анкеров в виде пластин или поперечных коротышей зацепляются за стержни этой арматуры диаметром: не менее 20 мм при симметричном зацеплении и не менее 25 мм при несимметричном зацеплении (рис. 71). В этом случае участок колонны между крайними рядами анкеров проверяется, согласно п. 3.32, на действие поперечной силы, равной Q = N_ан ± Q_к, где Q_к - поперечная сила на участке колонны, прилежащем к наиболее растянутому ряду анкеров закладной детали; значение Q_к определяется с учетом действующих на закладную деталь усилий.

3.108. Если сдвигающая сила Q действует на закладную деталь в направлении к краю элемента (рис. 72), то при отсутствии анкеров, приваренных внахлестку, следует производить расчет на откалывание бетона из условия

Q ≤ 0,5R_рbh₁, (212)

где h₁ - расстояние от центра тяжести анкеров закладной детали до края элемента в направлении сдвигающей силы Q;

b - ширина откалывающейся части элемента, принимаемая не более 2h₁.

Если условие (212) не выполняется, то к закладной детали приваривают внахлестку анкеры или по грани элемента с закладной деталью устанавливают, согласно п. 3.100, дополнительные хомуты, воспринимающие сдвигающую силу Q.

3.109. При наличии на концах анкеров закладной детали усилений в виде анкерных пластинок или высаженных головок бетон под этими усилениями должен быть проверен на смятие из условия

N_см ≤ γ_бR_прF_см, (213)

где γ_б - коэффициент, определяемый согласно п. 3.95 и принимаемый не более: 2,5 - при бетоне марок М 400 и ниже, 2 - при бетоне марок выше М 400;

Рис. 70. Схема выкалывания бетона растянутыми анкерами закладной детали при N'_ан ≥ 0

1 - проекция поверхности выкалывания на плоскость, нормальную к анкерам; 2 - анкерная пластина

Рис. 71. Конструкция закладной детали, при которой не требуется расчет на выкалывание

1 - поперечные коротыши, приваренные контактной сваркой к анкерам (2); 3 - анкерные пластинки; а - закладная деталь с коротышами, симметрично зацепленными за продольную арматуру колонны; б - эпюра Q участка колонны с закладной деталью; в - анкеры закладной детали с анкерными пластинами, несимметрично зацепленными за продольную арматуру колонны

Рис. 72. Схема, принимаемая при расчете на откалывание бетона анкерами закладной детали

F_см - площадь анкерной пластины или сечения высаженной головки за вычетом площади сечения анкера;

N_см - сила смятия, определяемая следующим образом:

а) для анкеров, приваренных втавр, длиной l_а не менее 15d, если вдоль анкера возможно образование трещин от растяжения бетона,

N_см = N_ан/n_а, (214)

если образование таких трещин невозможно,

(215)

б) для анкеров, приваренных втавр, длиной l_а менее 15d значение N_см, определенное по формулам (214) и (215), увеличивается на

(216)

в) для анкеров, приваренных внахлестку

N_см = Q/n_от.

В формулах настоящего пункта:

N_ан, n_ан и Q_ан - см. п. 3.104;

n_а - число анкеров наиболее напряженного ряда;

l_ан - длина зоны анкеровки, определяемая согласно п. 5.48;

n_от - число анкеров, приваренных внахлестку.

Примеры расчета

Расчет закладных деталей

Пример 48. Дано: к закладной детали колонны приварен столик для опирания обвязочных балок; размеры закладной детали, а также расположение и величины нагрузок от обвязочных балок - по рис. 73; анкеры из арматуры класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²); бетон колонны марки М 200 (R_пр = 75 кгс/см², R_р = 6,5 кгс/см² при m_б1 = 0,85).

Требуется запроектировать анкеры закладной детали и определить толщину пластины.

Расчет. Принимаем расположение анкеров, приваренных втавр, как показано на рис. 73. Суммарную площадь поперечного сечения анкеров наиболее напряженного верхнего ряда определяем по формуле (200).

Для этого вычисляем момент внешних сил

M = Ql = 15·0,15 = 2,25 тс·м (см. рис. 73).

Принимая z = 30 см N = 0, определим наибольшее растягивающее усилие в рассматриваемых анкерах по формуле (201):

N_ан = M/z = 2,25/0,3 = 7,5 тс.

Сдвигающая сила Q = 15 тс, число рядов анкеров n_ан = 3.

Рис. 73. К примеру расчета 48

Сдвигающее усилие Q_ан, приходящееся на один ряд анкеров, вычисляем по формуле (202), принимая N_ан = N'_ан = 7,5 тс:

Q_ан = (Q - 0,3N'_ан)/n_ан = (15 - 0,3·7,5)/3 = 4,25 тс.

Коэффициент k₁ определяем по формуле (204).

Так как N'_ан > 0,

ω = 0,3N_ан/Q_ан = 0,3·7,5/4,25 = 0,529.

Отсюда

Задаваясь диаметром анкеров 16 мм, по табл. 26 при марке бетона М 200 и анкерах из арматуры класса А-III находим k = 0,41. Тогда

Принимаем по два анкера в каждом ряду диаметром 18 мм (F_ан = 5,09 см²).

Проверим значение F_ан при коэффициенте k, соответствующем принятому диаметру 18 мм, т.е. при k = 0,39:

Из условий размещения анкеров в колонне длину анкеров принимаем равной 30 см, что меньше минимально допустимой длины анкеров, равной l_ан = 35d = 35·1,8 = 63 см (см. табл. 48). Следовательно, согласно п. 5.116, концы анкеров усиливаем высаженными головками диаметром d_гол = 3d и проверяем бетон на смятие под высаженной головкой и на выкалывание. При этом длина анкера 30 см >10d = 10·1,8 = 18 см, т.е. допустима для анкеров с усилением на конце.

Расчет на смятие ведем согласно п. 3.109.

Площадь смятия F_см под высаженной головкой одного анкера равна

Поскольку l_а = 30 см > 15d = 15·1,8 = 27 см, а в колонне со стороны закладной детали возможны растягивающие напряжения, значение N_см принимаем по формуле (214)

N_см = N_ан/n_а = 7,5/2 = 3,75 тс.

Проверяем условие (213), принимая γ_б = 2,5:

γ_бR_прF_см = 2,5·75·20,3 = 3800 кгс = 3,8 тс > N_см = 3,75 тс,

т.е. прочность на смятие обеспечена.

Расчет на выкалывание ведем согласно п. 3.107.

Поскольку N'_ан > 0 и концы анкеров с усилением не заведены за продольную арматуру колонны, расположенную у противоположной от закладной детали грани, расчет ведем из условия (211).

Вычисляем значение П₁, принимая расположение анкеров по рис. 73.

П₁ = (5,4 + 2·30)40 - 2·3,14·5,4²/4 = 2570 см²;

0,5П₁R_р = 0,5·2570·6,5 = 8350 кгс = 8,35 тс > N_ан = 7,5 тс,

т.е. прочность на выкалывание обеспечена.

Принятые расстояния между анкерами в направлении поперек и вдоль сдвигающей силы, соответственно равные 28 см >4d = 4·1,8 = 7,2 см и 15 см > 6d = 6·1,8 = 10,8 см, удовлетворяют требованиям п. 5.114. Расстояние от оси анкера до грани колонны, равное 6 см > 3d = 3·1,8 = 5,4 см, также удовлетворяет требованию п. 5.114.

Определяем необходимую толщину пластины закладной детали по формуле (207), принимая R_ср = 1300 кгс/см²:

δ_п = 0,25dR_а/R_ср = 0,25·1,8·3400/1300 = 1,18 см.

Из условия сварки анкеров под слоем флюса на автоматах (см. табл. 49) толщина пластины должна быть не менее 0,65d = 0,65·1,8 = 1,17 см. Принимаем толщину пластины δ_п = 12 мм.

Пример 49. Дано: к закладной детали колонны приварены элементы стальных связей, работающие на растяжение (узел примыкания элементов и усилия в них - по рис. 74); анкеры закладной детали из арматуры класса А-III (R_а = 3400 кгс/см²); бетон марки М 400 (R_р = 13 кгс/см²).

Требуется запроектировать анкеры закладной детали, определить толщину закладной детали и проверить выкалывание бетона.

Расчет. Принимаем расположение анкеров как показано на рис. 74.

Рис. 74. К примеру расчета 49

Усилие в раскосе раскладываем на нормальную силу, приложенную к закладной детали с эксцентрицитетом e₀ = 5 см, и сдвигающую силу Q:

N = 28cos43°45' + 15,9 = 36,29 тс;

Q = 28sin 43°45' = 19,35 тс.

При z = 42 см и M = Ne₀ = 36,29·0,05 = 1,8 тс·м определяем наибольшее растягивающее усилие в одном ряду анкеров по формуле (201):

Наибольшее сжимающее усилие в одном ряду анкеров вычисляем по формуле (203):

Сдвигающее усилие Q_ан, приходящееся на один ряд анкеров, определяем по формуле (202), принимая N'_ан = 0:

Q_ан = Q/n_ан = 19,35/4 = 4,84 тс.

Так как

N'_ан < 0, то ω = 0,6N/Q = 0,6·36,29/19,35 = 1,12.

Отсюда

Задаваясь диаметром анкеров 12 мм, по табл. 26 при марке бетона М 400 и анкерах из арматуры класса А-III находим k = 0,57. Тогда

Принимаем три анкера в каждом ряду диаметром 16 мм (F_ан = 6,09 см²).

Проверим необходимое значение F_ан при коэффициенте k, соответствующем принятому диаметру 16 мм, т.е. при k = 0,52:

Окончательно принимаем три анкера Æ18 мм (F_а = 7,63 см²). Необходимая толщина пластины из условия прочности (207) равна

δ_п = 0,25dR_а/R_ср = 0,25·18·3400/1300 = 11,8 мм.

Из условия сварки в отверстия с раззенковкой (см. табл. 49) δ_п = 0,75d = 0,75·18 = 13,5 мм. Принимаем δ_п = 14 мм.

Принятые расстояния между осями анкеров вдоль и поперек сдвигающей силы, соответственно равные 14 см >6d_р = 6·1,8 = 12,8 см и 9 см > 4d = 4·1,8 = 7,2 см, удовлетворяют требованиям рис. 128.

Концы анкеров привариваем к аналогичной закладной детали, расположенной на противоположной грани колонны.

Проверяем бетон на выкалывание согласно п. 3.107.

Поскольку N'_ан < 0 и концы анкеров имеют усиления, проверяем условие (209).

Определяем площадь проекции поверхности выкалывания П (см. рис. 74) за вычетом части площади закладной детали F_з.д, расположенной на поверхности выкалывания:

F_з.д = (50 - 2·5)26 = 1040 см²;

a₁ = 40 + 2·38,6 = 117,2 см;

a₂ = 60 см;

П = a₁a₂ - F_з_._д = 117,2·60 - 1040 = 6000 см².

Поскольку сила N приложена в центре тяжести площади П, e₁ = e₂ = 0.

0,5ПR_р = 0,5·6000·13 = 39000 кгс = 39 тс > N = 36,29 тс,

т.е. прочность бетона на выкалывание обеспечена.

Расчет стыков сборных колонн

3.110. Стыки колонн, выполняемые путем ванной сварки выпусков продольной арматуры, расположенных в специальных подрезках, при последующем замоноличивании этих подрезок (см. п. 5.94), рассчитываются для двух стадий работы:

а) до замоноличивания стыка - на нагрузки, действующие на данном этапе возведения здания; при определении усилий такие стыки условно принимаются шарнирными;

б) после замоноличивания стыка - на нагрузки, действующие на данном этапе возведения здания и при эксплуатации; при определении усилий такие стыки принимаются жесткими.

3.111. Расчет незамоноличенных стыков колонн, указанных в п. 3.110 (рис. 75), производится на местное сжатие бетона колонны центрирующей прокладкой из условия (184) с добавлением в его правую часть усилия, воспринимаемого арматурными выпусками и равного

N_вып = 0,5φR_а.сF_а, (217)

где φ - коэффициент продольного изгиба для выпусков, определяемый в соответствии с главой СНиП по проектированию стальных конструкций при расчетной длине l₀. равной фактической длине сварных выпусков;

F_а - площадь сечения всех выпусков.

При этом значение R*_см умножается на коэффициент μ_см = 0,75, учитывающий неравномерность распределения нагрузки под центрирующей прокладкой, а за расчетную площадь F_р принимается площадь ядра сечения торца колонны F_я с размерами, не превышающими соответствующих утроенных размеров площади смятия F_см.

За площадь F_см принимается площадь центрирующей прокладки или, если центрирующая прокладка приваривается на монтаже к распределительному листу (рис. 75), то за F_см принимается площадь этого листа; при этом его учитываемые в расчете размеры не должны превышать соответствующих размеров площади F_я, а толщина листа должна быть не менее ¹/₃ максимального расстояния от края листа до центрирующей прокладки.

Рис. 75. Незамоноличенный стык колонны

1 - центрирующая прокладка; 2 - распределительный лист; 3 - ванная сварка арматурных выпусков; 4 - сетки косвенного армирования торца колонны

Рис. 76. Расчетное сечение замоноличенного стыка колонны с косвенным армированием как в бетоне колонны, так и в бетоне замоноличивания

1 - бетон колонны; 2 - бетон замоноличивания; 3 - сетки косвенного армирования

3.112. Расчет замоноличенных стыков колонн, указанных в п. 3.110, производится как для сечения колонны на участке с подрезками, согласно пп. 3.59 - 3.78, с учетом следующих указаний:

а) при наличии косвенного армирования сетками как в бетоне колонны, так и в бетоне замоноличивания расчет ведется согласно пп. 3.60 и 3.62, при этом рассматривается цельное сечение, ограниченное стержнями сеток, расположенными у граней замоноличенного участка колонны (рис. 76);

б) при наличии косвенного армирования только в бетоне колонны расчет производится либо с учетом этого косвенного армирования, но без учета бетона замоноличивания, либо с учетом бетона замоноличивания, но без учета косвенного армирования колонны; прочность стыка считается обеспеченной при выполнении условия прочности хотя бы по одному из этих расчетов;

в) расчетные сопротивления бетона колонн и бетона замоноличивания (R_пр или R*_пр) умножаются на коэффициенты условий работы, соответственно равные m_б^к = 0,9 и m_б^з = 0,8;

г) при расчете с учетом замоноличивания значение ξ₀ определяется по формуле (19) или (90) по марке бетона замоноличивания, если он располагается по всей ширине наиболее сжатой грани, и по наибольшей марке бетона, если по сжатой грани располагается частично бетон замоноличивания и частично бетон колонны; в формуле (90) всегда учитывается минимальное значение μ_к^с.

При расчете стыка с учетом бетона замоноличивания площадь сечения замоноличивания F_з рекомендуется приводить к площади сечения колонны путем умножения ее на отношение расчетных сопротивлений бетона замоноличивания и бетона колонны при неизменных высотах сечения замоноличивания.

Для симметрично-армированных колонн прямоугольного сечения расчет замоноличенного стыка можно производить по формулам пп. 3.69 и 3.70, принимая за h'_п = h_п высоту сечений подрезок, а за b'_п = b_п - ширину сечения, приведенного к бетону колонны, по наиболее сжатой стороне сечения.

Коэффициент η, учитывающий прогиб колонны (см. п. 3.57), определяется по геометрическим характеристикам сечения колонны вне зоны стыка.

3.113. Стыки колонн, осуществляемые насухо без замоноличивания (сферические стыки колонн, стыки с приторцованными поверхностями и т.п.), рассчитываются с учетом косвенного армирования согласно пп. 3.60 и 3.62, и коэффициента условий работы 0,65, вводимого на расчетное сопротивление бетона R*_пр.

Примеры расчета

Пример 50. Дано: стык колонны приведен на рис. 77; бетон колонны марки М 400 (R^к_пр = 150 кгс/см² при m_б1 = 0,85); бетон замоноличивания марки М 300 (R^з_пр = 115 кгс/см² при m_б1 = 0,85); арматурные выпуски класса А-III (R_а = R_а.с = 3400 кгс/см²) площадью сечения F_а = F'_а = 40,7 см² (4Æ36); сетки косвенного армирования из стержней класса А-III диаметром 8 мм расположены с шагом s₁ = 7 см как в бетоне колонны, так и в бетоне замоноличивания; продольная сила в стадии эксплуатации N = 390 тс, ее эксцентрицитет в перпендикулярном к подрезкам направлении с учетом прогиба колонны e₀ = 5,5 см.

Требуется проверить прочность стыка в стадии эксплуатации и определить предельную продольную силу в стыке в стадии возведения здания.

Расчет в стадии эксплуатации

В соответствии с п. 3.112 «а» принимаем размеры сечения по осям крайних стержней сеток, т.е. b = h = 36 см; h₀ = 33 см (см. рис. 77).

Определим расчетные сопротивления бетона колонны и замоноличивания с учетом сеток косвенного армирования согласно п. 3.60.

Для бетона колонн:

F^к_я = 36·20 = 720 см² (см. рис. 77);

n₁ = 5; l₁ = 17; n₂ = 3; l₂ = 36;

f_с1 = f_с2 = 0,503 см² (Æ8);

Отсюда значение R*^к_пр, с учетом коэффициента условий работы m^к_б = 0,9 (см. п. 3.112 «в»), равно:

R*^к_пр = m^к_б(R_пр + kμ^с_кR^с_а) = 0,9(150 + 1,84·0,0193·3400) = 243 кгс/см².

Рис. 77. К примеру расчета 50

1 - арматурные выпуски; 2 - распределительный лист; 3 - центрирующая прокладка

Для бетона замоноличивания в одной из подрезок:

F^з_я = 36·8 = 288 см² (см. рис. 77);

f_с1 = f_с2 = 0,503 см² (Æ8); l₁ = 6,5 см; l₂ = 36 см;

Значение R*^з_пр с учетом коэффициента условия работы m^з_б = 0,8 равно

R*^з_пр = m^з_б(R_пр + kμ^с_кR^с_а) = 0,8(115 + 1,29·0,026·3400) = 183,4 кгс/см².

Определим значение ξ₀ по формуле (90) по марке бетона замоноличивания, поскольку подрезка располагается по всей ширине наиболее сжатой грани колонны; при этом принимаем минимальное значение μ^с_к = 0,0193:

= 10μ^с_к = 10·0,0193 = 0,193 > 0,15;

принимаем = 0,15;

ξ₀ = 0,85 - 0,0008R_пр + = 0,85 - 0,0008·115 + 0,15 = 0,91 > 0,9.

Принимаем ξ₀ = 0,9.

Приводим сечение стыка к бетону колонны, при этом ширина подрезки становится равной

b'_п = bR*^з_пр/R*^к_пр = 3·183,4/243 = 27,2 см.

а высота подрезки h'_п = 8 см (см. рис. 77).

Прочность стыка проверяем согласно п. 3.69.

Для этого по формуле (18) определим значение ξ_R, принимая σ_ε = 5000 кгс/см²:

F_св = (b'_п - b)h'_п = (27,2 - 36)8 = -70,4 см².

Высота сжатой зоны равна

Так как x = 46,5 см > ξ_Rh₀ = 0,8·33 = 26,4 см, высоту сжатой зоны определяем по формуле (116). Для этого вычисляем:

Значение e равно

e = e₀ + (h₀ - a')/2 = 5,5 + (33 - 3)/2 = 20,5 см.

Прочность стыка проверяем по условию (115):

R*^к_прbх(h₀ - x/2) + R*^к_прF_св(h₀ - h_п'/2) + R_а.сF'_а(h₀ - a') = 243·36·29,9(33 - 29,9/2) - 243·70,4(33 - 8/2) + 3400·40,7(33 - 3) = 83,74 тс·м > 390·0,205 = 80 тс·м,

т.е. прочность стыка в стадии эксплуатации обеспечена.

Проверяем условие (91), обеспечивающее трещиностойкость защитного слоя замоноличенного участка колонны. Для этого вычисляем площадь и момент инерции полного сечения, приведенного к бетону колонны.

Из таблицы (21) коэффициент приведения n = 13 для марки бетона М 400 и арматуры класса А-III:

b_прив = b_колR^з_пр/R^к_пр = 40·115/150 = 30,67 см;

F_п = 30,67·10·2 + 40·20 + 40,70·13·2 = 2472 см²,

y = h/2 = 40/2 = 20 см.

т.е. трещиностойкость обеспечена.

Расчет незамоноличенного стыка в стадии возведения

Определяем расчетное сопротивление бетона смятию с учетом косвенного армирования согласно пп. 3.97 и 3.111.

Площадь ядра сечения торца колонны, ограниченная контуром сеток, равна

F_я = 17·36 = 612 см².

За площадь смятия принимаем площадь распределительного листа, поскольку его толщина 2 см превышает ¹/₃ расстояния от края листа до центрирующей прокладки (⁵/₃ = 1,7 см). При этом ширину площади смятия принимаем равной ширине площади F_я - 17 см.

F_см = 20·17 = 340 см².

Поскольку 36 см < 3·20 см, принимаем F_р = F_я = 612 см². Отсюда:

γ_к = 4,5 - 3,5F_см/F_р = 4,5 - 3,5·340/612 = 2,56;

Поскольку расчет ведем на нагрузки в стадии возведения, принимаем R_пр = 190 кгс/см² (т.е. при m_б1 = 1,1):

Значение R*_см определяем по формуле (185), учитывая коэффициент μ = 0,75:

R*_см = μ(R_прγ_б + kμ_к^сR_а^сγ_к) = 0,75(190·1,22 + 1,92·0,0226·3400·2,56) = 457 кгс/см².

По формуле (217) определяем усилие в арматурных выпусках.

Радиус инерции арматурного стержня Æ36 равен

r = d/4 = 3,6/4 = 0,9 см.

Длина сваренных выпусков l = l₀ = 40 см.

Согласно табл. 53 главы СНиП по проектированию стальных конструкций (II-В.3-72)

λ = l₀/r = 40/0,9 = 44,4

для стали класса С52/40 (с R = 3400 кгс/см² как для класса А-III) находим φ = 0,85. Отсюда N_вып = 0,5φR_а.сF_а = 0,5·0,85·3400·81,4 = 117,62 тс.

Предельная продольная сила, воспринимаемая незамоноличенным стыком, равна

N = R*_смF_см + N_вып = 457·340 + 117620 = 273 тс.

Расчет бетонных шпонок

3.114. Размеры бетонных шпонок, передающих сдвигающие усилия между сборным элементом и дополнительно уложенным бетоном или раствором (рис. 78), должны определяться по формулам:

(218)

(219)

где Q_сд - сдвигающая сила, передающаяся через шпонки;

δ_ш, h_ш, l_ш - глубина, высота и длина шпонки;

n_ш - число шпонок, вводимое в расчет и принимаемое не более трех.

При наличии сжимающей силы N высоту шпонок допускается определять по формуле

(220)

и принимать уменьшенной против высоты, определяемой условием (219) не более, чем в 2 раза.

При соединении шпонками элементов настила длина шпонки, вводимая в расчет, должна составлять не более половины пролета элемента; при этом величина Q_сд принимается равной сумме сдвигающих усилий по всей длине элемента.

По условиям (218) - (220) следует проверять как шпонки сборного элемента, так и шпонки из дополнительно уложенного бетона, принимая расчетные сопротивления бетона шпонок R_пр и R_р как для бетонных конструкций.

Примечание. При расчете на выдергивание растянутой ветви двухветвевой колонны из стакана фундамента допускается учитывать работу 5 шпонок.

Рис. 78. Обозначения, принятые при расчете шпонок, передаю щих сдвигающие усилия от сборного элемента монолитному бетону

1 - сборный элемент; 2 - монолитный бетон

4. РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ПРЕДЕЛЬНЫМ СОСТОЯНИЯМ ВТОРОЙ ГРУППЫ

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО ОБРАЗОВАНИЮ ТРЕЩИН

4.1(4.1). Железобетонные элементы рассчитываются по образованию трещин:

нормальных к продольной оси элемента;

наклонных к продольной оси элемента.

Расчет по образованию трещин производится*:

* Для элементов, указанных в поз. 1 табл. 1 с проволочной арматурой классов В-I и Вр-I, расчет должен обеспечивать от образования трещин при действии полной нагрузки с коэффициентом перегрузки n > 1.

для выявления необходимости проверки по раскрытию трещин;

для выяснения случая расчета по деформациям.

В железобетонном элементе или на его участках трещины отсутствуют, если усилия, вызванные действием полной нагрузки или ее части (когда нагрузки вызывают усилия разных знаков), вводимые в расчет с коэффициентом перегрузки n = 1, меньше усилия, которое воспринимает сечение при образовании трещин. Полная нагрузка включает постоянные, длительные и кратковременные нагрузки.

Допускается принимать без расчета, что изгибаемые элементы прямоугольного и таврового со сжатыми полками сечений имеют на наиболее напряженных участках трещины, нормальные к продольной оси, если требуемый по расчету коэффициент армирования μ больше 0,005.

4.2(4.2). Для изгибаемых, растянутых и внецентренно-сжатых железобетонных элементов усилия, воспринимаемые сечениями, нормальными к продольной оси, при образовании трещин определяются исходя из следующих положений:

сечения после деформации остаются плоскими;

наибольшее относительное удлинение крайнего растянутого волокна бетона равно

напряжения в бетоне сжатой зоны (если она имеется) определяются с учетом упругих, а для внецентренно-сжатых элементов - также с учетом неупругих деформаций бетона;

напряжения в бетоне растянутой зоны распределены равномерно и равны по величине R_р_II;

напряжения в арматуре равны алгебраической сумме напряжений, вызванных усадкой бетона, и напряжения, отвечающего приращению деформаций окружающего бетона.

4.3(4.5). Расчет по образованию трещин, нормальных к продольной оси элемента, производится из условия

M^я_в ≤ M_т, (221)

где M^я_в - момент внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, относительно оси, параллельной нулевой линии и проходящей через ядровую точку, наиболее удаленную от растянутой зоны, трещинообразование которой проверяется;

M_т - момент, воспринимаемый сечением, нормальным к продольной оси элемента, при образовании трещин и определяемый по формуле

M_т = R_р_IIW_т ± M^я_ус. (222)

Здесь M^я_ус - момент усилия N_ус, вызванного усадкой бетона, относительно той же оси, что и для определения M^я_в; знак момента определяется направлением вращения («плюс» - когда направления противоположны, «минус» - когда направления моментов M^я_ус и M^я_в совпадают).

Для свободно опертых балок и плит момент M_т определяется по формуле

M_т = R_р_IIW_т - N_ус(e_он + r_у). (223)

Усилие N_ус рассматривается как внешняя растягивающая сила; его величина и эксцентрицитет относительно центра тяжести приведенного сечения определяются по формулам:

N_ус = σ_ус(F_а + F'_а); (224)

где y_а, y'_а - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до центров тяжести сечений соответственно арматуры A и A';

σ_ус - напряжение в арматуре, вызванное усадкой бетона, равное 400 кгс/см² для бетона М 400 и ниже при естественном твердении и 350 кгс/см² для бетона тех же марок при тепловой обработке; для других марок бетона σ_ус принимается согласно СНиП II-21-75, табл. 4, поз. 8.

Если коэффициент армирования μ меньше 0,01 допускается величины W_т и r_у определять как для бетонного сечения, принимая N_ус = 0 и F_а = F'_а = 0.

Величина M^я_в определяется по формулам:

для изгибаемых элементов (рис. 79,а) M^я_в = M;

для внецентренно-сжатых элементов (рис. 79,б) -

M^я_в = N(e₀ - r_у); (225)

для центрально- и внецентренно-растянутых элементов (рис. 79,в) -

M^я_в = N(e₀ + r_у). (226)

В формулах (222), (223), (225) и (226):

r_у - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до ядровой точки, наиболее удаленной от растянутой зоны, трещинообразование которой проверяется.

Величина r_у определяется:

для изгибаемых элементов по формуле

r_у = W₀/F_п, (227)

для внецентренно-сжатых элементов по формуле

r_у = 0,8W₀/F_п, (228)

для центрально- и внецентренно-растянутых элементов по формуле

(229)

W_т - момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна с учетом неупругих деформаций растянутого бетона, определяемый согласно указаниям п. 4.4.

Примечание. Приведенное сечение включает сечение бетона, а также сечение всей продольной арматуры, умноженное на отношение соответствующих модулей упругости арматуры и бетона.

Рис. 79. Схема усилий и эпюры напряжений в поперечном сечении элемента при расчете его по образованию трещин, нормальных к продольной оси элемента

а - при изгибе; б - при внецентренном сжатии; в - при внецентренном растяжении; 1 - ядровая точка; 2 - центр тяжести приведенного сечения

4.4(4.7). Величина момента сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна с учетом неупругих деформаций растянутого бетона W_т определяется в предположении отсутствия продольной силы N по формуле

(230)

где I_б.о, I_а.о, I'_а.о - моменты инерции соответственно площадей сечения сжатой зоны бетона, арматуры A и A' относительно нулевой линии;

S_б.р - статический момент площади растянутой зоны бетона относительно нулевой линии.

Положение нулевой линии в общем случае определяется из условия

S_б.о + nS'_а.о - nS_а.о = (h - x)F_б.р/2, (231)

где S_б.о, S_а.о, S'_а.о - статические моменты соответственно площадей сечения сжатой зоны бетона, арматуры A и A' относительно нулевой линии;

F_б.р - площадь сечения растянутой зоны бетона.

Для прямоугольных, тавровых и двутавровых сечений условие (231) принимает вид

(232)

где - статический момент площади приведенного сечения, вычисленный без учета площади бетона растянутых свесов, относительно крайнего растянутого волокна;

- площадь приведенного сечения, вычисленная без учета половины площади бетона растянутых свесов.

Значение W_т допускается определять по формуле

W_т = [0,292 + 0,75(γ₁ + 2μ₁n) + 0,075(γ'₁ + 2μ'₁n)]bh², (233)

где

При известном значении W₀ (см. п. 4.3) величину W_т можно также определить по формуле

W_т = γW₀, (234)

где γ - см. табл. 27.

4.5. Участки по длине изгибаемого элемента, на которых отсутствуют наклонные трещины, определяются из условия

Q ≤ 0,6R_р_IIbh₀. (235)

Для сплошных плоских плит правая часть условия (235) увеличивается на 25 %.

Таблица 27

№ пп.	Сечения	Коэффициент γ	Форма поперечного сечения
1	Прямоугольное	1,75
2	Тавровое с полкой, расположенной в сжатой зоне	1,75
3	Тавровое с полкой (уширением), расположенной в растянутой зоне:
	а) при b_п/b ≤ 2 независимо от отношения h_п/h	1,75
	б) при b_п/b > 2 и h_п/h ≥ 0,2	1,75
	в) при b_п/b > 2 и h_п/h < 0,2	1,5
4	Двутавровое симметричное (коробчатое):
	а) при b'_п/b = b_п/b ≤ 2 независимо от отношений h'_п/h = h_п/h	1,75
	б) при 2 < b'_п/b = b_п/b ≤ 6 независимо от отношений h'_п/h = h_п/h	1,5
	в) при b'_п/b = b_п/b > 6 и h'_п/h = h_п/h ≥ 0,2	1,5
	г) при 6 < b'_п/b = b_п/b ≤ 15 и h'_п/h = h_п/h < 0,2	1,25
	д) при b'_п/b = b_п/b > 15 и h'_п/h = h_п/h < 0,1	1,1
5	Двутавровое несимметричное, удовлетворяющее условию b'_п/b ≤ 3:
	а) при b_п/b ≤ 2 независимо от отношения h_п/h	1,75
	б) при 2 < b_п/b ≤ 6 независимо от отношения h_п/h	1,5
	в) при b_п/b > 6 и h_п/h > 0,1	1,5
6	Двутавровое несимметричное, удовлетворяющее условию 3 < b'_п/b < 8:
	а) при b_п/b ≤ 4 независимо от отношения h_п/h	1,5
	б) при b_п/b > 4 и h_п/h ≥ 0,2	1,5
	в) при b_п/b > 4 и h_п/h < 0,2	1,25
7	Двутавровое несимметричное, удовлетворяющее условию b'_п/b ≥ 8:
	а) при h_п/h > 0,3	1,5
	б) при h_п/h ≤ 0,3	1,25
8	Кольцевое и круглое	2 - 0,4D₁/D
9	Крестовое:
	а) при b_п/b ≥ 2 и 0,9 ≥ h'_п/h > 0,2	2
	б) в остальных случаях	1,75
Примечания: 1. В табл. 27 обозначения b_п и h_п соответствуют размерам полки, которая при расчете по образованию трещин является растянутой, а b'_п и h'_п - размерам полки, которая для этого случая расчета является сжатой. 2. W₀ - момент сопротивления для растянутой грани приведенного сечения, определяемый по правилам сопротивления упругих материалов. W_т = γW₀.

РАСЧЕТ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПО РАСКРЫТИЮ ТРЕЩИН

4.6.(4.13). Железобетонные элементы рассчитываются по раскрытию трещин:

нормальных к продольный оси элемента;

наклонных к продольной оси элемента.

Проверка ширины раскрытия трещин не требуется, если, согласно расчету по пп. 4.1 - 4.5, они не образуются от действия постоянных, длительных и кратковременных нагрузок, вводимых в расчет с коэффициентом перегрузки n = 1.

Для изгибаемых и внецентренно-сжатых элементов, указанных в табл. 1 (поз. 4) и входящих в состав статически определимых систем, при однорядном армировании проверка ширины раскрытия нормальных трещин не требуется в следующих случаях:

а) если коэффициент армирования μ превышает:

для арматуры классов В-I, Вр-I и А-I - 0,01;

для арматуры классов А-II и А-III - 0,02;

б) если при любых коэффициентах армирования μ диаметр арматуры не превышает:

для арматуры классов А-I и А-II - 22 мм;

для арматуры класса А-III - 8 мм.

При расчете по раскрытию трещин усилие от усадки бетона N_ус принимается равным нулю.

4.7. В общем случае расчет по раскрытию трещин производится два раза: на кратковременное и на длительное раскрытие трещин (см. п. 1.16).

Для изгибаемых элементов, указанных в табл. 1 (поз. 4), а также эксплуатируемых ниже уровня грунтовых вод (поз. 2), допускается расчет производить только один раз:

а) при проверке раскрытия трещин, нормальных к продольной оси элемента:

если M_дл/M_п ≥ 2/3, проверяется длительное раскрытие трещин от действия момента M_дл;

если M_дл/M_п < 2/3, проверяется кратковременное раскрытие трещин от действия момента M_п;

б) при проверке раскрытия трещин, наклонных к продольной оси элемента:

если (Q_дл/Q_п)² ≥ 2/3, проверяется длительное раскрытие трещин от действия поперечной силы Q_дл;

если (Q_дл/Q_п)² < 2/3, проверяется кратковременное раскрытие трещин от действия поперечной силы Q_п.

Здесь Q_дл и Q_п - соответственно наибольшая поперечная сила на рассматриваемом участке элемента с постоянным насыщением поперечной арматурой от постоянных и длительных нагрузок и от полной нагрузки (вводимых в расчет с коэффициентом перегрузки n = 1).

Расчет по раскрытию трещин, нормальных к продольной оси элемента

4.8.(4.14). Ширина раскрытия трещин, нормальных к продольной оси элемента, a_т, мм, должна определяться по формуле

a_т = kc_дη20(3,5 - 100), (236)

где k - коэффициент, принимаемый равным: для изгибаемых и внецентренно-сжатых элементов - 1; для растянутых элементов - 1,2;

c_д - коэффициент, принимаемый равным при учете:

кратковременных нагрузок и кратковременного действия постоянных и длительных нагрузок - 1;

длительного действия постоянных и длительных нагрузок для конструкций из бетонов: естественной влажности - 1,5; в водонасыщенном состоянии (элементы, воспринимающие давление жидкостей, а также эксплуатируемые в грунте ниже уровня грунтовых вод) - 1,2;

η - коэффициент, принимаемый равным:

при стержневой арматуре:

периодического профиля - 1;

гладкой - 1,3;

при проволочной арматуре:

периодического профиля - 1,2;

гладкой - 1,4;

σ_а - напряжение в стержнях крайнего ряда арматуры A, определяемое согласно указаниям п. 4.10;

- коэффициент армирования сечения, принимаемый равным отношению площади сечения арматуры A к площади сечения бетона при рабочей высоте h₀ без учета сжатых свесов полок; при этом для прямоугольных, тавровых и двутавровых сечений

значение принимается не более 0,02;

если h_п < a, то растянутые свесы при вычислении не учитываются;

если во внецентренно-растянутых элементах сила N расположена между центрами тяжести арматуры A и A', то при определении рабочая высота h₀ принимается от точки приложения силы N до менее растянутой грани, при этом для центрального растяжения

где F_а - площадь всей продольной арматуры;

d - диаметр растянутой арматуры, мм;

при различных диаметрах стержней значение d принимается равным

(238)

d₁, …, d_к - диаметр стержней растянутой арматуры;

n₁, …, n_к - число стержней с диаметрами соответственно d₁, …, d_к.

При пользовании формулой (236) значения a_т и d принимаются в мм. Кроме того, следует учитывать указания п. 4.9.

4.9(4.14). Ширина раскрытия трещин a_т, определенная согласно указаниям п. 4.8, корректируется в следующих случаях:

а) Если центр тяжести сечения стержней крайнего ряда арматуры A изгибаемых, внецентренно-сжатых, внецентренно-растянутых при e₀ ≥ 0,8h₀ элементов отстоит от наиболее растянутого волокна бетона на расстоянии c, большем 0,2h, величина a_т, определенная по формуле (236), должна умножаться на коэффициент k_с, равный

(239)

и принимаемый не более 3.

б) Для слабоармированных изгибаемых элементов (например, фундаментов) при ≤ 0,008 ( - см. п. 4.8) величину a_т, вычисленную по формуле (236), допускается уменьшать путем умножения на коэффициент k_б, учитывающий работу растянутого бетона над трещинами и определяемый по формуле

k_б = k_нk_д, (240)

но не более 1,

где k_н - коэффициент, учитывающий уровень нагружения, равный

10 - сжимающее напряжение, кгс/см²;

k_д - коэффициент, учитывающий длительность действия нагрузки, равный:

при кратковременном действии нагрузки - 1,

при длительном действии нагрузки

k_д = 1,5M_т/M_п,

но не менее единицы;

M⁰ - момент, при котором растянутый бетон над трещинами практически выключается из работы, равный

(241)

но не более 2,5;

- вычисляется так же, как и M_т (см. пп. 4.3, 4.4), но без учета растянутых свесов; к последним относятся уширения, растянутые от нагрузки, на которую производится расчет по раскрытию трещин [при этом высота растянутой зоны принимается равной h₀(1 - 2ξ), где ξ - см. п. 4.16];

η - см. п. 4.8.

При использовании коэффициента K_б и при M_дл/M_п < 2/3 не следует пользоваться рекомендациями п. 4.7 «а».

в) Для статически неопределимых изгибаемых элементов, а также для свободно опертых балок при l/h < 7, и консолей при l₁/h < 3,5, где l₁ - вылет консоли, вблизи мест приложения сосредоточенных сил и опорных реакций при μ ≤ 0,02 ширину раскрытия трещин a_т, вычисленную по формуле (236), допускается уменьшить путем умножения на коэффициент k_м, учитывающий местные особенности напряженного состояния в железобетонных конструкциях и определяемый по формуле

(242)

но не менее 0,8 и не более 1,

где a - расстояние от точки приложения сосредоточенной силы или опорной реакции до рассматриваемого сечения, принимаемое не более 0,3h (рис. 80);

Рис. 80. Положение опорных реакций в жестких узлах, принимаемое для определения коэффициента K_м

а - г - стыки сборных элементов; д - з - монолитные сопряжения

P - абсолютное значение сосредоточенной силы или реакции;

M - абсолютное значение изгибающего момента в нормальном сечении, проходящем через точку приложения сосредоточенной силы или опорной реакции (рис. 80);

h - расстояние от грани элемента, к которой приложена сила P, до растянутой грани;

h₀ - то же, до растянутой арматуры (рис. 81).

Рис. 81. Обозначения величин h₀ и h для определения коэффициента k_м

а - при приложении силы к сжатой грани элемента; б - при приложении силы к уширениям (полкам) элемента; в - по длине статически неопределимой балки

4.10(4.15). Напряжения в растянутой арматуре σ_а должны определяться по формулам:

для центрально-растянутых элементов

σ_а = N/F_а; (243)

для изгибаемых элементов

σ_а = M/(F_аz₁); (244)

для внецентренно-сжатых, а также внецентренно-растянутых при e₀ ≥ 0,8h₀ элементов

(245)

В формуле (245) знак «+» принимается при внецентренном растяжении, а знак «-» - при внецентренном сжатии.

Для внецентренно-растянутых элементов при e₀ < 0,8h₀ величину σ_а следует определять по формуле (245), принимая z₁ равным z_а - расстоянию между центрами тяжести арматуры A и A'. При этом если растягивающая продольная сила расположена между центрами тяжести арматуры A и A', значение e_а в формуле (245) принимается со знаком «минус».

В формулах (244) и (245):

z₁ - расстояние от центра тяжести площади сечения арматуры A до точки приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне сечения над трещиной, определяемое согласно указаниям п. 4.16, при этом коэффициент v принимается всегда как при кратковременном действии нагрузки.

Для внецентренно-сжатых элементов в случае, когда M^я_в < M_т (здесь M^я_в определяется согласно п. 4.3 от постоянных и длительных нагрузок), но при действии полной нагрузки трещины образуются, величина σ_а определяется по формуле

(246)

В формуле (246):

σ_а.т - напряжение в арматуре при действии нагрузки, соответствующей моменту образования трещин, определяемое по формуле (245); при этом эксцентрицитет e_а продольной силы N равен

где y_а - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до центра тяжести площади сечения арматуры A;

10 - сжимающее напряжение, кгс/см²;

W_т, r_у - см. п. 4.3.

При расположении растянутой арматуры в несколько рядов по высоте сечения в изгибаемых, внецентренно-сжатых, а также внецентренно-растянутых при e₀ ≥ 0,8h₀ элементах напряжения σ_а должны умножаться на коэффициент φ_п, равный

(247)

где x = ξh₀; величина ξ определяется по формуле (264); для изгибаемых элементов допускается принимать x таким же, как и при расчете по прочности;

a и c - расстояние от центра тяжести площади сечения арматуры A соответственно всей и крайнего ряда стержней до наиболее растянутого волокна бетона.

Величина напряжения σ_а от действия полной нагрузки, определенная с учетом коэффициента φ_п не должна превышать R_а_II - для стержневой и 0,8R_а_II - для проволочной арматуры; это условие допускается не проверять для статически определимых конструкций с арматурой одного класса при ее однорядном расположении.

Упрощенные способы определения σ_а

Для изгибаемых элементов допускается определять σ_а по формуле

σ_а = R_аM/M_пр. (248)

При применении арматуры разных классов в формулу (248) вводится R_а - расчетное сопротивление арматуры для предельных состояний первой группы по более прочной арматуре.

Здесь M_пр - предельный момент по прочности, равный:

при проверке прочности сечений - правой части неравенств (17) - (21), (27), (28), (30);

при подборе сечения арматуры

где M_расч - момент от действия полной нагрузки с коэффициентом перегрузки n > 1;

F_а.факт - фактическая площадь принятой арматуры;

F_а.теор - площадь арматуры, требуемая по расчету прочности.

Для внецентренно-сжатых элементов при M^я_в ≥ M_т допускается вычислять σ_а по формуле

(249)

где k_т - коэффициент, определяемый по табл. 28.

Найденные по формулам (248) и (249) значения σ_а в случае расположения арматуры в несколько рядов по высоте сечения умножаются на коэффициент φ_п определяемый по формуле (247).

4.11(4.14). Ширина кратковременного раскрытия трещин от действия полной нагрузки определяется как сумма ширины раскрытия от длительного действия постоянных и длительных нагрузок и приращения ширины раскрытия от действия кратковременной нагрузки по формуле

a_т = a_т1 - a_т2 + a_т3, (250)

где a_т1 - ширина раскрытия трещин от кратковременного действия полной нагрузки;

a_т2 - начальная ширина раскрытия трещин от постоянных и длительных нагрузок (при их кратковременном действии);

a_т3 - ширина длительного раскрытия трещин от действия постоянных и длительных нагрузок.

В изгибаемых элементах кратковременное раскрытие трещин от полной нагрузки может определяться по формуле

a_т = a_т1 [1 + (c_д - 1)M_дл/M_п], (251)

где c_д - см. п. 4.8 для случая длительного действия нагрузок.

Если величина a_т1 определена с учетом формулы (240), то в равенстве (251) коэффициент c_д заменяется произведением c_дk_д, где k_д определяется согласно п. 4.9.

Ширина длительного раскрытия трещин определяется от длительного действия постоянных и длительных нагрузок по формуле (236).

Таблица 28

γ'	e_а/h₀	Коэффициент k_т при значениях μn, равных
γ'	e_а/h₀	0,01	0,02	0,03	0,05	0,07	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,40	0,50
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
0	≤ 0,8	0,04	0,07	0,10	0,15	0,18	0,22	0,26	0,31	0,34	0,37	0,41	0,45
	1,0	0,18	0,22	0,25	0,29	0,31	0,34	0,38	0,42	0,45	0,47	0,50	0,52
	1,2	0,31	0,34	0,37	0,40	0,43	0,46	0,49	0,53	0,55	0,57	0,60	0,62
	1,5	0,44	0,48	0,50	0,53	0,56	0,58	0,62	0,65	0,67	0,69	0,72	0,74
	2,0	0,59	0,62	0,64	0,67	0,70	0,72	0,75	0,78	0,81	0,82	0,85	0,87
	3,0	0,74	0,77	0,79	0,82	0,84	0,86	0,89	0,92	0,95	0,96	0,99	1,01
	4,0	0,81	0,84	0,86	0,89	0,91	0,94	0,97	1,0	1,02	1,03	1,06	1,08
0,05	≤ 0,8	0,04	0,04	0,07	0,11	0,14	0,18	0,22	0,26	0,29	0,32	0,36	0,38
	1,0	0,17	0,20	0,22	0,26	0,28	0,31	0,34	0,38	0,40	0,42	0,46	0,48
	1,2	0,30	0,33	0,35	0,38	0,40	0,43	0,46	0,49	0,51	0,53	0,56	0,58
	1,5	0,44	0,46	0,48	0,51	0,53	0,56	0,59	0,61	0,64	0,66	0,68	0,70
	2,0	0,59	0,61	0,63	0,65	0,67	0,70	0,72	0,75	0,77	0,79	0,82	0,83
	3,0	0,74	0,76	0,78	0,80	0,82	0,84	0,87	0,89	0,91	0,93	0,95	0,97
	4,0	0,82	0,84	0,85	0,88	0,90	0,92	0,94	0,97	0,99	1,00	1,03	1,04
0,1	≤ 0,8	0,03	0,04	0,05	0,09	0,11	0,14	0,18	0,22	0,25	0,28	0,31	0,34
	1,0	0,16	0,19	0,21	0,24	0,26	0,28	0,31	0,34	0,37	0,39	0,42	0,44
	1,2	0,30	0,32	0,33	0,36	0,38	0,40	0,43	0,46	0,48	0,50	0,53	0,55
	1,5	0,44	0,46	0,47	0,50	0,52	0,54	0,56	0,59	0,61	0,63	0,65	0,67
	2,0	0,59	0,61	0,62	0,64	0,66	0,68	0,70	0,73	0,75	0,76	0,79	0,80
	3,0	0,75	0,76	0,77	0,79	0,81	0,83	0,85	0,87	0,89	0,90	0,93	0,94
	4,0	0,83	0,84	0,85	0,87	0,88	0,90	0,92	0,94	0,96	0,98	1,0	1,02
0,2	≤ 0,8	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,10	0,13	0,16	0,19	0,21	0,25	0,28
	1,0	0,15	0,17	0,19	0,21	0,23	0,25	0,27	0,30	0,32	0,34	0,37	0,39
	1,2	0,29	0,31	0,32	0,34	0,35	0,37	0,40	0,42	0,44	0,45	0,48	0,50
	1,5	0,44	0,45	0,46	0,48	0,49	0,51	0,53	0,55	0,57	0,58	0,61	0,63
	2,0	0,59	0,60	0,61	0,63	0,64	0,65	0,67	0,69	0,71	0,72	0,75	0,76
	3,0	0,75	0,76	0,77	0,78	0,79	0,81	0,82	0,84	0,85	0,87	0,89	0,90
	4,0	0,83	0,84	0,85	0,86	0,87	0,88	0,90	0,91	0,93	0,94	0,96	0,98
0,3	≤ 0,8	0,03	0,04	0,05	0,05	0,06	0,07	0,10	0,12	0,15	0,17	0,20	0,23
	1,0	0,15	0,16	0,17	0,19	0,21	0,23	0,25	0,27	0,29	0,30	0,33	0,35
	1,2	0,29	0,30	0,31	0,33	0,34	0,35	0,37	0,39	0,41	0,42	0,45	0,46
	1,5	0,44	0,45	0,46	0,47	0,48	0,49	0,51	0,53	0,54	0,55	0,58	0,59
	2,0	0,59	0,60	0,61	0,62	0,63	0,64	0,66	0,67	0,68	0,70	0,72	0,73
	3,0	0,75	0,76	0,77	0,78	0,78	0,79	0,81	0,82	0,83	0,84	0,86	0,88
	4,0	0,84	0,85	0,85	0,86	0,86	0,87	0,89	0,90	0,91	0,92	0,94	0,95
0,5	≤ 0,8	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,06	0,08	0,10	0,12	0,15	0,17
	1,0	0,15	0,16	0,16	0,18	0,19	0,20	0,22	0,23	0,24	0,26	0,28	0,30
	1,2	0,29	0,30	0,30	0,31	0,32	0,33	0,35	0,36	0,37	0,38	0,40	0,42
	1,5	0,44	0,45	0,45	0,46	0,47	0,48	0,49	0,50	0,51	0,52	0,54	0,55
	2,0	0,60	0,61	0,61	0,62	0,62	0,63	0,64	0,65	0,66	0,67	0,68	0,69
	3,0	0,77	0,77	0,77	0,77	0,78	0,79	0,79	0,89	0,81	0,82	0,83	0,84
	4,0	0,85	0,85	0,85	0,86	0,86	0,86	0,87	0,88	0,89	0,89	0,91	0,92
≥ 0,7	≤ 0,8	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,04	0,06	0,07	0,08	0,11	0,13
	1,0	0,15	0,15	0,16	0,17	0,18	0,19	0,20	0,21	0,22	0,23	0,25	0,27
	1,2	0,29	0,30	0,30	0,31	0,32	0,32	0,34	0,34	0,35	0,36	0,38	0,39
	1,5	0,45	0,45	0,45	0,46	0,46	0,47	0,48	0,49	0,49	0,50	0,52	0,53
	2,0	0,61	0,61	0,61	0,61	0,62	0,62	0,63	0,64	0,64	0,65	0,66	0,67
	3,0	0,77	0,77	0,77	0,77	0,78	0,78	0,79	0,79	0,80	0,80	0,81	0,82
	4,0	0,85	0,85	0,85	0,86	0,86	0,86	0,87	0,87	0,88	0,88	0,89	0,90
e_а = y_а + M/N; Примечание. v_кр - значение v при кратковременном действии нагрузки (v_кр = 0,45).

Расчет по раскрытию трещин, наклонных к продольной оси элемента

4.12(4.17). Ширина раскрытия трещин, наклонных к продольной оси элемента, a_т, мм, для изгибаемых элементов, армированных поперечной арматурой, должна определяться по формуле

a_т = c_дk(h₀ + 30d_макс) (252)

где c_д, η - обозначения те же, что в формуле (236);

k = (20 - 1200μ_п)10³, (253)

но не менее 8·10³;

d_макс - наибольший из диаметров хомутов и отогнутых стержней; при этом в сумме (h₀ + 30d_макс) величины h₀ и d_макс - в мм;

μ_п - коэффициент насыщения балки поперечной арматурой, равный

μ_п = μ_х + μ_о, (254)

здесь μ_х - коэффициент насыщения балки хомутами:

μ_х = F_х/(bu); (255)

μ_о - коэффициент насыщения балки отогнутыми стержнями:

μ_о = F_о/(bu_о), (256)

u_о - расстояние между плоскостями отгибов (наклонных стержней), измеренное по нормали к ним; при разных расстояниях между отгибами (рис. 82) величина u_о определяется, как полусумма расстояний между рассматриваемой плоскостью отгибов и двумя соседними с ней плоскостями отгибов, измеренных по нормали к отгибам:

Рис. 82. Учет поперечной и отогнутой арматуры при расчете железобетонной балки по раскрытию наклонных трещин

а - конструкция балки; б - эпюра насыщения балки отгибами μ_о; в - эпюра насыщения балки поперечными стержнями μ_к; г - эпюра поперечных сил Q

для первой от опоры плоскости отгибов

u_о = (u_о1 + u_о2)/2; (257)

для второй от опоры плоскости отгибов

u_о = (u_о2 + u_о3)/2; (258)

для последней (n-й) плоскости отгибов величина u_о принимается равной расстоянию между ней и предыдущей плоскостью отгибов, т.е. u_о = u_о_n;

отгибы могут учитываться в расчете лишь на тех участках, где расстояние от грани опоры до начала первого отгиба (u₁), а также расстояние между концом предыдущего и началом следующего отгиба (u₂, u₃) не превышает 0,2h (рис. 82);

(259)

Q - наибольшая поперечная сила на рассматриваемом участке с постоянным насыщением поперечной арматурой.

При расчете рассматриваются сечения, расположенные на расстояниях от свободной опоры, не меньших h₀.

Для свободно опертых элементов, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, рассматривается сечение на расстояние h₀ от опоры. При этом если p фактически является сплошной равномерно распределенной нагрузкой (например, гидростатическое давление, давление грунта и т.д.), значение Q принимается равным

Q = Q_макс - ph₀, (260)

если нагрузка фактически может отсутствовать на участке пролета (например, нагрузка на перекрытие), Q принимается равным Q_макс.

Здесь Q_макс - максимальная поперечная сила у опоры от принятой в расчете равномерно распределенной нагрузки p.

При определении кратковременного и длительного раскрытия трещин должны учитываться указания п. 4.11; при этом в формуле (251) отношение M_дл/M_п заменяется на (t_дл/t_п)², где t_дл, t_п - величина t, определенная по формуле (259), соответственно от постоянных и длительных нагрузок и от полной нагрузки.

Допускается уменьшать величину a_т в 1,5 раза против определенной по формуле (252), если балка заармирована поперечными стержнями, нормальными к оси элемента, и продольными стержнями того же диаметра и с расстояниями по высоте сечения, равными шагу поперечных стержней.

Примеры расчета

Пример 51. Дано: железобетонная плита перекрытия с размерами поперечного сечения (для половины сечения плиты) по рис. 83; b = 8,5 см; h = 40 см; b_п = 72,5 см; h'_п = 5 см; бетон марки М 300; рабочая арматура класса А-III (R_а^: = 3400 кгс/см², E_а = 2·10⁶ кгс/см²) расположена в два ряда (a = 5,8 см, c = 3,3 см); площадь ее сечения F_а = 7,6 см² (2Æ22); полный момент в середине пролета M_п = 6,9 тс·м; вся нагрузка - длительная; из расчета по прочности известно: M_пр = 8,6 тс·м; x = 3 см.

Требуется произвести расчет по раскрытию трещин, нормальных к продольной оси элемента.

Расчет. h₀ = h - a = 40 - 5,8 = 34,2 см.

Так как μ = F_а/(bh₀) = 7,6/(8,5·34,2) = 0,0262 > 0,005, то согласно п. 4.1, элемент работает с трещинами в растянутой зоне.

Для определения длительного раскрытия трещин вычисляем напряжение в арматуре σ_а.

Рис. 83. Сборная железобетонная плита перекрытия

Согласно формуле (248), величина σ_а на уровне центра тяжести арматуры равна:

σ_а = R_аM/M_пр = 3400·6,9/8,6 = 2730 кгс/см².

Поскольку арматура расположена в два ряда, вычисляем по формуле (247) коэффициент φ_п:

Напряжение в нижнем стержне арматуры равно

σ_а = 2730·1,08 = 2940 кгс/см².

Ширину раскрытия трещин находим по формуле (236).

Так как μ = 0,0262 > 0,02, то значение принимаем равным 0,02. Согласно п. 4.8, коэффициент k = 1; c_д = 1,5; η = 1; d = 22 мм

a_т = c_дkη20(3,5 - 100) = 1·1,5·120(3,5 - 100·0,02) = 0,18 мм,

что меньше предельно допустимой ширины раскрытия трещин a_т = 0,3 мм.

Пример 52. Дано: железобетонная плита фундамента с размерами поперечного сечения h = 30 см; b = 115 см; h₀ = 26,5 см; бетон марки М 200 (R_р_II = 11,5 кгс/см², E_б = 2,15·10⁵ кгс/см²); рабочая арматура класса А-III (R_а = 3400 кгс/см², E_а = 2·10⁶ кгс/см²), площадь ее сечения F_а = 4,71 см² (6Æ10); момент в расчетном сечении от постоянных и длительных нагрузок M_дл = 3,2 тс·м, от кратковременных нагрузок M_кр = 0,5 тс·м; предельный момент по прочности M_пр = 4,1 тс·м; фундаментная плита находится ниже уровня грунтовых вод.

Требуется произвести расчет по раскрытию трещин, нормальных к продольной оси элемента.

Расчет. Определяем необходимость вычисления ширины раскрытия трещин согласно п. 4.6. Для этого находим момент трещинообразования M_т.

Так как μ = F_а/(bh₀) = 4,71/(115·26,5) = 0,0016 < 0,01, то момент M_т находим как для бетонного сечения, используя формулу (233):

M_т = R_р_IIW_т = 0,292bh²R_р_II = 0,292·115·30²·11,5 = 3,45 тс·м.

Так как M_т < M_п = 3,2 + 0,5 = 3,7 тс·м, то проверка ширины раскрытия трещин необходима.

Поскольку M_дл/M_п = 3,2/3,7 = 0,865 > 2/3 = 0,67, то, согласно п. 4,7 «а», допускается производить расчет только на длительное раскрытие трещин от момента M_дл.

Определение a_т производим по формуле (236). Для этого вычисляем напряжение в арматуре σ_а. Согласно формуле (248)

σ_а = R_аM_дл/M_пр = 3400·3,2/4,1 = 2660 кгс/см².

Поскольку фундамент находится ниже уровня грунтовых вод, то c_д = 1,2. Так как рассматривается изгибаемый элемент прямоугольного сечения с арматурой периодического профиля, то, согласно п. 4.8, коэффициенты k = 1; η = 1; μ = = 0,0016; d = 10 мм;

a_т = kc_дησ_а/E_а·20(3,5 - 100) = 1·1,2·1·2660/(2·10⁶)·20(3,5 - 100·0,0016) = 0,23 мм,

что больше допустимого значения a_т.дл = 0,2 мм (см. табл. 1). В связи с этим требуется более точное определение величины a_т согласно указаниям п. 4.9 «б». Для этого вычисляем коэффициент k_б:

μn = μ = 0,0016

M = M_дл = 3,2 тс·м; = M_т = 3,45 тс·м;

= (0,8 + 35·0,015)3,45 = 4,59 тс·м,

где 10W₀ = 10bh²/6 = 10·115·30²/6 = 1,73·10⁵ кгс·см;

k_д = 1,5M_т/M_п = 1,5·3,45/3,7 = 1,4;

k_б = k_нk_д = 0,61·1,4 = 0,855.

С учетом коэффициента k_б расчетная ширина раскрытия трещин равна a_т = 0,23·0,855 = 0,197 мм < 0,2 мм, т.е. ширина раскрытия трещин меньше предельно допустимой.

Пример 53. Дано: железобетонная колонна промышленного здания с размерами поперечного сечения: h = 50 см; b = 40 см; a = a' = 5 см; бетон марки М 200 (R_р_II = 11,5 кгс/см², E_б = 2,15·10⁵ кгс/см²); рабочая арматура класса А-III (E_а = 2·10⁶ кгс/см²) площадью сечения F_а = F'_а = 12,32 см² (2Æ28); продольная сжимающая сила N = 50 тс; момент от полной нагрузки M_п = 24 тс·м, в том числе момент от постоянных и длительных нагрузок M_дл = 15 тс·м.

Требуется рассчитать колонну по раскрытию трещин.

Расчет. h₀ = h - a = 50 - 5 = 45 см. Определяем необходимость расчета по раскрытию трещин. Для этого проверяем условие (221).

Так как μ = F_а/(bh₀) = 12,32/(40·45) = 0,0069 < 0,01, то, согласно п. 4.3, момент образования трещин и величину r_у находим как для бетонного сечения. Согласно формуле (233),

M_т = 0,292bh²R_р_II = 0,292·40·50²·11,5 = 3,37 тс·м.

Величина r_у для элемента прямоугольного сечения в соответствии с формулой (228) равна

r_у = 0,8h/6 = 0,8·50/6 = 6,67 см.

Эксцентрицитет силы N относительно центра тяжести сечения при действии момента M_п равен

e₀ = M_п/N = 24·10⁵/50·10³ = 48 см;

N(e₀ - r_у) = 50000(48 - 6,67) = 20,67 тс·м > 3,37 тс·м,

т.е. элемент работает с трещинами в растянутой зоне.

Согласно п. 4.6, необходимо проверить длительное и кратковременное раскрытие трещин.

Значение a_т при длительном действии нагрузки находим по формуле (236). Для этого вычисляем напряжение в арматуре σ_а, используя формулу (249):

e_а = h/2 - a + M_дл/N = 50/2 - 5 + 15·10⁵/(50·10³)= 50 см;

μn = μ = 0,0069

По вычисленным значениям γ' = 0,071; μn = 0,064 и e_а/h₀ = 50/45 = 1,11 находим из табл. 28 значение коэффициента k_т: k_т = 0,326;

Согласно п. 4.8, k = 1; η = 1; = μ = 0,0069; c_д = 1,5;

a_т = kc_дη20(3,5 - 100) = 1·1,5·1·1470/(2·10⁶)20(3,5 - 100·0,0069) = 0,19 мм,

что меньше предельно допустимого значения длительного раскрытия трещин a_т = 0,3 мм.

Переходим к вычислению кратковременного раскрытия трещин от действия полной нагрузки. Для этого, согласно п. 4.11, находим величины a_т1, a_т2 и a_т3.

Напряжение в арматуре σ_а от действия полной нагрузки определяем по формуле (249):

е_а = h/2 - a + M_п/N = 50/2 - 5 + = 68 см;

е_а/h₀ = 68/45 = 1,51.

При γ' = 0,071, μn = 0,064 и e_а/h₀ = 1,51;

коэффициент k_т, согласно табл. 28, равен 0,52:

a_т1 = kc_дη20(3,5 - 100) = 1·1·120(3,5 - 100·0,0069) = 0,273 мм.

Величина a_т3 соответствует длительному раскрытию трещин и уже найдена - a_т3 = 0,19 мм.

Величина

a_т2 = a_т3/c_д = 0,19/1,5 = 0,127 мм.

Кратковременное раскрытие трещин от действия полной нагрузки определяем по формуле (250):

a_т = a_т1 - a_т2 + a_т3 = 0,273 - 0,127 + 0,19 = 0,336 мм,

что меньше предельно допустимого значения a_т = 0,4 мм.

Пример 54. Дано: прогон покрытия таврового сечения с размерами ребра b = 10 см; h = 40 см; h₀ = 36 см; бетон марки М 300 (R_р_II = 15 кгс/см²); поперечная арматура класса А-III диаметром 6 мм; F_х = 0,283 см²; шаг стержней на приопорном участке u = 15 см; поперечная сила у опоры от полной равномерно распределенной нагрузки Q_п = 4,54 тс, в том числе от постоянных и длительных нагрузок Q_дл = 3,86 тс.

Требуется произвести расчет по раскрытию трещин, наклонных к продольной оси элемента.

Расчет. Согласно п. 4.12, рассматриваем сечение на расстоянии h₀ от свободной опоры. Поперечную силу в этом сечении принимаем такой же, как и на опоре.

Определяем необходимость расчета ширины раскрытия наклонных трещин.

Так как 0,6R_р_IIbh₀ = 0,6·15·10·36 = 3,24 тс < 4,54 тс, то проверка ширины раскрытия трещин необходима.

Поскольку

то, согласно п. 4.7 «б», проверяем длительное раскрытие трещины от действия поперечной силы Q_дл. Величину a_т находим по формуле (252):

μ_п = μ_х = F_х/(bu) = 0,283/(10·15) = 0,0019

(так как наклонные стержни отсутствуют);

k = (20 - 1200μ_п)10³ = (20 - 1200·0,0019)10³ = 17,7·10³.

Согласно пп. 4.12 и 4.8, коэффициенты c_д = 1,5 и η = 1. Сумма (h₀ + 30d_макс) равна 360 + 30·6 = 540 мм;

a_т = c_дk(h₀ + 30d_макс) = 1,5·17,7·10³·540

что меньше предельно допустимого значения a_т = 0,3 мм.

РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПО ДЕФОРМАЦИЯМ

4.13(4.22, 4.23). Деформации (прогибы, углы поворота) элементов железобетонных конструкций надо вычислять по формулам строительной механики, определяя входящие в них величины кривизны в соответствии с указаниями пп. 4.14 - 4.20.

Величина кривизны определяется:

а) для участков элемента, где в растянутой зоне не образуются трещины, нормальные к продольной оси элемента, - как для сплошного тела;

б) для участков элемента, где в растянутой зоне имеются трещины, нормальные к продольной оси, - как отношение разности средних деформаций крайнего волокна сжатой зоны бетона и продольной растянутой арматуры к рабочей высоте сечения элемента.

Элементы или участки элементов рассматриваются без трещин в растянутой зоне, если трещины не образуются при действии постоянных, длительных и кратковременных нагрузок; при этом нагрузки вводятся в расчет с коэффициентом перегрузки n, равным единице.

При расчете по деформациям усилие от усадки бетона N_ус допускается принимать равным нулю.

Определение кривизны железобетонных элементов на участках без трещин в растянутой зоне

4.14(4.24). На участках, где не образуются нормальные к продольной оси трещины, полная величина кривизны изгибаемых, внецентренно-сжатых и внецентренно-растянутых элементов должна определяться по формуле

(261)

где и - кривизны соответственно от кратковременных нагрузок (определенных согласно указаниям п. 1.13) и от длительного действия постоянных и длительных нагрузок, определяемые по формуле

(262)

здесь c - коэффициент, учитывающий влияние длительной ползучести бетона и принимаемый равным:

при действии кратковременных нагрузок - c = 1;

при действии постоянных и длительных нагрузок:

а) в условиях эксплуатации конструкций при влажности воздуха окружающей среды выше 40 % - c = 2;

б) то же, при влажности воздуха 40 % и ниже - c = 3.

Влажность воздуха окружающей среды принимается согласно указаниям п. 1.3.

Определение кривизны железобетонных элементов на участках с трещинами в растянутой зоне

4.15(4.27). На участках, где образуются нормальные к продольной оси элемента трещины, кривизны изгибаемых, внецентренно-сжатых, а также внецентренно-растянутых при e₀ ≥ 0,8h₀ элементов прямоугольного, таврового и двутаврового (коробчатого) сечений должны определяться по формуле

(263)

Для изгибаемых элементов последнее слагаемое правой части формулы (263) принимается равным нулю; знак «-» в этой формуле принимается при внецентренном сжатии, а знак «+» - при внецентренном растяжении.

В формуле (263):

M_з - момент (заменяющий) относительно оси, нормальной к плоскости действия момента и проходящей через центр тяжести площади сечения арматуры A, от всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения:

для изгибаемых элементов M_з = M;

для внецентренно-сжатых и внецентренно-растянутых элементов

M_з = Ne_а;

z₁ - расстояние от центра тяжести площади сечения арматуры A до точки приложения равнодействующей усилий в сжатой зоне сечения над трещиной (плечо внутренней пары сил), определяемое по указаниям п. 4.16;

ψ_а - коэффициент, учитывающий работу растянутого бетона на участке с трещинами и определяемый по указаниям п. 4.17;

ψ_б - коэффициент, учитывающий неравномерность распределения деформаций крайнего сжатого волокна бетона по длине участка с трещинами и принимаемый равным 0,9;

γ' - коэффициент, определяемый по формуле (267);

ξ = x/h₀ - определяется согласно указаниям п. 4.16;

v - коэффициент, характеризующий упругопластическое состояние бетона сжатой зоны и принимаемый равным:

при кратковременном действии нагрузки - v = 0,45;

при длительном действии нагрузки:

а) в условиях эксплуатации конструкций

при влажности воздуха окружающей среды выше 40 % - v = 0,15;

б) то же, 40 % и ниже - v = 0,10.

Влажность воздуха окружающей среды принимается согласно указаниям п. 1.3.

4.16(4.28). Величина ξ вычисляется по формуле

(264)

но не более 1, при этом e_а/h₀ принимается не менее 0,5.

Для изгибаемых элементов последнее слагаемое правой части формулы (264) принимается равным нулю.

В формуле (264) верхние знаки принимаются при сжимающем, а нижние - при растягивающем усилии N.

В формуле (264):

(265)

(266)

(267)

(268)

Величина z₁ вычисляется по формуле

(269)

Для элементов прямоугольного сечения и таврового с полкой в растянутой зоне в формулы (266), (267) и (269) вместо величины h_п подставляется величина 2a' или h'_п = 0, соответственно при наличии или отсутствии арматуры A'.

Если ξ < a'/h₀, величины γ', ξ, z₁ и 1/ρ следует определять без учета арматуры A'.

Расчет сечений, имеющих полку в сжатой зоне, при ξ < h'_п/h₀ производится как прямоугольных шириной b'_п.

Расчетная ширина полки b'_п определяется согласно указаниям п. 3.24.

Для внецентренно-сжатых элементов величина z₁ должна приниматься не более 0,97e_а.

4.17(4.29). Величина коэффициента ψ_а определяется по формуле

(270)

но не более 1; при этом e_а/h₀ принимается не менее 1,2/s.

Для изгибаемых элементов последний член в правой части формулы (270) принимается равным нулю.

В формуле (270):

s - коэффициент, учитывающий влияние длительности действия нагрузки и принимаемый равным:

при кратковременном действии нагрузки:

а) для стержневой арматуры:

гладкой - 1;

периодического профиля - 1,1;

б) для проволочной арматуры - 1;

при длительном действии нагрузки - 0,8;

(271)

но не более 1.

Здесь W_т - см. п. 4.4; M^я_в и M^я_ус - см. п. 4.3; допускается принимать M^я_ус = 0.

4.18. Кривизны 1/ρ внецентренно-растянутых элементов с эксцентрицитетами e₀ < 0,8h₀ на участках с нормальными трещинами в растянутой зоне определяются по формуле

(272)

где z_а - расстояние между центрами тяжести площадей арматуры A и A';

ψ_а и ψ'_а - коэффициенты, учитывающие работу растянутого бетона на участке с трещинами, соответственно для арматуры A и A'.

Если сила N приложена между центрами тяжести площадей арматуры A и A', эксцентрицитет e_а в формуле (272) принимается со знаком «минус».

Значения коэффициентов ψ_а и ψ'_а вычисляются по формулам:

ψ_а = 1 - sN_т/N; (273)

ψ'_а = 1 - sN'_т/N. (274)

В формулах (273) и (274):

N_т - усилие, приложенное в той же точке, что и сила N, соответствующее образованию трещин в более растянутой зоне сечения;

N'_т - то же, для менее растянутой зоны сечения;

s - коэффициент, принимаемый равным:

а) при кратковременном действии нагрузки - s = 0,7;

б) при длительном действии нагрузки - s = 0,35.

Отношения N_т/N и N'_т/N в формулах (273) и (274) принимаются не более 1. При эксцентрицитете 0,8h₀ > e₀ > y - a (где y - расстояние от более растянутой грани до центра тяжести приведенного сечения) коэффициент ψ'_а определяется по формуле (274) при отношении N'_т/N равном единице.

Значения N_т и N'_т определяются по формулам:

(275)

где W_т, W'_т - значения W_т, определенные согласно п. 4.4, соответственно для более растянутой и менее растянутой граней сечения;

r'_у, r_у - расстояние от центра тяжести приведенного сечения до условных ядровых точек, определенных согласно п. 4.3, наиболее удаленных соответственно от более растянутой и менее растянутой граней элемента.

4.19. Для элементов прямоугольного сечения с симметричной арматурой, испытывающих косое внецентренное сжатие, кривизны вычисляются по формуле

(276)

где - кривизна, вычисленная как для плоского внецентренного сжатия, согласно пп. 4.15 - 4.17, в предположении действия силы N с эксцентрицитетом e₀ в плоскости оси симметрии сечения x; при этом за ось x принимается ось, ближайшая к силовой плоскости;

k_β - коэффициент, учитывающий влияние угла наклона силовой плоскости на величину деформаций кососжимаемых элементов;

(277)

здесь

, - соответственно арматура, расположенная у грани сечения, нормальной к осям x и y; при этом угловой стержень учитывается как при вычислении μ_х, так и μ_у;

h_х, h_у - размер сечения в направлении осей x и y;

β - угол наклона силовой плоскости (плоскости эксцентрицитета силы N) к плоскости оси x в радианах.

Плоскость деформирования составляет с плоскостью оси x угол γ, определяемый из равенства

tgγ = tgβI_х/I_у, (278)

где I_х и I_у - соответственно моменты инерции приведенного сечения относительно осей y и x.

Кривизны в плоскостях x и y при косом внецентренном сжатии равны:

1/ρ_x = 1/ρ·cosγ; (279)

1/ρ_у = 1/ρ·sinγ, (280)

где 1/ρ определяется по формуле (276).

4.20(4.30). Полная величина кривизны 1/ρ для участка с трещинами в растянутой зоне при одновременном действии постоянных, длительных и кратковременных нагрузок должна определяться по формуле

1/ρ = 1/ρ₁ - 1/ρ₂ + 1/ρ₃, (281)

где 1/ρ₁ - кривизна от кратковременного действия всей нагрузки, на которую производится расчет по деформациям согласно указаниям п. 1.19;

1/ρ₂ - кривизна от кратковременного действия постоянных и длительных нагрузок;

1/ρ₃ - кривизна от длительного действия постоянных и длительных нагрузок.

Кривизны 1/ρ₁, 1/ρ₂ и 1/ρ₃ определяются по формулам (263), (272) и (276), при этом 1/ρ₁ и 1/ρ₂ вычисляются при величинах ψ_а и v, отвечающих кратковременному действию нагрузки, а кривизна 1/ρ₃ - при величинах ψ_а и v, отвечающих длительному действию нагрузки. Если величины 1/ρ₂ и 1/ρ₃ оказываются отрицательными, то они принимаются равными нулю.

Определение прогибов

4.21(4.31). Прогиб f_M, обусловленный деформацией изгиба, определяется по формуле

(282)

где - изгибающий момент в сечении x от действия единичной силы, приложенной по направлению искомого перемещения элемента в сечении по длине пролета, для которого определяется прогиб;

- полная величина кривизны элемента в сечении x от нагрузки, при которой определяется прогиб.

При определении прогиба в середине пролета балочных элементов формула (282) может быть приведена к виду

(283)

где , - кривизны элемента соответственно на левой и правой опорах;

, , - кривизны элемента в сечении i, в сечении i', симметричном сечению i (рис. 84), и в середине пролета;

n - четное число равных участков, на которое разбивается пролет элемента; число n рекомендуется принимать не менее 6.

В формулах (282) и (283) кривизны 1/ρ определяются по формулам (261) и (281) соответственно для участков без трещин и с трещинами; знак 1/ρ принимается в соответствии с эпюрой кривизны.

При определении прогибов статически неопределимых конструкций рекомендуется учитывать перераспределение моментов, вызванных образованием трещин и неупругими деформациями бетона.

Для изгибаемых элементов постоянного сечения, имеющих трещины, на каждом участке, в (пределах которого изгибающий момент не меняет знака, кривизну допускается вычислять для наиболее напряженного сечения, принимая кривизну для остальных сечений такого участка изменяющейся пропорционально значениям изгибающего момента (рис. 85).

Рис. 84. Эпюра кривизны в железобетонном элементе с переменным по длине сечением

Рис. 85. Эпюры изгибающих моментов и кривизны в железобетонном элементе постоянного сечения

а - схема расположения нагрузки; б - эпюра изгибающих моментов; в - эпюра кривизны

4.22(4.32). Для изгибаемых элементов при l/h < 10 необходимо учитывать влияние поперечных сил на их прогиб. В этом случае полный прогиб f равен сумме прогибов, обусловленных соответственно деформацией изгиба f_M и деформацией сдвига f_Q.

4.23(4.33). Прогиб f_Q, обусловленный деформацией сдвига, определяется по формуле

(284)

где - поперечная сила в сечении x от действия по направлению искомого перемещения единичной силы, приложенной в сечении, где определяется прогиб;

γ_с(x) - деформация сдвига, определяемая по формуле

(285)

здесь Q(x) - поперечная сила в сечении x от действия внешней нагрузки;

G - модуль сдвига бетона (см. п. 2.12);

β(x) - коэффициент, учитывающий влияние трещин на деформации сдвига и принимаемый равным:

на участках по длине элемента, где отсутствуют нормальные и наклонные к продольной оси элемента трещины, - 1;

на участках, где имеются только наклонные к продольной оси элемента трещины, - 4,8;

на участках, где имеются только нормальные или нормальные и наклонные к продольной оси элемента трещины, - по формуле

(286)

В формулах (284) и (286):

M(x) и - соответственно момент от внешней нагрузки и полная кривизна в сечении x от нагрузки, при которой определяется прогиб при ее кратковременном действии;

c - коэффициент, учитывающий влияние длительной ползучести бетона и принимаемый по п. 4.14.

4.24(4.34). Для сплошных плит толщиной менее 25 см, армированных плоскими сетками, с трещинами в растянутой зоне значения прогибов, подсчитанные по формуле (282), умножаются на коэффициент , принимаемый не более 1,5, где h₀ - в см.

Определение продольных деформаций

4.25. Относительные деформации ε₀ (удлинения или укорочения) в направлении продольной оси элементов определяются следующим образом.

Относительные деформации изгибаемых, внецентренно-сжатых и внецентренно-растянутых элементов с двузначной эпюрой напряжений в сечении определяют:

а) для элементов или их отдельных участков, не имеющих трещин в растянутой зоне, по формуле

(287)

где c - см. п. 4.14; V - см. п. 4.15;

б) для участков элементов, указанных в п. 4.15, имеющих трещины в растянутой зоне, по формуле

(288)

где ε_а.с, ε_б.с - соответственно средние величины относительного удлинения арматуры и относительного укорочения крайнего сжатого волокна бетона на участке между трещинами, определяемые по формулам:

(289)

(290)

в) для участков внецентренно-растянутых элементов при e₀ < 0,8h₀ по формуле

(291)

где

(292)

M_з, ψ_а, ψ'_а, ψ_б, γ', ξ, z₁, z_а - см. пп. 4.15 - 4.18.

Относительные деформации внецентренно-сжатых и внецентренно-растянутых элементов с однозначной эпюрой напряжений определяют:

а) для внецентренно-сжатых элементов или их отдельных участков, не имеющих трещин в растянутой зоне, по формуле

(293)

б) для участков внецентренно-сжатых элементов, в которых от действия полной нагрузки образуются трещины в растянутой зоне, ε₀ находится по формуле (293) с последующим увеличением на 20 %;

в) для внецентренно-растянутых элементов или их участков при отсутствии трещин

(294)

г) то же, при наличии трещин

(295)

где ε_а.с и ε'_а.с - соответственно средние величины удлинения арматуры A и A', определяемые по формулам (292); при этом в выражении для ε_а.с значение e_а принимается со знаком «минус».

В настоящем пункте:

y_б, y'_а - расстояние до рассматриваемого волокна соответственно от крайнего сжатого волокна и центра тяжести арматуры A';

y₀ - то же, от центра тяжести приведенного сечения.

Деформации ε₀ в формулах настоящего пункта со знаком «плюс» отвечают укорочению, а со знаком «минус» - удлинению.

При одновременном действии кратковременной и длительной нагрузок порядок вычисления ε₀ аналогичен определению полной кривизны согласно п. 4.20.

4.26. Укорочение (удлинение) элементов на уровне рассматриваемого волокна определяется по формуле

(296)

где ε₀_i - относительные продольные деформации в сечении, расположенном посередине участка длиной l_i;

n - число участков, на которые разбивается длина элемента.

Приближенные методы расчета деформаций

4.27. Прогибы железобетонных изгибаемых элементов постоянного сечения, эксплуатируемых при влажности воздуха окружающей среды выше 40 %, заведомо меньше предельно допустимых, если выполняется условие

l/h₀ ≤ λ_гр, (297)

где λ_гр - граничное отношение пролета к рабочей высоте сечения, ниже которого проверки прогибов не требуется (см. табл. 29).

При l/h₀ < 10 прогибы заведомо меньше предельно допустимых, если выполняется условие (298), учитывающее влияние поперечных сил на прогиб элемента,

(298)

Табличные значения λ_гр отвечают длительному действию полной равномерно распределенной нагрузки на свободно опертую балку при предельном прогибе, равном l/200.

Если предельно допустимые прогибы (см. п. 1.19) меньше l/200 табличные значения λ_гр должны быть уменьшены в: раз (например, при в 1,5 раза, при в 2 раза).

Для сплошных плит толщиной менее 25 см, армированных плоскими сетками, значения λ_гр уменьшаются путем деления на коэффициент, указанный в п. 4.24.

Примечание. Значения λ_гр могут быть увеличены в следующих случаях:

а) если прогиб определяется от действия момента M_дл, составляющего часть от полного момента M_п (поз. 2 - 4 табл. 2) - путем умножения табличных значений λ_гр на отношение M_п/M_дл;

б) если нагрузка отличается от равномерно распределенной - путем умножения λ_гр на отношение , где S - коэффициент, принимаемый по табл. 31 в зависимости от схемы загружения;

в) если прогиб определяется от совместного действия кратковременных, длительных и постоянных нагрузок (поз. 1 и 5 табл. 2) - путем умножения λ_гр на коэффициент k_θ, определяемый по формуле

где θ - отношение деформации от длительного действия нагрузки к деформации от кратковременного действия той же нагрузки, принимаемое равным: для элементов прямоугольного сечения θ = 1,8; для элементов таврового сечения с полкой в сжатой зоне θ = 1,5 и для элементов таврового сечения с полкой в растянутой зоне θ = 2,2.

Определение кривизны

4.28. Для изгибаемых элементов, указанных в п. 4.15 и эксплуатируемых при влажности воздуха выше 40 %, когда нагрузки действуют только длительно или только кратковременно, кривизна 1/ρ на участках с трещинами определяется по формуле

(299)

где k₁, k₂ - см. табл. 30.

При одновременном действии постоянных, длительных и кратковременных нагрузок (см. п. 1.13) кривизна 1/ρ определяется по формуле

(300)

где k_1дл, k_1кр, k_2дл - коэффициенты k₁ и k₂, принимаемые по табл. 30 соответственно при кратковременном и длительном действии нагрузки.

Определение прогибов

4.29. Для элементов при l/h > 10 полный прогиб принимается равным прогибу f_M, обусловленному деформацией изгиба.

Прогиб f_M определяется следующим образом:

а) для элементов постоянного сечения, работающих как свободно опертые или консольные балки, по формуле

(301)

где 1/ρ₀ - кривизна в сечении с наибольшим изгибающим моментом от нагрузки, при которой определяется прогиб;

S - коэффициент, определяемый по табл. 31;

б) для изгибаемых элементов с защемленными опорами прогибы в середине пролета - по формуле

(302)

где , , - кривизны элемента соответственно в середине пролета, на левой и на правой опорах;

S - коэффициент, определяемый по табл. 31 как для элементов с шарнирными опорами;

Таблица 29

Сечения

Коэффициенты γ, γ'

Коэффициент λ_гр для определения случаев, когда проверка прогибов не требуется, при значениях μn, равных

0,02

0,04

0,07

0,10

0,15

0,20

0,30

0,40

0,50

γ' = γ = 0

γ' = 0,2

γ = 0

γ' = 0,4

γ = 0

γ' = 0,6

γ = 0

γ' = 0,8

γ = 0

γ' = 1

γ = 0

γ' = 0,2

γ = 0

γ' = 0,6

γ = 0

γ' = 1

γ = 0

γ' = γ = 0,2

γ' = γ = 0,6

γ' = γ = 1

Примечание. Значения λ_гр, находящиеся в числителе, применяются при расчете элементов, армированных арматурой класса А-II, в знаменателе - то же, класса А-III.